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量

量

物件的量是非負實數，更簡單來說是其長度。

實數

實數的量通常稱為絕對值或模。它寫作 | x |，並以此定義： : | x | = x , 若 x ≥ 0 : | x | = -x , 若 x < 0 這給出在實數線中從零開始的距離。例如-5的模就是|-5|=5。

複數

相似地，複數的量稱為模，給出在阿根圖從零開始的距離。這條給出複數的模的公式和勾股定理一樣： : \left| x + iy \right| = \sqrt 例如-3 + 4i的模為5。

歐幾里德向量

在歐幾里德空間中，向量的實數量x最常為歐幾里德範數，這是由歐幾里德距離引伸過來的：向量自己的內積的平方根： :||x||=\sqrt 在此u、v和w是分量（用x來作表記法亦可）。 例如，[4, 5, 6]的量為√(42 + 52 + 62) = √77，即約8.775。

一般向量空間

一般來說，量的概念可以應用到向量空間，稱為範數向量空間。將物件對應到其量的函數稱為範數。

應用

量永遠非負。比較的大小時，使用對數為尺度很有幫助。生活中的例子有聲音的音量（分貝）和恆星的亮度。 對量進行加減運算通常沒甚麼意義。 category:數學

實數

数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本來實數只喚作數，後來引入了虚数概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 \Bbb 表示。而 Rn 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

历史

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。 直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

定义

從有理數构造實數

實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的构造。

公理的方法

设 R 是所有实数的集合，则：
- 集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
- 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
  - 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
  - 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
- 集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (S \in R, S\ne\emptyset)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。 最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为 \sqrt2 不是有理数）。 實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

例子


- 15 (整数)
- 2.121 (有限小数)
- 1.3333333... (无限循环小数)
- π = 3.1415926... (无限不循环小数)
- \sqrt3 (无理数)
- \frac1 3 (分数)

性质

完備性

作为度量空間或一致空間，實數集合是个完备空间，它有以下性质： :所有實數的柯西序列都有一個實數極限。 有理數集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限 \sqrt 2。實數是有理數的完备化——這亦是构造實數集合的一种方法。 極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於欧几里德几何的直線沒有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
- 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
- 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
- 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
- “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质


- 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
- 实数集构成了一个度量空间：x 和 y 间的距离定义为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑是一样的。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。
- 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
- 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
- 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem 定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

扩展与一般化

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
- 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。
- 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
- 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
- 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

请参阅


- 有理数
- 无理数
- 虚数
- 复数 Category:實數 ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

長度

长度是一维空间的度量。

单位

参阅


- 距离
- 曲线
- 面积
- 体积 Category:物理量 ja:長さ ko:길이

勾股定理

勾股定理，又稱商高定理，畢達哥拉斯定理（Pythagorean theorem），是一個基本的幾何定理，早在中國商代就由商高發現。據說畢達高拉斯發現了這個定後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。

定理

商高 勾股定理指出： :直角三角形兩直角邊(即“勾”，“股”)邊長平方和等於斜邊(即“弦”)邊長的平方。 也就是說， :設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 ::a^2+b^2=c^2 勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。 數學定理

勾股數组

勾股数组是滿足勾股定理a^2+b^2=c^2的正整數組(a,b,c)，其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。 任意一组勾股数(a,b,c)可以表示为如下形式：a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2，其中m,n\in \mathbb,m>n 。

參見


- 勾股數
- 餘弦定理

相關網頁


- [http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Pythagorean Theorem (MathWorld)] Category:三角學 Category:定理 Category:中國數學史 ja:ピタゴラスの定理 ko:피타고라스의 정리 simple:Pythagorean theorem th:ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

向量

矢量又称向量，最廣義指線性空間中的元素。它的名称起源於物理學既有大小又有方向的物理量，通常繪畫成箭號，因以為名。例如位移、速度、加速度、力、力矩、動量、衝量等，都是矢量。 Category:数学物理 ja:ベクトル (数学) ko:벡터

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平方根

平方根，对于非負實數x来说，是指某個自乘結果等於x的實數，表示為\sqrt x(√x)，其中属于非負實數的平方根称算術平方根。有时我们说的平方根指算術平方根。正整數的平方根通常是無理數。 :\sqrt = \sqrt x \sqrt y :\sqrt x = x^ 注意若n是非負實數且x2=n，√n≠x，因為√n(n的算術平方根)必定是正數，x應等於±√n；即\sqrt = \left|x\right|(見絕對值)。 數學史中，最重要的平方根可以說是√2，它是第一個公認的無理數。 古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。最有影響的是拉丁語的radix(平方根)，1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃，像P和x的合體)；\sqrt (沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷r的變型；現今常用的\sqrt 是由笛卡兒在幾何中先用的。

