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| 经典逻辑 |
经典逻辑经典逻辑标识已经被最深入的研究和最广泛的使用的一类形式逻辑。它们被特征化为一些性质；非经典逻辑缺乏一个或多个这种特性，它们是:
#排中律;
#无矛盾律;
#蕴涵的单调性和蕴涵的等幂性;
#合取的交换性;
#De Morgan 对偶性: 所有逻辑算子都对偶于另一个。
经典逻辑的例子
- 亚里士多德的工具论介入了他的三段论理论，它是带有严格形式的断定(judgement)的逻辑: 断言采用四种形式，所有 Ps 都是 Q，有些 Ps 是 Q，没有 Ps 是 Q，有些 Ps 不是 Q。这些断定是两对对偶的算子，并且每个算子都是另一个的否定，亚里士多德用他的对立四边形总结了它们之间的联系。亚里士多德明确的公式化表达了排中律和无矛盾律，尽管这些定律不能在三段论框架内作为断定来表达。
- George Boole 的代数的重新逻辑形式化为布尔逻辑;
- Gottlob Frege 的概念文字。
- Clarence Irving Lewis 的真势模态逻辑的系统 S1-S5。
非经典逻辑
- 直觉逻辑拒绝排中律和 De Morgan 律；
- 次协调逻辑(比如双面真理逻辑和相干逻辑)拒绝无矛盾律；
- 相干逻辑、线性逻辑和非单调逻辑拒绝蕴涵的单调性；
- 线性逻辑拒绝蕴涵的等幂性；
- 可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，相对于是真值的形式理论的经典逻辑；它整和并扩展了经典、线性和直觉逻辑;
- 模态逻辑向经典逻辑扩展了非真值泛函("模态")算子。
引用
- Dov Gabbay, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press.
Category:逻辑
亚里士多德
亚里士多德（希腊語：Αριστοτέλης 约前384年—前322年）是古希腊著名的哲学家、科学家和教育家。他是柏拉图的学生，亚历山大大帝的老师。他总结了泰勒斯以来古希腊哲学发展的结果，首次将哲学和其他科学区别开来，开创了逻辑学、伦理学、政治学和生物学等学科的独立研究。他的学术思想对西方文化、科学的发展产生了巨大的影响。
亚里士多德把科学分为：（1）理论的科学(数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；（2）实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；（3）创造的科学，即诗学。
简介
当我们谈到古希腊哲学时，有三个连贯的人物我们不得不提到：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德。他们三人一起创立了今天的西方哲学思想。
尽管亚里士多德是柏拉图的学生，他的观点与柏拉图有很多不同之处。柏拉图是一名理想主义者和理性主义者，柏拉图相信我们的物质世界其实是一个不完美的世界，在它的背后有一个完美的“理念的世界”。而亚里士多德则认为，我们对世界的认识是从我们的感官而来的。因此，其实亚里士多德的哲学开创了之后的科学方法。
亚里士多德的著作到今天依然存在，它们大多是教科书式的文献，很多甚至是亚里士多德学生的笔记。
在中世纪的早期，由于新柏拉图主义的盛行，亚里士多德的著作没有被翻译。但到了12世纪，亚里士多德主义开始兴起，他的著作也被翻译成了各种欧洲文字，形成了中世纪后期的经院哲学。这种哲学后来成为了早期近代哲学家例如伽利略和笛卡尔所批驳的对象。
生平
亚里士多德公元前３８４年出生于色雷斯的斯塔基拉，父亲是马其顿王的御医。公元前366年亚里士多德被送到雅典的柏拉图学园学习，此后20年间亚里士多德一直住在学园，直至老师柏拉图去世。柏拉图去世后，由于学园的新首脑比较同情柏拉图哲学中的数学倾向，令亚里士多德无法忍受，便离开雅典。但是从亚里士多德的著作中可以看到，虽然亚里士多德不同意波西普斯等学园新首脑的观点，但依然与他们保持良好的关系。
离开学园后，亚里士多德先是接受了先前的学友赫米阿斯的邀请访问小亚细亚。赫米阿斯当时是小亚细亚沿岸的密细亚的统治者。亚里士多德在那里还娶了赫米阿斯的侄女为妻。但是在公元前344年，赫米阿斯在一次暴动中被谋杀，亚里士多德不得不离开小亚细亚，和家人一起到了米提利尼。3年后，亚里士多德又被马其顿的国王腓力浦二世召唤会故乡，成为当时年仅13岁的亚历山大大帝的老师。根据古希腊著名传记作家普鲁塔克的记载，亚里士多德对这位未来的世界领袖灌输了道德、政治以及哲学的教育。我们也有理由相信，亚里士多德也运用了自己的影响力，对亚历山大大帝的思想形成起了重要的作用。正是亚里士多德的在影响下，亚历山大大帝始终对科学事业十分关心，对知识十分尊重。但是，亚里士多德和亚历山大大帝的政治观点或许并不是完全相同的。前者的政治观是建筑在即将衰亡的希腊城邦的基础上的，而亚历山大大帝后来建立的中央集权帝国对希腊人来说无异是野蛮人的发明。
公元前335年腓力浦去世，亚里士多德又回到雅典，并在那里建立了自己的学校。学园的名字（Lyceum）以阿波罗神殿附近的杀狼者（吕刻俄斯）来命名。在此期间，亚里士多德边讲课，边撰写了多部哲学著作。亚里士多德讲课时有一个习惯，即边讲课，边漫步于走廊和花园，正是因为如此，学园的哲学被称为“逍遥的哲学”或者“漫步的哲学”。亚里士多德的著作在这一期间也有很多，主要是关于自然和物理方面的自然科学和哲学，而使用的语言也要比柏拉图的《对话录》晦涩许多。他的作品很多都是以讲课的笔记为基础，有些甚至是他学生的课堂笔记。因此有人将亚里士多德看作是西方第一个教科书的作者。
亚历山大死后，雅典人开始奋起反对马其顿的统治。由于和亚历山大的关系，亚里士多德不得不因为被指控不敬神而逃亡加而西斯避难。他的学园则交给了狄奥弗拉斯图掌管。一年之后，公元前322年，亚里士多德去世，去世的原因是一种多年积累的疾病所造成的。关于他被毒死，或者由于无法解释潮汐现象而跳海自杀的传言是完全没有史实根据的。
哲学观
虽然亚里士多德是柏拉图的学生，但他却是第一个公开批评柏拉图的人。他特别反对的是柏拉图哲学中有关数学的部分。有人认为虽然亚里士多德熟知当时的数学，他却从来没有理解柏拉图的数学。
