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| 逻辑 |
逻辑逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。
詞源
逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。
分支
- 经典逻辑
- 传统逻辑(项逻辑)
- 布尔逻辑
- 命题逻辑
- 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
- 二阶逻辑
- 相继式演算
- 可计算性逻辑
- 多值逻辑
- 三值逻辑
- 模糊逻辑
- 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
- 中间逻辑
- 非单调逻辑
- 缺省逻辑
- 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
- 线性逻辑
- 相干逻辑
- 模态逻辑
- 真势模态逻辑
- 认识逻辑
- 道义逻辑
- 时态逻辑
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
- 次协调逻辑(弗协调逻辑)
- 雙面真理逻辑
- 相干逻辑
- 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
- 演绎推理(三段论)
- 直言推理
- 假言推理
- 选言推理
- 归纳推理
- 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
- 工具论(古希腊)亚里士多德
- 正理经(古印度)足目·乔答摩
- 墨经(古中国)墨子
- 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
- 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
- 数学基础
- 量子逻辑
- 分析哲学
- 计算机逻辑
- 法律逻辑学
Category:邏輯
ja:論理学
ko:논리학
ms:Logik
simple:Logic
th:ตรรกศาสตร์
推理推理是使用理智從某些前提(premises)產生結論的行動。有兩種主要的方式可以達成推理的結論：其一為演繹推理，给出正確的前提，就必然推出結論(结论不能为假)。演繹推理無法使知識擴增，因為結論自包含於前提之內。邏輯學中有名的三段論(syllogism)就是典型的例子：
- 人皆有一死
- 蘇格拉底是人
- 是故，蘇格拉底會死
另一方面，在歸納推理當中，當前提為真時，可推出某種機率性的结论。歸納推理可以擴展知識，因为结论比前提包含更多的信息。大衛·休姆(David Hume)曾舉出一個歸納推理的範例：
- 太陽每天從東邊升起
- 是故，太陽明天將從東邊升起
第三類推理是溯因推理(abductive reasoning)，或者说推論到最佳解釋。這種推理方法的結構較為複雜而且可能包括演繹與归纳兩種論證。溯因推理的主要特徵是给出一组或多或少有争议的假定，要么证伪其它可能的解释，要么展示出赞成的結論的可能性，来尝试赞成多个结论中的一个。
以上三種推理是屬於哲學、邏輯、心理學和人工智能等學門所感興趣的領域。
參見
- 案例论据
- 證據
- 可废止推理
- 逻辑推理
- 邏輯
- 推論
- 直言三段论
- 逆推法
Category:逻辑
Category:认知科学
智能
智力是指生物一般性的精神能力。 这个能力包括以下几点：理解、计划、解决问题, 抽象思维, 表达意念 以及 语言和学习的能力。尤其是在主流刊物中，当智力的定义与重要性是存在争论的问题时，研究者们通常能在就这些争议达成共识。
当考虑到动物智力时，一个更概括的“智力”的定义也许被应用了：“通过改变自身、改变环境或找到一个新的环境去有效地适应环境的能力” (Encyclopædia Britannica).
智力测验被经常用作确定人的智力。这并不是无可争议的。详见下述。
一些研究者已经开始对累积智能进行研究，这种智力来自于人们的协作。 计算机科学促进了对人工智能领域的研究，这些研究旨在寻求如何使计算机以更加智能化的方式运算。 很多人也已经在致力于地外智能生命存在的可能性研究。
智力的理论
心智量度理論
Psychometric approach has its roots in this notion of 'natural inequality' of intelligence. To measure this inequality, the best way is to take a standardized test, which we now call this test as "Intelligence Test" or "IQ Test" in short. To increase the reliability and validity of the test results,
智力在狹窄的定義中是以智力測驗來衡量(見智商)。這些測驗是最準確的(可靠及有效的)心智量度測驗，但是它們不是用來量度創造力、個性、性格或智慧。智力測驗有很多方式，但全都是量度相同的智力。g因素一直被认为是智力测验中的一个主要测量因素。（见g因素理论）。
一些研究員曾經建議智力不是一個單一的數量或概念而是包含著一組相對獨立的能力。
多元智能理論
哈佛大學心理學家加德納在1983年提出了多元智能理論。他認為過去對智力的定義過於狹窄，未能正確反映一個人的真實能力。他在《心智的架構》(Frames of Mind)這本書裡提出，人類的智能至少可以分成七個範疇(後來增加至八個)：
# 邏輯 (logical)
# 語文 (linguistic)
# 空間 (spatial)
# 音樂 (musical)
# 肢體運作 (kinesthetic)
# 內省 (intra-personal)
# 人際 (inter-personal)
# 自然探索 (naturalist)
詳細內容請參考多元智能理論條目。
情緒智商
丹尼尔·格尔曼(丹尼尔·戈尔曼)和其他几个研究者，揭露了情緒智商的概念并声称它至少像更传统的“智力”一样重要。
多元智能理论的支持者们通常认为，对g因素的测量是对学业能力的最佳测量方法。 他们认为其他种类的智能在学校教育之外会同等重要。
作为回应，g因素的研究者认为，在进行实际测量的时候（hunt2001）多元智能理论还没有诞生。他们还指出，g因素对个人行为有根本性的影响，个人的工作表现也不例外。 (坎贝尔，Campbell, 1991).
認知理論
智力的認知理論代表是信息加工理论，由斯腾伯格提出。信息加工理论包括了以下三個核心觀念：
- 元成分
- 执行成分
- 知识习得成分
1992年，安德森在他对于信息加工速度研究的一个实验中用到了这种反应时间（RT）。被试按住起始按键，看见附近的灯亮起，立即放开该按键并迅速按下最近的一个按键。
社會建構理論
Different Approach to the other two, but complementary.
爭議
研究人類智力的學者面臨了許多輿論的批判—甚至多到一般科學家所無法忍受的地步。一些備受爭議的課題包括：
- 從心智量度理論以及以常理方式看待這個主題的差異
- 智力在每日生活中的重要性
- 遗传因素和环境因素對人類智力的影響（參閱Nature versus nurture）
- 不同種族及性別的智力差異，以及這些差異的來源和意義（參閱种族与智力）
參考
# Hunt, E. (2001). Multiple views of multiple intelligence. [Review of Intelligence reframed: Multiple intelligence in the 21st century.] Contemporary Psychology, 46, 5-7.
