:: wikimiki.org ::

集合论

集合论

集合论（简称集论）是一门研究集合的数学理论。这里的集合指由一些抽象的数学对象构成的整体。集合、元素和成员关系是数学中最基本的概念。集论（加上逻辑和谓词演算）是数学的公理化基础之一，通过集合及成员关系来形式化地表示其它数学对象。集合论可以用来表示一系列略有不同的概念：
- 朴素集合论是由19世纪末的德国数学家康托最早提出的集合论。
- 公理集合论是一个更加严格的理论，它是发现了原始集合论里的一些错误(如：罗素悖论)后而修正的。
- Z集合论由德国数学家Ernst Zermelo创立的一个公理集合论。
- ZF集合论是最常用的公理集合论，由Abraham Fraenkel和Thoralf Skolem扩展了Z集合论所得。
- 不同的逻辑系统有相应不同的集合（如模糊逻辑里的模糊集合）。
- 音乐集合理论可以被看成是集合论在音乐上的应用。
- ja:集合論

集合

集合（或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最簡單的說法，即是在最原始的集合論─朴素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。集合是现代数学中一个重要的基本概念。集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，在小学时就开始学习了。这里对被数学家们称为"直观的"或"朴素的"集合论进行一个简短而基本的介绍；更详细的分析可见朴素集合论。对集合进行严格的公理推导可见公理集合论。

导言

非正式的，一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。集合中的对象称作元素或成员。集合中的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。集合通常表示为大写字母 A， B， C，等等。两个集合 A 和 B 相等，写作 A = B，如果它们有相同的元素。

集合的表示

- 集合可以用文字描述，比如： :A = 大于零的前三个自然数 :B = 红色、白色、蓝色和绿色
- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，比如： :C = :D = 尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合，和是相同的，同样因为它们有相同的元素。
- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号

\varnothing

表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A =

\varnothing

。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

子集

如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。势举例： :
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 :
- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。 :
- ⊂ :
- ⊆ 空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集： :
-

\varnothing

⊆ A :
- A ⊆ A 更多信息，请见子集。

并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。两个集合可以相"加"。A 和 B 的并集，写作 A ∪ B，是或属于 A 的、或属于 B 的所有元素组成的集合。子集举例： :
- ∪ = :
- ∪ = :
- ∪ = 并集的一些基本性质 :
- A ∪ B   =   B ∪ A :
- A  ⊆  A ∪ B :
- A ∪ A   =  A :
- A ∪

\varnothing

= A 更多信息，请见并集.

交集

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。若 A ∩ B =

\varnothing

，则 A 和 B 称作不相交。并集举例： :
- ∩ =

\varnothing

:
- ∩ = :
- ∩ = 交集的一些基本性质 :
- A ∩ B   =   B ∩ A :
- A ∩ B   ⊆   A :
- A ∩ A   =   A :
- A ∩

\varnothing

\varnothing

更多信息，请见交集。

补集

两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集，写作 A′。全集补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。举例： :
- − = :
- − = :
- − =

\varnothing

:
- 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数补集的基本性质： :
- A ∪ A′ = U :
- A ∩ A′ =

\varnothing

:
- (A′)′ = A :
- A − B = A ∩ B′ 更多信息，请见补集。

公理集合論

把集合看作“一堆東西”會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理集合論。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

類

在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。定义类A如果满足条件“

\exists B(A\in B)

”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为

Set(A)

。否则称为本性类。这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。参见：公理化数学 -- 类的理论 -- 罗素公理体系 -- 集合代数 category:集合论 category:数据结构 ja:集合 ko:집합

逻辑

逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。

詞源

逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。

分支

- 经典逻辑
- 传统逻辑(项逻辑)
- 布尔逻辑
- 命题逻辑
- 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
- 二阶逻辑
- 相继式演算
- 可计算性逻辑
- 多值逻辑
- 三值逻辑
- 模糊逻辑
- 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
- 中间逻辑
- 非单调逻辑
- 缺省逻辑
- 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
- 线性逻辑
- 相干逻辑
- 模态逻辑
- 真势模态逻辑
- 认识逻辑
- 道义逻辑
- 时态逻辑
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
- 次协调逻辑(弗协调逻辑)
- 雙面真理逻辑
- 相干逻辑
- 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
- 演绎推理(三段论)
- 直言推理
- 假言推理
- 选言推理
- 归纳推理
- 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
- 工具论(古希腊)亚里士多德
- 正理经(古印度)足目·乔答摩
- 墨经(古中国)墨子
- 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
- 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
- 数学基础
- 量子逻辑
- 分析哲学
- 计算机逻辑
- 法律逻辑学 Category:邏輯 ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