除此之外，亚里士多德对柏拉图的相论也有批评。虽然他同意一个事物的“形式”是恒古不变的，但他认为这个“形式”本身并不存在，而是人们在感受到实物后形成的概念。因此他认为，“形式”其实就是事物本身的特征。他指出，我们所拥有的任何一种想法、观念都是透过我们的感官进入我们的意识。
但是亚里士多德并不否认人有理性，正是有了理性，人才能将不同的感官印象区分开来。但是他同时指出，在人的感官经验到任何东西之前，理性是完全真空的。
亚里士多德认为自然界有因果关系的存在。他认为自然界有四种不同的原因，古希腊人的“原因”观念不同于近代以来的“因果性”观念，“原因”与“为什么”相对应，并不与“结果”相对应。即“目的因”、“质料因”、“动力因”和“形式因”。
亚里士多德在逻辑学方面则提出了所谓的三段论。他的这个理论在后来的两千年内，在西方一直是唯一被承认的论证形式。
伦理学方面，亚里士多德强调的是所谓“黄金比例”。这或许和希腊自然派哲学家的“和谐”概念类似。他认为，人不应该偏向哪一个极端，惟有平衡，人才能过快乐和谐的生活。
亚里士多德认为人是天生的政治动物，人不生存在社会中便不是真正的人。他还提出三种良好的政治制度：君主制、贵族政治和民主政治（他称之为“Polity”）。
科学观
亚里士多德在古希腊科学史上标志着一个转折点，因为他是最后提出一个整个世界体系的人，而且是第一个从事广泛经验考察的人。
在天文学方面，亚里士多德创立了运行的天体是物质实体的学说。
在物理学方面，亚里士多德认为各物体只有在一个不断作用着的推动者直接接触下，才能够保持运动。根据亚里士多德的说法，“真空”是不能存在的，因为空间必须装满物质。这样才能通过直接接触来传递物理作用。
后世的物理学家牛顿指出了亚里士多德这一论断的谬误，指出了“力不是保持物体运动的直接原因。力只能改变物体的运动状态。”可以说，在牛顿经典力学体系的大厦没有造起来之前，整个西方世界都被亚里士多德的物理学统治着。
艺术观
在戏剧方面，亚里士多德的《诗学》是第一部探讨古希腊悲剧艺术的总结性著作。他在书中提出了著名的“摹仿说”，认为悲剧“描写的是严肃的事件，是对有一定长度的动作的摹仿；目的在于引起怜悯和恐惧，并导致这些情感的净化；主人公往往出乎意料的遭到不幸，从而成悲剧，因而悲剧的冲突成了人和命运的冲突”。
这是艺术史上第一次对戏剧的本质做出探讨，更开创了亚里士多德的诗学传统。他的观点后来被古罗马的贺拉斯在《诗艺》中加以发挥，从而间接影响了整个西方艺术史。
外部链接
- [http://wikiquote.org/wiki/Aristotle 维基语录]
- [http://www.gutenberg.net/cgi-bin/search/t9.cgi?author=aristotle Gutenberg texts for Aristotle]
- [http://Aristotle.thefreelibrary.com/ A brief biography and e-texts presented one chapter at a time]
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对立四边形
对立四边形是来自亚里士多德逻辑或项逻辑的术语，它明确说明了各种句子类型之间的逻辑关系。
对于主词 S 和谓词 P，提供了如下规则:
# 全称陈述至少有一个必须是假。
# 矛盾的陈述有对立的真值。
# 全称陈述蕴涵它们的下级特称陈述。
# 特称陈述至少有一个必须是真。
只有前两个规则是亚里士多德陈述的(在他的著作解释篇中)，而另两个可以从中推导出来。
存在性引入问题
对立四边形在现代在很大程度上落伍了，并且实际上与现代谓词演算不兼容。这是因为在现代逻辑中，"所有的 S 都是 P" 在实际上不蕴涵任何 S 的存在性。所以，亚里士多德的到"有些 S 是 P"的连线(这蕴含着 S 的存在性)在现代逻辑中不成立。如何恰当的解释亚里士多德逻辑与此有关的问题叫做存在性引入问题，已经收到了各种提议的解决方案，同时它也被当作三段论的一个缺陷。
外部連結
- [http://plato.stanford.edu/entries/square/ Stanford Encyclopedia of Philosophy article]
- [http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Eximport.htm History of the Problem of Existential Import]
Category:逻辑
概念文字概念文字是1879年出版的 Gottlob Frege 写的关于逻辑学的一本书。书名 Begriffsschrift 通常翻译成 concept writing 或 concept notation；书的完整标题把它标识为"模仿算术的纯思维的形式语言"。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。Frege 开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对演算推论器的渴望。
Frege 定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。概念文字是书和其中定义的演算二者的名字。
记号和系统
演算介入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑，尽管使用了一种特异的二维记号(notation): 连结词和量词使用连接公式的线条来书写，而不是今天使用的符号(symbol) ¬、∧、∀。例如，在断定(judgement) B 和 A 之间的蕴涵，也就是 用 Image:Kondicionaliskis.PNG 来指定。
在他的著作的第一章中，Frege 确定了基本概念和标号(sign),象命题("断定")，和全称量词("普遍性"(generality))，蕴含("条件性"(conditionality))，否定和等号 ；在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理(它们是在语义上证明的形式化陈述(statement))。