# Campbell, J. P. (1990). The role of theory in industrial and organizational psychology. In M. D. Dunnette & L.M Hough (Eds.). Handbook of industrial-organizational psychology 2nd ed.), Vol. 1 (pp. 39-74). Palo Alto, CA: Consulting Psychologists Press.
外部連結
- [http://www.lrainc.com/swtaboo/taboos/wsj_main.html Wall Street Journal: Mainstream Science on Intelligence]
- [http://www.indiana.edu/~intell/ Human Intelligence]
ja:知能
哲学
“哲学”这个词最早出自希腊文的“φιλοσοφος”(philosophia)，即“philo-”(喜爱)和“sophia”(智慧)（爱智慧）。19世纪70年代，日本最早的西方哲学传播者西周借用古汉语译作“哲学”，1896年前后康有为等将日本的译称介绍到中国，后渐渐通行。在西方，哲学一词通常用来说明一个人对生活的某种看法（例如某人的“人生哲学”）和基本原则（例如價值觀、思想、行為）。而在学术上的哲学，则是对这些基本原则的理性根据的质疑、反思，并试图对这些基本原则进行理性的重建。
最早哲学的范围涵盖所有的知识层面。它一直是人类最抽象的知识研究。对哲学一词的介绍最初來自希腊思想家毕达哥拉斯。
哲学与科学的关系
从学术史看，科学是哲学的衍生物。后来，科学独立为与哲学并行的学科。科学与哲学有互动关系。科学产生知识，哲学产生思想。马克思主义认为，哲学也是一种社会意识形态。现代西方哲学中有科学哲学，是专门研究有关科学的理论。这种理论研究了科学的历史，为科学总结了许多理论模型，但这也只是解释了科学，并不是可以指导科学。哲学是人类了解世界的一种特殊方式，是使人崇高起来的一门学问。
哲学的价值
哲学之应当学习并不在于它能对于所提出的问题提供任何确定的答案，因为一般不可能知道有什么确定的答案是真确的，而是在于这些问题本身；原因是，这些问题可以扩充我们对于一切可能事物的概念，丰富我们心灵方面的想象力，并且减低教条式的自信，这些都可能禁锢心灵的思考作用。此外，尤其在于通过哲学冥想中的宇宙之大，心灵会变得伟大起来，因而就能够和那成其为至善的宇宙结合在一起。
哲学也可以说是理性对于信仰的研究。
哲学是对世界的关于终极意义的解释，它在解释中使我们了解世界，使世界在我们的意识中合理化，从而为我们提供心灵的慰藉。
哲学还是对人的自我一种定位的工具。
哲学理论
利他主义 ── 反现实主义 ── 佛教哲学 ── 儒家思想 ── 享乐主义 ── 唯物主义 ── 唯心主义 ── 理想主义 ── 非现实主义 ── 逻辑正确主义 ── 悲观主义 ── 道家思想 ── 自我主义 ── 悲观主义 ── 理性主义 ── 现实主义 ── 唯美主义 ── 形而上学唯物主义 ── 辩证唯物主义 ── 客观唯心主义 ── 主观唯心主义 ── 非理性主义 ── 斯多噶主义 ── 民族主义──存在主义──形而上学——功利主義
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哲学分支
由于研究领域的不同，哲学有很多分支。
- 哲学史
- 东方哲学史
- 印度哲学
- 中国哲学史
- 伊斯兰哲学
- 日本哲学
- 西方哲学史
- 古希腊哲学
- 中世纪哲学
- 文艺复兴时期哲学
- 德国古典哲学
- 俄国哲学
- 马克思主义哲学
- 辩证唯物主义
- 历史唯物主义
- 马克思主义哲学史
- 科学哲学
- 现代哲学
- 生存哲学
- 分析哲学
- 人文哲学
- 解释学
- 符号学
- 实用主义哲学
- 伦理学
- 医学伦理学
- 教育伦理学
- 政治伦理学
- 家庭伦理学
- 生命伦理学
- 生态伦理学
- 美学
- 美学史
- 艺术美学
- 技术美学
- 形而上学
- 现象学
- 过程哲学
- 知识论
- 死亡哲學
- 人生哲學
- 法律哲學
- 心靈哲學
- 墨家哲學
- 當代英美哲學
- 比較哲學
- 當代法國哲學
- 哲學哲學
与哲学相关学科
- 相对论
- 量子力学
- 混沌学
- 旋理论
- 思维科学
- 人工智能
- 心理学
- 信息论
- 语义学
- 科学社会学
- 逻辑学
- 科学学
- 控制论
- 机械论
其他与哲学相关的学科
- 宗教哲学
- 政治哲学
- 物理哲学
- 天文哲学
- 化学哲学
- 语言分析哲学
- 佛教哲学
- 教父哲学
- 教育哲学
- 语言哲学
- 日常语言哲学
- 自然哲学
- 经济哲学
- 同一哲学
- 思辩哲学
- 生物学哲学
- 中国哲学史史料学
- 历史哲学
- 易学
- 经学
- 玄学
- 灵源泛哲学体系
- 自由意志
- 决定论
- 因果律
- 随机性
- 白马非马
- 百姓日用即道
- 悖论
- 变化日新
- 辩者二十一事
- 仁为万物之源
- 体用一源
- 天不变道亦不变
- 天道自然
- 万物皆备于我
- 物极必反
- 心统性情
- 心无本体
- 新故相除
- 形质神用
- 性即理
- 性日生日成
- 一分为二
- 一物两体
- EPR悖论
- 坚白相盈
参见
认识论 本体论 形而上学 伦理学 美学 哲学范畴 哲学理论 边缘学科 哲学概念 辩证法 哲学团体 方法论 哲学基本问题 科学理论 科学实验 哲学史 哲学家 哲学家列表 哲学思想列表 現代哲學學院詳談
Category:文化
-
category:認知科學
ja:哲学
ko:철학
ms:Falsafah
simple:Philosophy
th:ปรัชญา
数学
数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。
创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。
历史
:主页面：数学史
数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。
数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。
对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。
对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
数学不是……
数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。
数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。
数学不是物理，虽然历史和哲学上两者关系密切。
参考书目
- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
- Gullberg, Jan: Mathematics-From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitions, theorems and references.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
- 数学--它的内容,方法和意义
参考网址
- [http://www.11abc.com/science/maths.htm 数学网址]（数学网址） 。
- Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas]（英文版）现代数学漫游。
- Weisstein, Eric: [http://www.mathworld.com/ World of Mathematics]，一个在线的数学百科全书。
- [http://planetmath.org/ Planet Math]，另一个在线的数学百科全书，使用GFDL，允许和维基百科交换条目。
- [http://www.mathforge.net/ MathForge]，一个包含数学、物理、计算机科学和教育等范畴的新闻网志。
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/ EpisteMath｜数学知识]。
- 香港科技大学:[http://www.edp.ust.hk/math/ 数学网]，一个以数学史为主的网站。
Category:数学
Category:自然科学
Category:科学
ja:数学
ko:수학
ms:Matematik
simple:Mathematics
th:คณิตศาสตร์
zh-min-nan:Sò·-ha̍k
计算机科学
计算机科学是一门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，从抽象的算法分析、形式化语法等等，到更具体的主题如编程语言、程序设计、软件和硬件等。作为一门学科，它与数学、计算机程序设计、软件工程和计算机工程有显著的不同，却通常被混淆，尽管这些学科之间存在不同程度的交叉和覆盖。
计算机科学研究的课题是：
- 计算机程序能做什么和不能做什么（可计算性）；
- 如何使程序更高效的執行特定任務（算法和复杂性理论）；
- 程序如何存取不同类型的数据（数据结构和数据库）；
- 程序如何显得更具有智能（人工智能）；
- 人类如何与程序沟通（人机互动和人机界面）。
计算机科学的大部分研究是基于“冯·诺依曼计算机”和“图灵机”的，它们是絕大多數实际机器的计算模型。作为此模型的开山鼻祖，邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）表明，尽管在计算的时间，空间效率上可能有所差异，现有的各种计算设备在计算的能力上是等同的。尽管这个理论通常被认为是计算机科学的基础，可是科学家也研究其它种类的机器，如在实际层面上的并行计算机和在理论层面上概率计算机、oracle 计算机和量子计算机。在这个意义上来讲，计算机只是一种计算的工具：著名的计算机科学家 Dijkstra 有一句名言“计算机科学并不只是关于计算机的，正如天文学并不只是关于望远镜一样”。
计算机科学根植于电子工程、数学和语言学，是科学、工程和艺术的结晶。它在20世纪最后的三十年间兴起成为一门独立的学科，并发展出自己的方法与术语。
早期，虽然英国的剑桥大学和其他大学已经开始教授计算机科学课程，但它只被视为数学或工程学的一个分支，并非独立的学科。剑桥大学声称有世界上第一个传授计算的资格。世界上第一个计算机科学系是由美国的普渡大学在1962年设立，第一个计算机学院於1980年由美国的东北大学设立。现在，多数大学都把计算机科学系列为独立的部门，一部分将它与工程系、应用数学系或其他学科联合。
计算机科学领域的最高荣誉是ACM设立的图灵奖，被誉为是计算机科学的诺贝尔奖。它的获得者都是本领域最为出色的科学家和先驱。华人中首获图灵奖的是姚期智先生.他于2000年以其对计算理论做出的诸多“根本性的、意义重大的”贡献而获得这一崇高荣誉。
计算机系统
计算机系统可划分为软件系统与硬件系统两大类。
硬件
- 结构控制和指令系统
- 算法和逻辑结构
- 存储器结构
- 冯·诺伊曼结构
- 哈佛结构
- 输入/输出和数据通信
- 数字逻辑
- 逻辑设计
- 集成电路
计算机系统组织
- 计算机系统结构
- 计算机网络
- 分布式计算
- 网络安全
- 计算机系统实现
软件
- 系统软件
- 操作系统
- 编译器
- 应用软件
- 计算机游戏
- 办公自动化
- 网络软件
- CAD软件
- 计算机程序
- 程序设计和程序设计实践
- 面向对象技术
- 程序设计语言
- 软件工程
- 软件复用
- 驱动程序
- 计算机模拟
- 程序设计方法学
数据和信息系统
- 数据结构
- 数据存储表示
- 数据加密
- 数据压缩
- 编码与信息论
- 文件
- 信息系统
- 管理信息系统
- 决策支持系统 - 专家系统
- 数据库
- 信息存储和数据存取
- 信息交互与表达
主要的研究领域
形式化基础
- 逻辑学
- 谓词逻辑
- 模态逻辑
- 时序逻辑
- 描述逻辑
- 数学
- 泛代数
- 递归论
- 模型论
- 概率论和数理统计
- 逻辑代数
- 布尔代数
- 离散数学
- 组合数学
- 图论
- 网论
- 信息论
理论计算机科学
- 形式语言
- 自动机
- 可计算性
- 算法
- 计算复杂性
- 描述复杂性
- 编译器
- 程序设计理论
- 信息论
- 类型理论
- 指称语义
- 微程序
- 遗传算法
- 并行计算
计算方法学
- 人工智能
- 计算机图形学
- 图像处理与计算机视觉
- 模式识别
- 语音识别
- 文字识别
- 签名识别
- 人脸识别
- 指纹识别
- 仿真与建模
- 数字信号处理
- 文档与文本处理
计算机应用
- 数值计算
- 数值分析
- 定理机器证明
- 计算机代数
- 工程计算
- 计算机化学
- 计算机物理
- 生物信息论
- 计算生物学
- 非数值计算
- 工厂自动化
- 办公室自动化
- 人工智能
- 信息存储与检索
- 符号语言处理
- 计算机辅助科学
- 计算机辅助设计
- 计算机辅助教学
- 计算机辅助管理
- 计算机辅助软件工程
- 机器人学
- 多媒体技术
- 人机交互
- 电子商务
特定技术
- 测试基准
- 机器视觉
- 数据压缩
- 设计模式
- 数字信号处理
- 文件格式
- 信息安全
- 国际互联网络
- 超大规模集成电路设计
- 网络传输协议
- 网络处理器技术
- 整数运算器
- 浮点运算器
- 矩阵运算处理器
- 网格
计算科学史
- 计算机历史
- 软件业历史
- 编程思想
相关学科
计算机科学与另外的一些学科紧密相关。这些学科之间有明显的交叉领域，但也有明显的差异。