朴素集合论

朴素集合论最早由德国数学家康托尔创立。 category:集合论

康托

格奥尔格·费迪南德·路德维格·菲利普·康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845年 3月3日－1918年 1月6日），出生于俄国的德国数学家。创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出了集合的势和序的概念。由于研究成果得不到认可，并受到众多数学家的攻击，患抑郁症，最后发疯。1918年，在德国哈勒大学附属精神病院去世。当代数学家绝大多数接受康托尔的理论，并认为这是数学史上一次重要的变革。大卫·希尔伯特说：“谁也别想把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。” 康托尔出生于俄国圣彼得堡，她的父亲是丹麦商人，母亲是俄国音乐家。1856年他们全家搬到德国，康托尔在德语学校继续学业，1867年他于柏林大学获得博士学位。康托尔意识到，无限集合也有不同大小，有可数无穷和不可数无穷之分。他证明了有理数集合Q是可数无穷的，而实数集合是不可数无穷的，也就是说后者要大。原始证明发表于1874年，这个证明使用了较为复杂的归纳反证法。1891年他用对角线法重新证明了这个定理。后来他致力于连续统假设，但没有成功。康托尔的后半生受到抑郁症的困扰，这严重影响他的工作，他不得不经常入院治疗。根据后来他发表的论文，他患的可能是一种两极失常性的抑郁症，例如他写了一篇验证1000以下的歌德巴赫猜想的论文，其实几十年前已经有人验证到了10000。他又发表了几篇文学方面的论文，试图证明佛郎西丝·培根其实是莎士比亚作品的真正作者。以及神学方面的论文，企图证明绝对无穷的概念即是上帝。第一次世界大战其间，他陷于赤贫状态，最后死于哈勒的精神病院。 category:德国数学家 Category:犹太人 category:1845年出生 category:1918年逝世 ja:ゲオルク・カントール ko:게오르크 칸토어 th:เกออร์ก คันทอร์

罗素悖论

罗素悖论，罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：罗素悖论：设性质

P(x)

表示“

x\not\in x

”，现假设由性质

P

确定了一个类

A

----也就是说“

\forall x(x\in A <=> x\not\in x)

”。那么现在的问题是：

A\in A

是否成立？首先，若

A\in A

，则

A

是

A

的元素，那么

A

具有性质

P

，由性质

P

知

A\not\in A

；其次，若

A\not\in A

，也就是说

A

具有性质

P

，而

A

是由所有具有性质

P

的类组成的，所以

A\in A

。罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论：理发师悖论：某理发师发誓“要给所有不自已理发的人理发，不给所有自己理发的人理发”，现在的问题是“谁为该理发师理发？”。首先，若理发师给自己理发，那他就是一个“自己理发的人”，依其誓言“他不给自己理发”；其次，若“他不给自己理发”，依其誓言，他就必须“给自己理发”。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。参见：公理化数学——类的理论——罗素公理体系 category:集合论 Category:悖论 ja:ラッセルのパラドックス ko:러셀의 역설 th:ปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์

Gica Popescu

: Vezi şi Gheorghe Popescu I pentru jucătorul de fotbal cu acelaşi nume din anii '30 – '50 Gheorghe Popescu, cunoscut mai ales ca Gică Popescu (n. 9 octombrie 1967, Calafat) este un fost fotbalist român, actualmente impresar. A participat cu echipa naţională de fotbal a României la trei turnee finale ale Campionatelor mondiale (1990, 1994 şi 1998) şi la două ale Campionatelor europene de fotbal (1996 şi 2000). De-a lungul carierei a jucat la PSV Eindhoven, Tottenham Hotspur, CF Barcelona, Lecce, Galatasaray, SV Hannover 96, cîştigînd 13 trofee. După retragerea din fotbal, a intrat în afaceri şi şi-a deschis propria şcoală de fotbal (Şcoala de fotbal Gică Popescu) la Craiova. Este văzut ca un apropiat al fraţilor Giovanni şi Victor Becali. În 2005 a candidat pentru preşedinţia Federaţiei Române de Fotbal împotriva actualului preşedinte Mircea Sandu, însă la alegerile din 21 noiembrie a adunat doar 102 voturi, faţă de 187 ale contracandidatului său. Popescu, Gheorghe Popescu, Gheorghe ja:ゲオルゲ・ポペスク

oszust hotels Prague metal Nurkowanie tablice

:: RELATED NEWS ::

1943 Naples post office bomb
On October 1, 1943, the Fifth Army of the United States captured Naples and reached the Volturno River on October 6. One day later, a huge explosion erupted at the post office. Time / Life reporter Will Lang Jr. was no

Family

- spouse - Con