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他给出了条件的定义(第 1 章. §5.):
:"设 A 和 B 指称可断定的内容，则有四种潜在的可能性:
设 Image:Kondicionaliskis.PNG 标示(sign)第三种可能性是不能得到的，而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定 Image:Kondicionaliskis.PNG 就意味着第三种可能性是有效的，就是说我们否定了 A 并肯定了 B。"
Frege 著作中的演算
Frege 声明了九个重言式(tautology)断定作为公理。他以语义方式证明了它们，并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。
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Frege 在第二章中历数了被形式化的命题；成为了他的公理的是第 1st, 2nd, 8th, 28th, 31st, 41st, 52nd, 54th, 58th 个命题。
他在这章中还声明了两个推理规则: 它们是肯定前件(modus ponens); 和代换律。在第一章中他宣布了一个约定，"普遍化律"。这意味着如果"自由"变量能在一个断定中找到，则把它当作全称量化的，依据 Frege 的定律，在 标号("断定符号")之后的，被固定的(fixed)变量是断定，而不是"开放的"公式，也就是谓词。
Frege 在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章("Parts from a general series theory")是对他在建造算术上做的工作的介绍。
对其他著作的影响
它的记号的某些痕迹幸存了: 被逻辑学家非正式的叫做"十字转门"(turnstile)的符号 演化自 Frege 的 "Inhaltsstrich" ── 和 "Urteilsstrich" │。Frege 在 Begriffsschrift 中以合一的形式 ├─ 使用这些符号来声明一个命题是(重言式)真的，而不是简单的宣布它. 他使用 "Definitionsdoppelstrich" │├─ 作为表示一个命题是一个定义的符号。
在 Tractatus Logico Philosophicus 中，Ludwig Wittgenstein 通过使用术语 Begriffsschrift 作为逻辑形式主义的同义词来表达对 Frege 的敬意。
在 Frege 后来的著作 "Sense and reference" 中，它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论(用数学上的 = 号来标记)。
一段引文
"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治 [...], 那么我的概念记号，就是为这个目的而开发的，它能够成为哲学家的有用的工具 [...] 我认为，只是通过发明这些概念记号，逻辑的本质(matter)就已经被促进了(forward)。"
:Begriffsschrift [前言]
引用
- Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
- Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.
参见
- 弗雷格的命题演算
外部链接
- [http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/ "Frege 的逻辑学" 于 Stanford 哲学百科全书]
Category:逻辑
Category:數學書籍
直觉逻辑直觉逻辑或构造性逻辑，是在数学直觉主义和其他形式的数学结构主义中使用的逻辑。
粗略的说，"直觉主义"把数学和逻辑保持为"构造性"的精神活动。就是说，它们不是解析性活动，在其中披露和应用存在的深入性质。转而，逻辑和数学是应用内部一致的方法，去认识更加复杂的精神构造(实际上是一种游戏)。在更严格的意义上，直觉逻辑可以作为非常具体和形式化的一种数理逻辑来研究。尽管对这样的一种形式化的演算是否实际上捕获了直觉主义的哲学特征是有争议的，在实用的观点上它是非常有用的工具。
下面给出这个术语的两重概念。
作为逻辑推理典范的直觉逻辑
在直觉逻辑中，证明中的在认识论上不清晰的步骤是禁止。在经典逻辑中，公式 A 断言 A 是真。在直觉逻辑中这个公式只在可被"证明"的情况下才被当作是真。作为这种区别的例子，考虑经典逻辑所接受的排中律，直觉逻辑不接受这条定律，因为在允许这种公式的语言中，有可能从 P ∨ ¬P 得出结论，而不需要知道这个析取中哪个是真的。在效果上，在直觉逻辑中，P ∨ ¬P 说明至少 P 或 ¬P 中的一个可以被证明，这比说它们的析取是真要强壮。
背后的想法是精神构造的有效性依赖于它与它的上下文(知觉)的一致。出于这种看法，认识论上的不透明性，在效果上是欺骗。
直觉逻辑在它的逻辑演算中用正当性替代了真实性。逻辑演算跨越生成导出命题的变换保持正当性，而不是真实性。
直觉逻辑给予多个哲学派别哲学上的支持，其中最著名的是 Michael Dummett 的反现实主义。
作为形式逻辑演算的直觉逻辑
从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机。实际上，如果你找寻像逻辑编程的自动推理，那么你明显的不只是对存在性的陈述感兴趣。计算机程序被假定用来计算答案，而不是去陈述一个答案。所以，在应用中你通常找寻一个给定的存在性断言的证据。此外，你可能关心能证明 ∃x : P(x)，但是对于它顾及的任何具体 b 却不能证明 P(b) 的证明系统。
为了以数学上精确的方式形式化直觉逻辑，需要模型论(语义)和适当的证明论。直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。明显的区别是这些经典逻辑的很多重言式(tautology)在直觉逻辑中不再是可证明的。例子不只包括排中律 P ∨ ¬P，还有 Peirce 定律 ((P → Q) → P) → P。