- 信息科学 - 软件工程 - 信息系统 - 计算机工程 - 信息安全 - 密码学 - 数学 - 工程学 - 语言学 - 逻辑学
卓越的先驱者
- 艾伦·图灵
参见
- 计算机科学课程列表
- 计算机科学家
- 图灵奖
- 冯·诺依曼奖
- 中国计算机产业
- 中国计算机科学大事年表
- 程序设计语言列表
- 操作系统列表
- ASCII艺术
外部链接
ko:컴퓨터 과학
ja:情報工学
simple:Computer Science
th:วิทยาการคอมพิวเตอร์
Category:自然科学
Category:技术科学
希腊语
希腊语（Ελληνικά），一种语言，广泛用于希腊、阿尔巴尼亚、塞浦路斯等国。
希腊语言元音发达，希腊人增添了元音字母。因为希腊人的书写工具是腊板，有时前一行从右向左写完后顺势就从左向右写，变成所谓“耕地”式书写，后来逐渐演变成全部从左向右写。
古代希腊语原有26个字母，荷马时期后逐渐演变并确定为24个，一直沿用到现代希腊语中。
古希腊语与现代希腊语有很大不同。首先，很多词的意义是不同的，一些古词消失，另一些有了新的含义。其次，文法方面，古希腊语文法比较复杂，现代比较简单。再次，在书写方面也是现代希腊语比较简化。这些简化很多都是在20世纪80年代一场人为的语言统一行动造成的。实际上，由于民族复杂，也有政治、宗教方面原因，历史上的希腊语言不时不刻不在变化。但是，古希腊语确实是一个语言的宝库，它包含的词语很多带有极其精确的含义，这种精确性又有其深刻渊源，以至于，现代很多事物的命名还都是从古希腊语中借鉴。
便于比较，可以举出很多语法方面的例子：
名词：古希腊语的名词一般有5个「格」（case），分別為主格（nominative）、屬格（genative）、間接受格（dative）、直接受格（Accusative）、呼格（vocative），现代减少为3个（主格,屬格,直接受格）；古代，或者现代，名词一般都可分为三种性：阴性（Feminine）、阳性（Masculine）和中性（Neutor）；古代名词还分为三种数：单数、双数和多数，现代希腊语中双数被废除。除了性是一个名词既定的（有时也不一定，由的词不同的性时含义不同），以上的数和格都反应为词尾变化。
动词：有6种时态：present,future,imperfect(was doing),aorist(did),perfect(has done),pluperfect(had done)。变换除了反应在词尾，有的时态还要加前缀，如imperfect和aorist加ε-,perfect和pluperfect除了加ε-还要再加头一个音节的重复，例如λυω(i loose)的imperfect是ελυον，aorist是ελυσα，perfect是λελυκα，pluperfect是ελελυκειν(技术问题，不会加重音)，当然，还有很多更细致的规则和不规则变化。当然，动词除了时态变化外还分为三种语态（Voice）：主动、被动和middle voice,其中，middle常是指向自己的行为。语态也多反映在词尾变化。
参看
- 希腊字母
Category:印欧语系
als:Griechische Sprache
ja:ギリシア語
ko:그리스어
ms:Bahasa Greek
simple:Greek language
th:ภาษากรีก
1902年
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大事记
- 布尔战争结束。
- 1月18日——慈禧太后第一次撤帘露面，召见各国驻华使节。
- 1月28日——卡耐基华盛顿研究所成立。
- 2月1日——清廷准许汉满通婚。
- 2月8日——梁启超在日本创办《新民丛报》。
- 3月6日——皇家马德里俱乐部成立。
- 5月8日——马提尼克岛上的培雷火山爆发，三万多人遇难。
- 5月8日——英国人李提摩太和山西巡抚岑春煊共同创办山西大学堂。
- 5月20日——古巴独立。
- 5月21日－－张之洞创立湖北师范学堂
- 8月9日——爱德华七世被加冕为英国国王。
- 9月29日——美国百老汇第一个剧场开始营业。
出生
- 2月8日——德王，內蒙古王公（逝世1966年）
- 2月10日——沃尔特·豪斯·布拉顿，美国物理学家（逝世1987年）
- 3月7日——海茨·乌曼，德国电影演员（逝世1994年）
- 8月22日——莱妮·里芬斯塔尔，德国电影导演和演员（逝世2003年）
- 8月28日——周培源，中国物理学家（逝世1993年）
- 9月21日——艾德華·伊凡普理查，英國人類學家（逝世1973年）
- 9月23日——苏步青，中国数学家（逝世2003年）
- 10月18日——帕斯库尔·约当，德国物理学家（逝世1980年）
- 11月26日——罗荣桓，中国元帅（逝世1963年）
- 吴学周，中国化学家（逝世1983年）
逝世
- 9月29日——埃米尔·左拉，法国作家（出生1840年）
诺贝尔奖
- 物理：亨德里克·安通·罗伦兹和彼得·齐曼
- 化学：赫尔曼·埃米尔·费歇尔
- 生理和医学：罗纳德·罗斯
- 文学：特奥多尔·蒙森
- 和平：埃利·迪科门和夏尔莱·阿尔贝特·戈巴特
Category:20世纪
ja:1902年
ko:1902년
simple:1902
th:พ.ศ. 2445
经典逻辑经典逻辑标识已经被最深入的研究和最广泛的使用的一类形式逻辑。它们被特征化为一些性质；非经典逻辑缺乏一个或多个这种特性，它们是:
#排中律;
#无矛盾律;
#蕴涵的单调性和蕴涵的等幂性;
#合取的交换性;
#De Morgan 对偶性: 所有逻辑算子都对偶于另一个。
经典逻辑的例子
- 亚里士多德的工具论介入了他的三段论理论，它是带有严格形式的断定(judgement)的逻辑: 断言采用四种形式，所有 Ps 都是 Q，有些 Ps 是 Q，没有 Ps 是 Q，有些 Ps 不是 Q。这些断定是两对对偶的算子，并且每个算子都是另一个的否定，亚里士多德用他的对立四边形总结了它们之间的联系。亚里士多德明确的公式化表达了排中律和无矛盾律，尽管这些定律不能在三段论框架内作为断定来表达。
- George Boole 的代数的重新逻辑形式化为布尔逻辑;
- Gottlob Frege 的概念文字。
- Clarence Irving Lewis 的真势模态逻辑的系统 S1-S5。
非经典逻辑
- 直觉逻辑拒绝排中律和 De Morgan 律；
- 次协调逻辑(比如双面真理逻辑和相干逻辑)拒绝无矛盾律；
- 相干逻辑、线性逻辑和非单调逻辑拒绝蕴涵的单调性；
- 线性逻辑拒绝蕴涵的等幂性；
- 可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，相对于是真值的形式理论的经典逻辑；它整和并扩展了经典、线性和直觉逻辑;
- 模态逻辑向经典逻辑扩展了非真值泛函("模态")算子。
引用
- Dov Gabbay, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press.