複數的情況

因為在複數裏，平方根函數的值不是連續的，√(zw) = √(z)√(w)這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如︰ :-1 = i \times i = \sqrt \times \sqrt = \sqrt = \sqrt = 1 注意√(c2) = ±c，因此√(a2b2) = ±ab，√(zw) = ±√(z)√(w)，使用a = √z和b = √w。

計算方法

計算器

計算器本身有很好的方法來計算指數函數和自然對數，故它會透過以下的恆等式來計算平方根︰ :\sqrt = e^

長除式算法

以下這個算法是根據(10a+b)2=100a2+20ab+b2而生的。 #將數兩個位一組分開，但十位數和個位數必須是同一組。 #將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下 #將上一步所得之差乘100，和下一組數聯起來 #將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積 #重覆第3步，直到找到答案，或求得理想的精確度為止 直式︰
1__0__2__4 1 04.85 76 1 1
- 1≤1 ____ 0 4 0 (1
- 20+0)0≤4≤(1
- 20+1)1 _______ 4 85 4 04 (10
- 20+2)2≤485≤(10
- 20+3)3 _______ 81 76 81 76 (102
- 20+4)4≤8176 _____ 事實上，將算法稍作改動，可以開任何n次方的根，詳見移動n次方算法。

尺规作图

問題

給定線段AB和1，求一條長為AB開方的線段。

解法

right #畫線AB，延長AB至C使AC=1 #以AC的中點為圓心，OC為半徑畫圓 #過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設
- O=(0,0)
- AB=n # 直徑為BC的圓就是x^2 + y^2 = \left(\right)^2（圓的方程式︰x2+y2=半徑） # 將(n+1)/2-1（A,D所在的x座標）代入上面的方程式 #\left( -1 \right)^2 + y^2 = \left(\right)^2 #解方程，得y=√n

參考


- [http://www.edp.ust.hk/math/history/7/7_22.htm 方根符號的歷史]
- [http://members.aol.com/jeff570/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]
- [http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Radical The History of Mathematical Symbols: The radical symbol]
- [http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root 英文版的條目] Category:算术 category:代数 ja:平方根 ko:제곱근

對數

设a^b=N，如果要用a、N表示b，则记作\log_a N=b，a叫做底数，N叫做真数，b叫做以a为底的N的对数。 例如，2^4=16，要表示16是2的多少次幂，可以记作\log_2 16=4。 根据对数的意义，有： #a^=N(对数恒等式)； #零和负数没有对数； #\log_a a=1； #\log_a 1=0； #\log_a a^N=N。 对数运算法则： #\log_a MN=log_a M + log_a N； #\log_a M/N=log_a M - log_a N； #\log_a M^n=n log_a M。 Category:数学 ja:対数

聲音

声音是通过物体振动产生的 声音是通过介质（空气或固体、液体）传播并能被人或动物听觉器官所感知的波动现象。 声音是一种压力波：当演奏乐器、拍打一扇门或者敲击桌面时，他们的振动会引起介质——空气分子有节奏的振动，使周围的空气产生疏密变化，形成疏密相间的纵波，这就产生了声波，这种现象会一直延续到振动消息为止。 声音作为波的一种，总可以被分解为不同频率不同强度正弦波的叠加。這種變換（或分解）的過程，稱為傅立葉變換(Fourier Transform)。因此，一般的声音总是包含一定的频率范围。人耳可以听到的声音的频率范围在20到2万赫兹之间。高于这个范围的波动称为超声波，而低于这一范围的称为次声波。
- category:物理学 ja:音 ko:소리 simple:Sound th:เสียง

亮度

亮度是人对光的强度的感受。它是一个主观的量。与亮度不同的，由物理定义的客观的相应的量是光强。这两个量在一般的日常用语中往往被混淆。 category:光學

Debra

DEBRA is a British medical research charity dedicated to the curing of Epidermolysis Bullosa.

See also


- Epidermolysis Bullosa

External link


- [http://www.debra.org.uk/ Official site] Category:Health charities in the United Kingdom Category:Disease related charities

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Literatur


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