经典重言式在直觉逻辑中无效的更加熟悉的例子与所谓的双重否定除去有关。在经典逻辑中，P → ¬¬P 和 ¬¬P → P 二者都是定理。在直觉逻辑中，只有第一个是定理: 双重否定可以介入，但不能除去。在直觉逻辑中否定的解释不同于它在经典逻辑中的对应物。在经典逻辑中，¬P 断言 P 是假；在直觉逻辑中，¬P 断言 P 的证明是不可能的。上面在这两个蕴涵之间的不对称现在变得很显著。如果 P 是可证明的，则证明没有 P 的证明当然是不可能的；第一个蕴涵成立。但是第二个蕴涵失败了: 因为没有对 P 的证明是不可能的证明，我们不能从这种缺乏得出结论有 P 的证明。
对很多经典的有效重言式不是直觉逻辑的定理的观察导致弱化经典逻辑的证明理论的想法。比如 Gentzen 获得了相继式演算 LK的一个弱化版本，他称之为LJ。这就得到了适合的证明理论。
直觉逻辑的语义比经典的确定性的情况更加复杂。Heyting代数或等价的Kripke语义给出了它的语义。
Heyting 代数语义
在经典逻辑中，我们经常讨论一个公式可能接受的真值。这种值通常被选择为布尔代数的成员。在布尔代数中的交和并算子等同于 ∧ 和 ∨ 逻辑连结词，所以形如 A ∧ B 的公式是在布尔代数中 A 的值和 B 的值的交。所以我们就有了一个有用的定理，一个公式是经典逻辑的有效的句子/断定，当且仅当它的值对于任何求值都是 1---就是说，对它的变量的任何指派都是真。
对于直觉逻辑对应的法则也是真的，但是不再对每个公式指派(assign)来自布尔代数的值，而是使用来自Heyting代数的值，布尔代数是它的特殊情况。公式在直觉逻辑中是有效的，当且仅当它对于在任何 Heyting 代数上的任何求值总是得到值 1。
可以证实为了识别有效的公式，考虑其元素是实平面 R2 的开集(open set)的一个单一的 Heyting 代数就足够了。在这种代数中，∧ 和 ∨ 算子对应于集合的交和并，并且指派给公式 A→B 的值同于指派给公式 ¬(A ∧ ¬B)的值。指派给 ¬F 的值是 FC°，这是 F 的值的补集的内部。表示 1(真)的值是全集 R2。通过这些指派，直觉上有效的公式正好就是被指派为值 1 的公式。
例如，公式 ¬(A ∧ ¬A) 是有效的，因为不管为公式 A 选择什么集合 X 作为值，¬(A ∧ ¬A) 的值总是被证实为 1:
: Value(¬(A ∧ ¬A)) =
: (Value(A ∧ ¬A))C° =
: (Value(A) ∩ Value(¬A))C° =
: (X ∩ (Value(A))C°)C° =
: (X ∩ XC°)C°
一个拓扑学定理告诉我们 XC° 是 XC 的子集，所以交集为空，因此:
: øC° = (R2)° = R2
所以这个公式的求值是真，这个公式确实是有效的。
但是排中律 A∨¬A，可以被证实是 无效的，通过设定 A 的值是 。那么 ¬A 的值是 的内部，它就是 ，而公式的值是 和 的并，这不是全部平面。
上面描述的无限 Heyting 代数对所有直觉上有效的公式给出了真求值，而不管为公式中的变量指派了什么值。反过来说，对于每个无效的公式，都有来对变量的来自这个代数的一个值指派生成这个公式的一个假求值。可以证实没有有限的 Heyting 代数有这个性质。
Kripke 语义
主文章 Kripke语义
建立在他关于模态逻辑的语义的工作之上，Saul Kripke 为直觉逻辑建立了另一套语义，叫做 Kripke 语义或关系语义。
参见
- 直觉主义
- 直觉类型理论
- 经典逻辑
- 中间逻辑
- 线性逻辑
- 构造性证明
- Curry-Howard对应
- 可计算性逻辑
- 博弈语义
外部链接
- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry]
Category:逻辑
Category:计算机逻辑
Category:人工智能
相干逻辑相干逻辑，也叫做相关逻辑，是一类非经典亚结构逻辑，它在蕴含上施加了特定限制。(一般但不完全的，澳大利亚逻辑学家称之为 relevant logic，其他说英语的逻辑学家称之为 relevance logic)。
相干逻辑致力于捕获在经典真值泛函逻辑中被"实质蕴含"算子所忽略的蕴含方面。这个想法不是新的: 它导致 C. I. Lewis 发明模态逻辑，特别是严格蕴含，依据是在经典逻辑中谬误蕴涵任何命题是成立的。因此 "如果我是教皇，则 2+2=5" 是真的。但是很明显即使你是教皇，2+2 也不能是 5(参见反事实)。所以蕴涵关系应该是必然性的。
甚至在除去了实质蕴涵悖论之后还有另一个问题。Anderson 和 Belnap (见后)枚举了一些"严格蕴涵悖论": 例如，矛盾仍蕴涵任何事物，甚至蕴涵重言式(tautology)。反直觉的是蕴涵 - 在我们使用这个术语的时候 - 需要在前提和结论之间有某种在主旨上的联系。
在相干逻辑中的本质新颖是以有效的论证的前提必须有关于结论。在命题演算中，这包括了要求前提和结论共享原子公理；和特定的真值泛函规则，比如增加律(对于任何 q 的从 p 到 p 或 q 的推论)是受限的，这样"无关"信息不能带入。在谓词演算中，相关性要求在前提和结论之间共享变量和常量。
标准的证明论(比如 Fitch 式的自然演绎)适合提供相关性，通过在每行推导的末端介入指示"相关"的前提。Gentzen 式的演算可以为此做修改，通过除去允许在相继式右手端的介入任意公式的弱化规则。
相干蕴涵的基本想法出现在中世纪逻辑中，Ackermann 在 1950 年代做了一些先驱工作。在他的工作之上，Nuel Belnap 和 Alan Ross Anderson(和其他人)在1970年代写了这个主题的代表作: "Entailment: The Logic of Relevance and Necessity"。
相干逻辑的显著特征是它们是次协调逻辑: 矛盾的存在不会导致逻辑爆炸。
引用
- A. R. Anderson and N. D. Belnap, 1975. Entailment:the logic of relevance and necessity, vol. I. Princeton University Press.