Category:逻辑
布尔逻辑布尔逻辑得名于 George Boole，他是 College Cork 大学的英国数学家，他在十九世纪中叶首次定义了逻辑的代数系统。现在，布尔逻辑在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。在 1937 年，Claude Shannon 展示了布尔逻辑如何在电子学中使用。
集合代数和文氏图
使用集合代数作为介绍布尔逻辑的一种方式。还使用文氏图来展示各种布尔逻辑陈述所描述的集合联系。
术语
文氏图
设 X 是一个集合:
- 元素是一个集合的成员。表示为 。如果它不是这个集合的元素，表示为 。
- 全集是集合 X，有时表示为 1。注意使用全集这个词意味着"虑及的所有元素"，同"现有的所有元素"一样不是必然的。
- 空集或 null 集合是没有元素的集合，表示为 ，有时表示为 0。
- 一元算符应用于一个单一的集合。有一个一元算符叫做逻辑非(NOT)。它的作用是采用补集。
- 二元算符应用于两个集合。基本的二元算符是逻辑或(OR)和逻辑与(AND)。它们进行集合的交集和并集。还有其他衍生的二元算符，比如逻辑异或(XOR)(排他的或)。
- 子集表示为 A B，意味这在集合 A 中所有元素都在集合 B 中。
- 真子集表示为 A B，意味着在集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，并且两个集合不等同。
- 超集表示为 A B，意味着在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中。
- 真超集 表示为 A B，意味着在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中，并且两个集合不等同。
例子
并集
设图像为集合 A 包含"全集"中所有偶数(二的倍数)，集合 B 包含"全集"中所有三的倍数。则两个集合的交集(在集合 A AND B 中所有的元素)将是"全集"中所有六的倍数。
集合 A 的补集(所有不在集合 A 中的元素)是"全集"中所有的奇数。
把运算连接起来
尽管在任何布尔运算中都最多有两个集合参与，从这个运算所形成的新集合可以接着与其他集合联合起来实现另外的布尔运算。使用前面的例子，我们可以定义一个新集合 C 作为"全集"中所有五的倍数的集合。所以 "集合 A AND B AND C" 将是"全集"中所有 30 的倍数。如果为了更方便，我们可以把集合 AB 当作集合 A 和 B 的交集，或者说"全集"中所有六的倍数的集合。那么我们可以称 "集合 AB AND C" 是"全集"中所有 30 的倍数的集合。我们接着进一步的把这个结果叫做集合 ABC。
使用圆括号
尽管任何数目的逻辑 AND(或任何数目的逻辑 OR)可以被连接在一起而没有歧义，AND 和 OR 和 NOT 的组合可以导致歧义的情况。在这种情况情况下，可以使用圆括号来分清运算的次序。永远是最内的括号内的运算先进行，随后是外层的括号以此类推，直到在所有的括号内运算都完成。接着进行括号外的运算。
性质
为两个主要的二元运算的符号定义为 (逻辑与/交集)和 (逻辑或/并集)，把单一的一元运算的符号定义为 / ~ (逻辑非/补集)。我们还使用值 0 (逻辑假/空集)和 1 (逻辑真/全集)。下列性质适用于布尔代数和布尔逻辑二者:
:
真值表
布尔逻辑只使用两个值 0 和 1，这两个值的交集和并集可以使用真值表定义如下:
- 也可以建立涉及多个输入和其他布尔运算的更复杂的真值表。
- 真值表应用在逻辑中，解释 0 为假，1 为真， 为与， 为或，而 ¬ 为非。
其他记号
可以使用各种样式的基本算符来表达布尔逻辑。AND(与)、OR(或)、NOT(非)是最直觉的。数学家、工程师和程序员经常使用 + 表示或， 表示与(因为在某些方面这些运算类似于在其他代数结构中的加法和乘法，并且这种记号使熟悉普通代数的人易于得到积之和范式)。非也表示为在要否定的表达式顶上的一个横线。
另一种记号使用"交"表示与使用"并"表示或。但是这会导致混淆，因为术语"并"也经常用于合并集合的另一个布尔运算，它包括了与和或二者。
布尔术语的基本数学使用
- 在联立方程的情况下，它们是用暗含的逻辑与连接的:
::x + y = 2
::AND
::x - y = 2
同样适用于联立不等式:
::x + y < 2
::AND
::x - y < 2
- 大于等于号()和小于等于号()可以假定包含了一个逻辑或:
::X < 2
::OR
::X = 2
- 加/减号()，在平方根的解的情况下，可以被看作是逻辑或:
::WIDTH = 3
::OR
::WIDTH = -3
布尔术语的英语使用
在把英语句子转换成形式的布尔语句的时候要小心。很多英语词语有不精确的意义可能导致多种意思，例如词 NOT(非):
- "所有闪光的东西不是金子。"
它可以意味着 "没有闪光的东西是金子" 或者 "有些闪光的东西不是金子"。AND(与)和 OR(或)在英语中在特定情况下是可以互换使用的:
- "在下雨与下雪的时候我总是带伞。"
- "在下雨或下雪的时候我总是带伞。"
还要注意在英语中词 OR(或)可以对应于逻辑或异或逻辑异或，依赖于上下文:
- "我在潮湿或高温的时候出汗。" (逻辑或)
- "我午饭打算吃鸡肉或牛肉。" (逻辑异或)
在规定计算机程序或者电子电路时使用英语描述它们的功能的时候这是个重要问题。例如，语句"程序应该校验申请者已经选择取了男性或女性单选框"，应当被当作一个异或，并增加一个检查来确保其中一个且只有一个被选择了。在其他情况下，英语的解释可能更少确定性，规定的作者可能需要探讨它们的真正意图。
应用
数字电子电路设计
布尔逻辑还在电子工程中的电路设计中使用；这里的 0 和 1 表示在数字电路中某一个位的不同状态，典型的是高和低电压。使用包含变量的表达式描述电路，并且对于这些变量的所有的值两个这种表达式是等价的，当且仅当对应的电路有相同的输入-输入行为。进一步的说，每种可能的输入-输出行为都被建模为适合的布尔表达式。
基本的逻辑门比如与门、或门、非门可以单独使用，或者联合成与非门、或非门和异或门来控制数字电子和电路。这些门的串联或并联控制了运算的优先级。
数据库应用
关系数据库使用 SQL 语言，或者其他特定于数据库的语言，来进行查询，它可以包含布尔逻辑。对于这种应用，在表中每个记录都可以被当作"集合"的"元素"。例如，在 SQL 中，下列 SELECT 语句被用来从在数据库中的表格中检索数据:
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' AND FIRST_NAME = 'John' ;
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' OR FIRST_NAME = 'John' ;
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE NOT LAST_NAME = 'Smith' ;
在有多个运算出现的时候，可以使用圆括号来明确的指定布尔运算发生的次序:
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE (NOT LAST_NAME = 'Smith') AND (FIRST_NAME = 'John' OR FIRST_NAME = 'Mary') ;
在需要的时候可以使用嵌套的圆括号。
联合两个(或更多)表格的任何布尔运算在关系数据库术语中都被称为连接。
搜索引擎查询
对于这种应用，在互联网上的每个 web 页面都被当作是"集合"的"元素"。各种在线搜索引擎使用各自不同的语法。下面描述 Google 使用的语法。
- 逻辑与不使用符号。所以，它是连接两个搜索项的缺省方式:
::"搜索项1" "搜索项2"
- 使用关键字 OR 表示逻辑或:
::"搜索项1" OR "搜索项2"
- 使用减号表示逻辑非:
::-"搜索项1"
- 不支持使用圆括号来明确指定运算的次序。
参见
- 布尔代数主题列表
- 布尔代数
- 布尔三段论
- 逻辑代数
- 布尔函数
- 逻辑门
- 文氏图
外部链接
- [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Boole/CalcLogic/CalcLogic.html 逻辑的演算], George Boole 著, Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98.