- A. R. Anderson, N. D. Belnap and J. M. Dunn, 1992. Entailment: the logic of relevance and necessity, vol. II, Princeton University Press.
外部链接
- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/ Relevance logic] at the Stanford Encyclopaedia of Philosophy.
Category:逻辑
非单调逻辑非单调逻辑是(在前提的集合和单一的句子之间的)推论关系不是单调性的形式逻辑。多数形式逻辑都有单调性的推论关系(就是说，如果一个句子可以从前提的集合中推理出来，则它也可以从把这个前提集合作为子集包含的任何前提集合中推理出来)，这意味着向理论增加一个公式永不引起它的推论集合的减小，在直觉上，单调性指示出学习一些新知识不能减小已知知识的集合。单调逻辑不能处理各种推理任务比如缺省推理(事实可以是已知的，只是因为缺乏反面的证据), 溯因推理(事实只按最合适的解释演绎出来)，关于知识的推理(在事实变成已知的时候，对一个事实的无知必须被撤消)，和信仰修正(新知识可以和旧信仰矛盾。)
缺省推理
缺省假定的一个例子是典型的鸟类辨识。作为结果，如果给出一个是鸟的动物，并且不知道其他事情，就假定它会飞。如果后来知道这个动物其实是企鹅，这个事实无论如何都必须被撤销。这个例子展示了建模缺省推理的逻辑不应当是单调的。形式化缺省推理的逻辑可以粗略的分为两类: 可以处理任意的缺省假定的逻辑(缺省逻辑、可废止逻辑和回答集编程)，和形式化不知道为真的事实可以被缺省假定为假的特殊缺省假定的逻辑(封闭世界假说和界限)。
溯因推理
溯因推理是推导已知事实的最可能解释的过程。溯因逻辑不应当是单调的，因为最可能的解释不是必然正确的。例如，看到潮湿的草地的最可能的解释是下雨了；但是在知道了草地潮湿的真正原因是浇水了的时候，这个解释应当被撤销。因为获得了增加的知识(洒水车经过了)，旧的解释(下雨了)被撤消了，建模解释的任何逻辑都是非单调的。
有关知识的推理
如果逻辑包括意味着事物是已知的公式，这个逻辑不应当是单调的。实际上，学习以前是未知的事物导致去除指定这个知识是未知的公式。第二个改变(增加导致去除)违反了单调性的条件。关于知识的推理的逻辑有一个自动认识逻辑。
信仰修正
信仰修正是改变信仰来调和出可能同旧信仰矛盾的一个新信仰。在新信仰是正确的假定下，某些旧信仰必须撤销来维持一致。适应增加新信仰的这种撤销使用于信仰修正的任何逻辑都是非单调的。信仰修正方法是对次协调逻辑的替代选择，它容忍矛盾而不是尝试去除它。
参见
- 溯因推理
- 回答集编程
- 自动认识逻辑
- 信仰修正
- 界限
- 封闭世界假说
- 缺省逻辑
- 可废止推理
引用
- N. Bidoit and R. Hull. Minimalism, justification and non-monotonicity in deductive databases. Journal of Computer and System Sciences, 38:290-325, 1989.
- G. Brewka. Nonmonotonic Reasoning: Logical Foundations of Commonsense. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
- M. Cadoli and M. Schaerf. A survey of complexity results for non-monotonic logics. Journal of Logic Programming, 17:127-160, 1993.
- F. M. Donini, M. Lenzerini, D. Nardi, F. Pirri, and M. Schaerf. Nonmonotonic reasoning. Artificial Intelligence Review, 4:163-210, 1990.
- M. L. Ginsberg, editor. Readings in Nonmonotonic Reasoning. Morgan Kaufmann, Los Altos, Los Altos, Ca, 1987.
- W. Lukaszewicz. Non-Monotonic Reasoning. Ellis-Horwood, Chichester, West Sussex, England, 1990.
- W. Marek and M. Truszczynski. Nonmonotonic Logics: Context-Dependent Reasoning. Springer, 1993.
外部链接
- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-nonmonotonic/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry]
- [http://cs.wwc.edu/~aabyan/Logic/Nonmonotonic.html A page by Anthony Aaby on Non-monotonic logic]
Category:逻辑
Category:计算机逻辑
Category:人工智能
可计算性逻辑相对于是真理的形式理论的经典逻辑，Giorgi Japaridze 在 2003 年发明的可计算性逻辑是把逻辑恢复为系统的形式的可计算性理论的一个研究程序和数学框架。在这种方法下逻辑公式表示计算问题(或等价的计算资源)，而它们的有效性意味着"总是可计算的"。
计算问题和资源的理解是在它们最一般的意义上的 - 交互的意义上的。它们被形式化为机器扮演的针对它的环境的游戏，而可计算性意味着存在着一个机器针对经由环境的任何可能行为赢得了游戏。定义了这种游戏扮演机器所意味的东西，可计算性逻辑在交互层面提供了 Church-Turing 论题的一般化。
真理的经典概念转变为可计算性的特殊的零交互度的情况。这使经典逻辑成为可计算性逻辑的特殊片段。作为前者的保守扩展的同时，可计算性逻辑有着一个数量级之上的表达力、创造性和计算意义。提供了对基本问题 "什么是可以(如何)计算的?" 的系统的回答，它有潜在的广泛的应用领域。其中包括构造性应用理论，知识库系统，计划和行动系统。
除了经典逻辑之外，线性逻辑(在不严格的意义上理解)和直觉逻辑也转变成可计算性逻辑的自然片段了。因为"直觉真理"和"线性逻辑真理"的有意味的概念可从可计算性逻辑的语义中推导出来。
正在做着语义构造，至今可计算性逻辑仍没有完全开发出证明论。为它的各种片段找到演绎系统并探索它们的性质是正在研究中的领域。
参见
- G. Japaridze, Introduction to computability logic. Annals of Pure and Applied Logic 123 (2003), pages 1-99.
外部链接
- [http://www.cis.upenn.edu/~giorgi/cl.html Computability Logic Homepage]
- [http://www.csc.villanova.edu/~japaridz/ Giorgi Japaridze]
- [http://www.csc.villanova.edu/~japaridz/CL/gsoll.html Game Semantics or Linear Logic?]
参见
- 可计算性的逻辑
- 博弈语义
- 交互计算
Category:数理逻辑
模态逻辑模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如可能、或许、可以、一定、必然等限定的句子的逻辑分支。使用模态算子如可能或必然的任何逻辑系统因此就叫做模态逻辑。模态逻辑可以用语义的内涵性来描述其特征: 非模态逻辑都有复杂句子的真值由子句子的真值决定的特征。所以它们是外延性的。相反在模态逻辑中，这不成立: "George W. Bush 是美国总统" 和 "2 + 2 = 4" 是真的，但是 "George W. Bush 必然是美国总统" 是假的，而"2 + 2 = 4 是必然的" 是真的。
形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。模态算子的基本集合通常被指定为 和 。在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中 表示必然性，而 表示可能性。句子被认定为
- 可能的 如果它可能为真(不管实际上是真是假);
- 必然的 如果它不可能为假;
- 偶然的 如果它不是必然为真，就是说，可能为真可能为假。偶然的真理是实际上为真，但可能曾经不是的真理。
形而上学和其他模态
真势和认识
模态逻辑最经常用来谈论所谓的真势模态: "...是必然的" 或者 "....是可能的" ，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语 episteme, 知识): "...确实是真的" 和 "...(对给定的可获得的信息)或许是真的"。在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助:
一个人 Jones 可以合理的同时说出: (1) "我确信 Bigfoot 不可能存在"，还有(2) "Bigfoot 存在的确是可能的"。Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，Bigfoot 存在与否是没有疑问的。这是一个认识上的断言。通过(2)表达的意思是这个事物可能曾是其它样子的。他的意思不是 "就我所知而言，Bigfoot 可能存在" 。(所以这不矛盾于(1))。而是，他做了一个形而上学上的断定，即使他不知道，Bigfoot 存在仍是可能的。
在其他方面，Jones 可以说 (3) "哥德巴赫猜想可能为真，并也可能为假，还有(4) 如果它是真的，则它必然是真的，而不可能是假的。" 这里 Jones 的意思是，就他所知而言，它为真为假都是在认识上可能的(哥德巴赫猜想仍未被证明是真还是假)。但是如果有这么一个证明(至今仍未发现)，则哥德巴赫猜想为假在逻辑上是不可能的 -- 不会有一组数违背它。逻辑上的可能性是一种真势(alethic)可能性；(4)做了对这个数学论断已经为假是否可能的一个断言，而(3)只做了对就 Jones 所知而言这个论断被证实为假是否可能的一个断言，所以 Jones 还是不自相矛盾。
认识上的可能性还以一种非形而上学的方式关注真实世界。形而上学的可能性以可能曾是的方式关注世界，而认识上的可能性以(就我所知而言)可能正是的方式关注世界。比如，我想知道在离开前是否要带把伞。如果你告诉我 "外面可能在下雨" -- 在一种认识上可能的意义上--那么这会影响我是否带伞的决定。但是如果你告诉我 "外面下雨是可能的" -- 在一种形而上学上可能的意义上--那么我从这种大道理中没有得到任何启示。
大量的哲学文献关心真势而非认识模态。(实际上，其中大多数关心一种最广泛的真势模态，就是逻辑可能性)。这不是说真势可能性比我们日常用的认识可能性更重要(考虑上面决定是否带伞的例子)。只是说在哲学研究中的优先权不是日常生活中的重要性带来的。
道义和时态
言语中有一些类似的模式，尽管不大可能与真势模态混淆但仍密切的相关。其一是有关时间的谈论。明天可能会下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果实际上已经下了，则说"昨天可能没有下雨"就不是完全正确的。过去好像"固定的"或必然的，而将来在某种程度上不是。很多哲学家和逻辑学家认为这种推理不是很好；但是我们经常以这种方式谈话，所以最好有一种逻辑能捕获它的结构。类似的有关道德的谈论，或者说义务和规范一般好像也有模态结构。在 "你必须这么做" 和 "你可以这么做" 之间的区别看起来很像在"这是必然的和这是可能的"之间的区别。这种逻辑叫做道义逻辑，道义来自希腊语 "duty"。
值得注意的是，模态逻辑可以开发出实现多数这种方言；它们有公共逻辑机构的事实(使用"内涵"或非真值泛函的句子算子)使它们都是同一个东西的变体。认识逻辑被证实捕获于系统"S4"；道义逻辑捕获于系统"D"，时态逻辑捕获于"t"(小写的)，而真势逻辑被证实为"S5"
模态逻辑的释义
在模态逻辑的最常见解释中，你要考虑"所有逻辑上可能的世界"。如果一个陈述在所有可能的世界中是真的，则它是必然的真理。如果一个陈述碰巧在我们的世界中是真的，但不是在所有可能的世界中是真的，则它是偶然的真理。在某些(不是必须在我们自己的)可能的世界中是真的陈述叫做可能的真理。
这种"可能的世界"是否是解释模态逻辑的最佳方式，怎样在文字上接受这种方言，是形而上学的鲜活的问题。例如，可能的世界的方言可以把关于 Bigfoot 的断言翻译为"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在"。要主张 Bigfoot 的存在性是可能的，但不是现实的，你可以说"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在；但是在现实世界中，Bigfoot 不存在"。但是对使模态断言对我们负责的那个东西是什么仍是不清楚的。我们真的要宣称可能的世界的存在性吗？它在每一点都同我们的现实世界一样真实，却惟独不是现实的。David Lewis 强硬的说就是这样，可能的世界同我们自己的世界一样真实。这种立场叫做"模态现实主义"。不足为奇的，多数哲学家不愿意接受这种特别的学说，在搜寻一种可替代的方式来释义我们的模态断言所蕴含的本体论承诺。