Category:逻辑
Category:布尔代数
命题逻辑在数理逻辑中命题演算或句子演算是一个形式演绎系统，其原子公式是命题变量。(相对于谓词逻辑，它是量化的并且它的原子公式是谓词函数；和模态逻辑，它可以是非真值泛函的。)
演算是用来证明有效的公式(就是说它的定理)和论证(argument)的逻辑系统。它是公理的集合(它可以为空或是可数无限集合)或公理模式(schemata)，和推导有效的推理的推导规则。形式文法(或语法)递归定义语言的表达式和合式(well-formed)公式(wff)。此外给出定义真值(truth)和求值(valuation)(或释义(interpretation))的语义。它允许我们确定哪个 wff 是有效的(也就是定理)。
在命题演算中语言由命题变量(或者叫占位符(placeholder))和句子算子(或者叫连结词)。wff 是任何原子公式或在句子操作符之上建造的公式。
在下文中我们描述一种标准命题演算。很多不同的公式系统存在，它们都或多或少等价但在下列方面不同：(1)它们的语言(就是说哪些操作符和变量是语言的一部分); (2) 它们有哪些(如果有的话)公理; (3)采用了哪些推理规则。
文法
语言的构成:
# 字母表的大写字母，表示命题变量。它们是原子公式。惯例上，使用拉丁字母(A, B, C)或希腊字母(χ, φ, ψ)，但是不能混合使用。
# 表示连结词(connective)(或逻辑算子)的符号: ¬、∧、∨、→、↔。(我们可以使用更少的算子(和相应的符号)，因为一些算子是简写形式 — 例如，P → Q 等价于 ¬ P ∨ Q)。
# 左右圆括号: (，)。
合式公式(wff)的集合右如下规则递归的定义:
# 基础: 字母表的字母(通常是大写的，如A、B、φ、χ 等)是 wff。
# 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。
# 归纳条款 II 如果 φ 和 ψ 是 wff，则 (φ ∧ ψ)、(φ ∨ ψ)、(φ → ψ) 和 (φ ↔ ψ) 是 wff。
# 闭包条款: 其他东西都不是 wff。
重复的应用这三个公式允许生成复杂的 wff。例如:
# 通过规则 1，A 是 wff。
# 通过规则 2，¬ A 是 wff。
# 通过规则 1，B 是 wff。
# 通过规则 3，( ¬ A ∨ B ) 是 wff。
演算
为了简单化，我们使用自然演绎系统，它没有公理；或者等价的说，它有空的公理集合。
使用我们的演算的推导将用编号后的行的列表，在每行之上有一个单一的 wff 和一个断定(justification)的形式展示出来。任何前提(premise)都在定部，并带有 "p" 作为它们的断定。结论将在最后一行。推导将被看作完备的，条件是所有行都是通过正确的应用一个规则而从前面的行得出的。
(作为一种对比的方式，参见证明树)。
公理
我们的公理集合是空集。
推理规则
我们的命题演算有十个推理(inference)规则。这些规则允许我们从给定的一组假定为真的公式中推导出其他为真的公式。前八个简单的陈述我们可以从其他 wff 推论出(infer)特定的 wff。但是最后两个规则使用了假言(hypothetical)推理，这意味着在规则的前提中我们可以临时的假定一个(未证明的)假设(hypothesis)作为推导出的公式集合的一部分，来查看我们是否能推导出一个特定的其他公式。因为前八个规则不是这样而通常被描述为非假言规则，而最后两个就叫做假言规则。
; 双重否定除去: 从 wff ¬ ¬ φ，我们可以推出 φ。
; 合取介入: 从任何 wff φ 和任何 wff ψ，我们可以推出 ( φ ∧ ψ )。
; 合取除去: 从任何 wff ( φ ∧ ψ )，我们可以推出 φ 和 ψ。
; 析取介入: 从任何 wff φ，我们可以推出 (φ ∨ ψ) 和 (ψ ∨ φ)，这里的 ψ 是任何 wff。
; 析取除去: 从 ( φ ∨ ψ )、( φ → χ ) 和 ( ψ → χ ) 形式的wff，我们可以推出 χ。
; 双条件介入: 从 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 形式的 wff，我们可以推出 ( φ ↔ ψ )。
; 双条件除去: 从 wff ( φ ↔ ψ )，我们可以推出 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ )。
; 肯定前件: 从 φ 和 ( φ → ψ ) 形式的 wff，我们可以推出 ψ。
; 条件证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ，我们可以推出 ( φ → ψ )。
; 反证证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ 和 ¬ ψ，我们可以推出 ¬ φ。
证明的例子
下面是(语法上的)证明的一个例子:
要证明:
证明:
解释 为 "假定 A，推导出 A"。读 为 "不假定任何东西，推导出 A 蕴涵 A" ，或者 "A 蕴涵 A 是重言式" ，或者 "A 蕴涵 A 是永真的"。
规则的可靠性和完备性
这组规则的关键特性是它们是可靠的和完备的。非形式的，这意味着规则是正确的并且不再需要其他规则。这些要求可以如下这样正式的提出。
我们定义真值指派为把命题变量映射到真或假的函数。非形式的，这种真值指派可以被理解为对事件的可能状态(或可能性世界)的描述，在这里特定的陈述是真而其他为假。公式的语义因而可以被形式化，通过对它们把那些"事件状态"认定为真的定义。
我们通过如下规则定义这种真值 A 在什么时候满足特定 wff:
- A 满足命题变量 P 当且仅当 A(P) = 真
- A 满足 ¬ φ 当且仅当 A 不满足 φ
- A 满足 (φ ∧ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者