形式化规则
有很多有不同性质的模态逻辑。在其中很多必然性和可能性的概念满足下列 de Morgan 定律的联系:
:"X 是非必然的" 等价于 "非 X 是可能的"。
:"X 是非可能的" 等价于 "非 X 是必然的"。
尽管模态逻辑教科书比如 Hughes 和 Cresswell 的 "A New Introduction to Modal Logic" 覆盖了这个定律不成立的一些系统。
模态逻辑向命题逻辑的合式公式增加上必然性和偶然性。在一些记号中 "必然的 p" 使用"方块"( )表示，而"可能的 p" 使用"菱形"()表示。无论是什么样的记号，两个算子是以相互定义的方式定义的:
- (必然的 p) 等价于 (非可能的非-p)
- (可能的 p) 等价于 (非必然的非-p)
因此， 和 叫做对偶算子。
要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于 Saul Kripke 的 K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则:
- 必然性规则: 如果 p 是 K 的定理，则 也是。
- 分配律公理: 如果 则 (这也叫做公理 K)
这些规则缺乏从 p 的必然性到 p 的实际情况的公理，所以通常要补充上下列"自反性"公理，这就生成经常叫做 T 的一个系统。
- (如果 p 是必然的，则 p 是事实)
这是多数但不是全部模态逻辑系统的规则。Jay Zeman 的书 "Modal Logic" 覆盖了没有这个规则的系统如 S1^0。
但 K 是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果 是真的则 是真的不是 K 的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是 K 的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。
今天最常见的系统是模态逻辑 S5，它通过增加使所有模态真理是必然的公理来粗壮的解答了这个问题: 例如，如果 p 是可能的，则 p 必然是可能的，如果 p 是必然的，则它必然是必然的。很多人认为它正当的根据是，它是在我们需要每个可能的世界相对于每个其他世界都是可能的时候所获得的系统。不过，模态逻辑的其他系统已经被公式化了，部分的因为 S5 不能很好的适合我们感兴趣的所有种类的形而上学模态。(若此则意味着可能的世界的谈论不能很好的适合这些种类的模态)。
模态逻辑的发展
尽管亚里士多德的逻辑几乎全部都关注直言三段论的理论，他的著作还包含在模态逻辑要点上的一些延伸讨论(比如他著名的在解释篇 § 9 中海战悖论)，并且它们与潜在性和时间有关连。遵从他的著作，经院学者为模态逻辑的严格理论开发出了根基，大多在关于本质和偶然的陈述的逻辑的注释的上下文中。在中世纪的作家中，在 William of Ockham 和 John Duns Scotus 的著作中找到了关于模态逻辑的一些最重要的工作。
形式模态逻辑的缔造者是 C. I. Lewis，他在专著 A Survey of Symbolic Logic (1918) 中介入了一个系统(后来叫做 S3)，并(同 C. H. Langford 一起)在书 Symbolic Logic (1932)中介入了系统 S1-S5。J. C. C. McKinsey 在 1941 年使用代数方法(带有算子的布尔代数)来证明 Lewis 的 S2 和 S4 的可判定性。Saul Kripke 从 1959 年开始为模态逻辑设计了关系语义或可能的世界语义。Vaughan Pratt 在 1976 年介入了动态逻辑。Amir Pnueli 在 1977 年提出使用时态逻辑来公式化频繁操作并发程序的行为。
时态逻辑，在 1957 年由 A. N. Prior 发明，与模态逻辑有密切的关联，因为增加了模态算子 [F] 和 [P]，分别意味着今后和至今，导致了时态逻辑的一个系统。
模态逻辑的风味包括: 命题动态逻辑(PDL)，命题线性时态逻辑(PLTL)，线性时态逻辑(LTL)，计算树逻辑(CTL)， Hennessy-Milner 逻辑，S1-S5 和 T。
引用
- M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.
- James Garson (2003) [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal Modal logic]. Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Rod Girlie (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
- Robert Goldblatt (1992) "Logics of Time and Computation", CSLI Lecture Notes No. 7, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).
- Robert Goldblatt (1993) "Mathematics of Modality", CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of Chicago Press).
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.
- E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.
- J. Jay Zeeman (1973) [http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/modallogic/ Modal Logic]. D. Reidel Publishing Company.