- A 满足 (φ ∨ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 和 ψ 中至少一个
- A 满足 (φ → ψ) 当且仅当没有 A 满足 φ 但不满足 ψ 的事例
- A 满足 (φ ↔ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者，或则不满足它们中的任何一个
通过这个定义，我们现在可以形式化公式 φ 被特定公式集合 S 蕴涵的意义。非形式的，就是在使给定公式集合 S 成立的所有可能情况下公式 φ 也成立。这导引出了下面的形式化定义: 我们说 wff 的集合 S 语义蕴涵(蕴涵：entail 或 imply)特定的 wff φ，条件是满足在 S 中的公式的所有真值指派也满足 φ。
最后我们定义语法蕴涵，φ 被 S 语法蕴涵，当且仅当我们可以在有限步骤内使用我们提出的上述推理规则推导出它。这允许我们精确的公式化推理规则的可靠性和完备性的意义:
; 可靠性 : 如果 wff 集合 S 语法蕴涵 wff φ，则 S 语义蕴涵 φ
; 完备性 : 如果 wff 集合 S 语义蕴涵 wff φ，则 S 语法蕴涵 φ
对上述规则集合这些都成立。
可靠性证明的梗概
(对于多数逻辑系统，这是相当"简单的"证明方向)
符号约定: 设 "G" 是涉及语句集合的变量。设 "A"、"B" 和 "C" 是涉及句子的变量。我们把 "G 语法蕴涵 A" 写成 "G 证明 A"。我们把 "G 语义蕴涵 A" 写成 "G 蕴涵 A"。
我们要展示: (A)(G)(如果 G 证明 A，则 G 蕴涵 A)
我们注意到 "G 证明 A" 有一个归纳定义，这给予我们直接的办法来证实(demonstrate)"如果 G 证明 A，则 . . ."形式的断言。所以我们的证明是用归纳法进行的。
- I. 基础。展示: 如果 A 是 G 的成员则 G 蕴涵 A
- [II. 基础。展示: 如果 A 是公理，则 G 蕴涵 A
- III. 归纳步骤: (a) 假定对于任意的 G 和 A，如果 G 证明 A 则 G 蕴涵 A。(如果需要的话，对 B、C 等做同样的假定)
::(b) 对于针对 A 的推论的规则的，导出一个新的句子 B 的每个可能的应用，展示 G 蕴涵 B。
(N.B. 对于上述演算基础步骤 II 可以省略，它是自然演绎系统而没有公理。基本上，它涉及展示每个公理都是(语义上)逻辑真理。)
基础步骤证实了对于任何 G 来自 G 的最简单的可证明的语句都被 G 所蕴涵。(这是简单的，因为集合蕴涵它的任何一个成员是语义事实，这是平凡的(trivial))。归纳步骤将有系统的覆盖所有的进一步的可证明的句子--通过考虑我们能够使用推理规则达成逻辑结论的每种情况--并展示如果一个新句子是可证明的，它也是在逻辑上被蕴涵的。(例如，我们可能有一个告诉我们从 "A" 可以推导出 "A 或 B"。在 III.(a) 中我们假定如果 A 是可证明的则是被蕴涵的。我们也知道如果 A 是可证明的，则 "A 或 B" 是可证明的。我们必须展示接着 "A 或 B" 也是被蕴涵的。我们求助于语义定义和我们所做的假定来完成。我们假定了 A 从 G 是可证明出来的。所以它也被 G 所蕴涵。所以使 G 全部为真的任何语义求值也使 A 为真。此外通过"或"的语义定义，使 A 为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以使 G 的全部为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以 "A 或 B"被蕴涵了。)一般的，归纳步骤将由有一定长度的，却是推论的所有规则的简单的逐个例的分析组成的，它展示每个"保持的"语义蕴涵。
通过可证明性的定义，除了 G 的成员、公理、或从规则得出的句子之外没有是可证明的；所以如果所有这些都是语义上被蕴涵的，则演绎演算是可靠的。
完备性证明的梗概
(这通常是非常困难的证明方向。)
我们接受同上面一样的符号约定。
我们要展示: 如果 G 蕴涵 A，则 G 证明 A。我们通过反证法来进行: 我们转而展示如果 G 不证明 A，则 G 不蕴涵 A。
- I. G 不证明 A。(假定)
- II. 如果 G 不证明 A，则我们可以构造一个(有限的)"最大化的集合" G
- ，它是 G 的超集并且不证明 A。
- (a)在这个语言的所有句子上加置一个"次序"。(比如，字母表次序)，并把它们编号为 E1, E2, . . .
- (b)归纳的定义集合(G0, G1 . . . )的一个序列(series) Gn 为如下 (i)G0=G。 (ii) 如果 证明 A，则 G(k+1)=Gk。 (iii) 如果 不证明 A，则 G(k+1)=
- (c)定义 G
- 为所有 Gn 的并集。(就是说，G
- 在任何 Gn 中的所有句子的集合)。
- (d) 可以容易的展示 (i) G
- 包含(是其超集) G (通过 (b.i))；(ii) G
- 不证明 A (因为如果它证明 A 则某些句子被增加到某个 Gn 上而导致它证明了 A; 但是这被定义所排除)；和 (iii) G
- 是(关于 A) "最大化的集合": 如果任何更多的句子不管怎样的被增加到 G
- ，它就会证明 A。(因为如果有可能增加任何更多的句子，再次根据定义，在构造 Gn 期间被遇到的时候它们就应当已经被增加进去了。)
- III. 如果 G
- 是(关于 A)的最大化集合，则它是"类真理的"。这意味着它包含句子 "A"，只在它不包含非-A 的句子的条件下; 如果它包含 "A" 并且包含 "如果 A 则 B"，则它也包含 "B"；以此类推。
- IV. 如果 G
- 是类真理的，则有这个语言的 "G
- -规范"求值: 它使在 G
- 中每个句子为真而在 G
- 之外的所有句子为假，而仍然遵守在这个语言的语义合成(composition)的法则。
- V. G
- -规范求值将使我们最初的集合 G 全部为真，而使 A 为假。
- VI. 如果有在其上 G 是真而 A 是假的求值，则 G 不(语义上)蕴涵 A。
Q.E.D.