参见
- De dicto and de re
- 混合逻辑
- 内部代数
- 可解释性逻辑
- 可证明性逻辑
- Kripke语义
外部链接
- [http://www-formal.stanford.edu/jmc/mcchay69/node22.html A discussion of modal logic] by John McCarthy
- [http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/nonstbib.htm Bibliography of Non-Standard Logics] by Peter Suber
- [http://www.cc.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html List of Logic Systems] List of most of the more popular modal logics.
- [http://aiml.net/ Advances in Modal Logic] (bi-annual international conference and book series in Modal Logic)
- [http://www.cass.net.cn/chinese/s14_zxs/facu/liuxinwen/02.htm 模态逻辑]，[新西兰] M·J·克雷斯韦尔，《哲学逻辑指南》，第7章，中国人民大学出版社，2005年
致谢
本文包含最初来自Free On-line Dictionary of Computing的一些材料，经过授权在 GFDL 下。
Category:逻辑
ja:様相論理学 Toshiro HitsugayaTōshirō Hitsugaya (日番谷 冬獅郎 Hitsugaya Tōshirō) is a character in the anime and manga series Bleach. He is the captain of the 10th Division in the Gotei 13. His lieutenant is Rangiku Matsumoto.
Rangiku Matsumoto
Character outline
Tōshirō Hitsugaya is very young by Soul Society standards. He is the youngest in generations to have become captain and is thus called a 'boy genius' by many.
He is short and has silver hair, which tends to draw attention in the human world. He wears standard captain's clothing without any accessories.
Hitsugaya is mature, serious and easily annoyed when someone (especially Momo Hinamori) refers to him as anything other than Captain Hitsugaya. He is overly protective of Momo Hinamori, which is mildly ironic given that she was once like an older sister to him.
His intuition proves to be extremely sharp as he is one of few captains who correctly suspect
Gin Ichimaru of foul play. Unfortunately, he did not suspect Sōsuke Aizen of the same.
History
Hitsugaya comes from Junrinan, District 1 of the rukongai. There he lived with an old woman and Momo Hinamori, and possibly other people. Little else is known about his past, but we know that he became a shinigami after Hinamori.
As a child, Hitsugaya was a bit of brat who liked to eat watermelons and poke fun at Hinamori. She would call him "Shirō-chan" and he would counter by calling her "Bed-wetter Momo". The two were close friends and Hitsugaya, despite being younger and much shorter than his friend, always felt that he needed to protect her. He also seemed to like eating watermelons very much.
With Hitsugaya's natural talent, he quickly entered the shinigami institute shortly after Hinamori, despite his age. She continued to call him "Shirō-chan" out of habit and felt she needed to protect him. Because of a promise she had made, she only began to call him "Hitsugaya-kun" after he had achieved his zanpakutō's shikai and was recognized as a shinigami.
Highly capable and knowledgable, he became the most junior of the captains within the Gotei 13.
Synopsis
His sharp sense of intuition and keen sense of observation leads him to suspect 3rd Division captain, Gin Ichimaru, of foul play as the circumstances surrounding the coming execution of Rukia Kuchiki become more complicated. Hitsugaya confronts Ichimaru only to be attacked by Hinamori, who believes Hitsugaya is the murderer of the 5th Division captain and her superior, Sōsuke Aizen. Hitsugaya knocks out Hinamori and places a shield around her, but stops pursuing Ichimaru.
He ends up trying to stop the execution by appealing to the Chamber of 46, the shinigami governing body. Upon finding all 46 members dead, he goes on to find Ichimaru and Aizen in the area (after a short encounter with Izuru Kira). When Kira warns Hitsugaya that Hinamori is likely following him, Hitsugaya rushes to the Court of Pure Souls to discover Hinamori was been gravely wounded. Hitsugaya realizes that Aizen is the true mastermind behind the conspiracy of Rukia's execution; however, when he tries to kill Aizen for his crime and for hurting Hinamori, Aizen fatally wounds him as well.
Fortunately, 4th Division captain, Retsu Unohana and her lieutenant, Isane Kotetsu, discover Aizen's role in the conspiracy. They arrive in time to expose him and Unohana immediately proceeds to save Hitsugaya and Hinamori.
After the events at Soul Society, Hitsugaya is one of the six shinigami who appear in the living world to assist Ichigo with the recent arrancar invasion. He and Rangiku appear to be staying with Orihime Inoue for their duration in the living world.
Hyōrinmaru
Orihime Inoue
Hyōrinmaru (氷輪丸) is Hitsugaya's zanpakutō. The sword does not change radically in appearence upon its initial release other than the appearence of a very long chain with a hook attached at the end of the hilt.
Hyōrinmaru is the strongest of the ice elemental swords. Its initial release command is sōten ni zase (sit upon the frozen heavens!) and summons an ice dragon that allows Hitsugaya to control the weather, specifically over wind and ice. Once the water of the dragon impacts on object, it freezes instantly and the target is trapped in ice. Hitsugaya uses this ability against Gin Ichimaru and (unintentionally) Izuru Kira. In addition, the chain can instantly freeze whatever Hitsugaya restrains with it, such as Ichimaru's arm.
Hyōrinmaru's bankai is similar to the shikai, only it is made of pure ice and has figures resembling flowers on the sides (see picture). This form's abilities have not yet been revealed since it was dispersed almost instantly by Aizen. In chapter 207 of the manga, we can see the dragon summoned can grant Hitsugaya flight.
Hitsugaya, Tōshirō
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The Calgary Regional Partnership (CRP) is the metropolitan area based around Calgary, Alberta. The region's boundaries are very similar to that of the Statistics Canada census division (CD), Division No. 6, Alberta. The CRP is a cooperative of economically associated municipalities in the area. Unlike many cities, Calgary has incorporated most of its suburbs into the cit
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