可供选择的演算
有可能定义其他版本的命题演算，它通过公理的方式定义了多数逻辑算子的语法，并且它只使用一个推理规则。
公理
设 φ、χ 和 ψ 表示合式公式。(wff 自身将不包含任何希腊字母，而只包含大写罗马字母、连结算子和圆括号)。公理有
- THEN-1: φ → (χ → φ)
- THEN-2: (φ → (χ → ψ)) → ((φ → χ) → (φ → ψ))
- AND-1: φ ∧ χ → φ
- AND-2: φ ∧ χ → χ
- AND-3: φ → (χ → (φ ∧ χ))
- OR-1: φ → φ ∨ χ
- OR-2: χ → φ ∨ χ
- OR-3: (φ → ψ) → ((χ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ))
- NOT-1: (φ → χ) → ((φ → ¬ χ) → ¬ φ)
- NOT-2: φ → (¬ φ → χ)
- NOT-3: φ ∨ ¬ φ
公理 THEN-2 可以被看作是"关于蕴涵的蕴涵的分配特性"。公理 AND-1 和 AND-2 对应于"合取除去"。在 AND-1 和 AND-2 之间的关系反映了合取算子的交换性。公理 AND-3 对应于"合取介入"。公理 OR-1 和 OR-2 对应于"析取介入"。在 OR-1 和 OR-2 之间的关系反映了析取算子的交换性。公理 NOT-1 对应于"反证法"。公理 NOT-2 说明了"从矛盾中可以推导出任何东西"。公理 NOT-3 叫做"排中律" (拉丁语 tertium non datur: "排除第三者")并反映了命题公式的语义求值: 公式可以有的真值要么是真要么是假。至少在经典逻辑中，没有第三个真值。直觉逻辑不接受公理 NOT-3。
推理规则
推理规则是肯定前件:
- .
如果还使用双箭头的等价算子的话，则要增加如下"自然"推理规则:
- IFF-1:
- IFF-2:
元推理规则
设示范被表示为相继式，假设在十字转门(turnstile)的左侧而结论在十字转门的右侧。则演绎定理可以被陈述如下:
: 如果相继式
::
: 已经被证实了，则也有可能证实相继式
::。
这个演绎定理(DT)自身没有公式化为命题演算: 它不命题演算的定理，而是关于命题演算的一个定理。在这个意义上，它是元定理，相当于关于命题演算可靠性和完备性的定理。
在另一方面，DT 对与简化语法上的证明过程是如此的有用以至于它看作和用做推理规则，同肯定前件一起使用。在这个意义上，DT 对应于自然条件证明推理规则，它是在本文中提出的第一个版本的命题演算的一部分。
DT 的逆定理也是有效的:
: 如果相继式
::
: 已经被证实了，则也有可能正式相继式
::
实际上，DT 的逆定理的有效性相对于 DT 而言是平凡的:
: 如果
::
: 则
:: 1:
:: 2:
: 并且可以演绎自 (1) 和 (2)
:: 3:
: 通过肯定前件的方式，Q.E.D.
DT 的拟命题有着强有力的蕴涵: 它可以用来把公理转换成推理规则。例如，公理 AND-1,
:
可以通过演绎定理的逆定理的方式被转换成推理规则
:
这是合取除去，是(在本文中)第一个版本的命题演算中使用的十个推理规则中的一个。
证明的例子
下面是(语法上)证明的一个例子，只涉及到公理 THEN-1 和 THEN-2:
要证明: A → A (蕴涵的自反性)。
证明:
:1. (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))
::公理 THEN-2 通过 φ = A, χ = A → A, ψ = A
:2. A → ((A → A) → A)
::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A → A
:3. (A → (A → A)) → (A → A)
::得自 (1) 和 (2) 通过肯定前件。
:4. A → (A → A)
::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A
:5. A → A
::得自 (3) 和 (4) 通过肯定前件。
其他逻辑演算
命题演算大概是在所有当前使用的逻辑演算中最简单的一种。(亚里士多德的"三段论"演算，在现代逻辑中在很大程度上被替代了，它与命题逻辑相比在某些方面更简单--但在其他方面更加复杂)。它可以按很多方式来扩展。
最直接的方式是开发一个更加复杂的逻辑演算，介入对所用于的句子的更精细的细节敏感的规则。在命题逻辑中的"原子句子"被分解成项、变量、谓词和量词的时候，它们就生成了一阶逻辑，或者叫做一阶谓词逻辑，它保持命题逻辑的所有规则并增加了一些新规则。(例如，从"所有的狗都是动物"我们可以推出"如果 Rover 是狗，则 Rover 是动物")。
通过一阶逻辑的工具，有可能公式化一些理论，要么带有显式的公理要么通过推理规则，而把它们自身当作逻辑演算。算术是其中最周知的理论；其他的还包括集合论和 mereology。
模态逻辑也提供了一种推理的变体，它不能在命题演算中捕获。例如，从"必然性的 p" 我们可以推出 p。从 p 我们可以推出 "可能性的 p"。
多值逻辑是允许句子有除了真和假之外的值的逻辑。(例如，都不和都是是标准的"额外值"；"连续统逻辑"允许每个句子有任何的在真和假之间的表示"真实程度"的有限的数值)。这些逻辑经常要求与命题逻辑非常不同的运算设备。
参见
- 布尔代数主题列表
- 哥德尔、埃舍尔、巴赫
- 布尔逻辑
- 弗雷格的命题演算
外部链接
- [http://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm Article on Propositional logic] at the Internet Encyclopedia of Philosophy
- [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml2.htm Introduction to Mathematical Logic]
Category:离散数学
Category:数理逻辑
th:แคลคูลัสเชิงประพจน์
谓词逻辑一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." () 或 "对于任何 x，..." ()，这里的 x 是论域(domain of discourse)的成员。一阶(递归)公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理，可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的"..."叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以，表达"是黄色"或"喜欢椰菜"分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。
一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。性质可以被当作物体只凭自身的一种构成(form)，它可以拥有其他性质。性质被认为有别于拥有它的物体。所以一阶逻辑不能表达下列陈述，"对于所有的性质 P，..." 或"存在着性质 P，..."。
但是，一阶逻辑足够强大了，它可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学。把量化限制于个体(individual)使它难于用于拓扑学目的，但它是在数学底层经典的逻辑理论。它是比句子逻辑强比二阶逻辑弱的理论。
一阶逻辑的定义
谓词演算构成如下
- 生成规则(就是形成合式公式的递归定义)。
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