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算术

算术

算术是数学的分支，或者说是数学的最初形式，它是关于数的一些运算的基本属性的研究。常用的运算有加法、减法、乘法、除法，有时候，更复杂的运算如指数和平方根，也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。 自然数、整数、有理数（以分数的形式）和实数（以十进制指数的形式）的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而，在成人中，很多人使用计算器，计算机或者算盘来进行数学计算。 术语“算术”也常用来指初等数论；算術也是初等代数的重要部分。

參見


- 交換律
- 分配律
- 結合律
- 數線
- 有限體的算術 category:算术 ja:算数 simple:Arithmetic th:เลขคณิต

数学

数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。 创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。

历史

:主页面：数学史 数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。 数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。 对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。 对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。 到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学不是……

数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。 数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。 数学不是物理，虽然历史和哲学上两者关系密切。

参考书目


- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
- Gullberg, Jan: Mathematics-From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitions, theorems and references.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
- 数学--它的内容,方法和意义

参考网址


- [http://www.11abc.com/science/maths.htm 数学网址]（数学网址） 。
- Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas]（英文版）现代数学漫游。
- Weisstein, Eric: [http://www.mathworld.com/ World of Mathematics]，一个在线的数学百科全书。
- [http://planetmath.org/ Planet Math]，另一个在线的数学百科全书，使用GFDL，允许和维基百科交换条目。
- [http://www.mathforge.net/ MathForge]，一个包含数学、物理、计算机科学和教育等范畴的新闻网志。
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/ EpisteMath｜数学知识]。
- 香港科技大学:[http://www.edp.ust.hk/math/ 数学网]，一个以数学史为主的网站。 Category:数学 Category:自然科学 Category:科学 ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

减法

減法是尋找兩個數的差的算术運算。減法是符號是減號(-)；在數式a-b=c裏，a稱為被減數，b稱為減數，c是a和b的差，稱為差。若果被減數小於減數，得出來的差將會是負數。請參見加法，減法的反函數。 Category:算术 ja:減法 ko:뺄셈 simple:Subtraction th:การลบ

除法

数学中，尤其是基本计算中，除法可以看成是乘法的逆运算。有时也可以解释成重复的减法。 如果 :a×b＝c， b不等于零，那么 :a＝c÷b。 上面等式中，a叫做商数，b叫做除数，c叫做被除数。 尤其是在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，等式c÷b有时也写成"c/b"。 如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。 大部分的非英语语言中，c÷b也写成c : b。英语中冒号的用法请参照比例。 通常不定义被零除这种形式。

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法笔算。 如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。 算盘也可以做除法运算。

整数的除法

实数的除法

抽象代数的除法

多项式的除法

无话可说

虚数的除法

有理数的除法

除法与微积分学

参见

外部链接

category:算術 ja:除法 simple:Division th:การหาร

平方根

平方根，对于非負實數x来说，是指某個自乘結果等於x的實數，表示為\sqrt x(√x)，其中属于非負實數的平方根称算術平方根。有时我们说的平方根指算術平方根。正整數的平方根通常是無理數。 :\sqrt = \sqrt x \sqrt y :\sqrt x = x^ 注意若n是非負實數且x2=n，√n≠x，因為√n(n的算術平方根)必定是正數，x應等於±√n；即\sqrt = \left|x\right|(見絕對值)。 數學史中，最重要的平方根可以說是√2，它是第一個公認的無理數。 古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母l亦受不少中世紀的歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作Arithmetica Logarithmica則用橫線當成latus的簡寫，在要被開方的數下畫一線。最有影響的是拉丁語的radix(平方根)，1220年Leconardo在Practica geometriae使用R(R右下角的有一斜劃，像P和x的合體)；\sqrt (沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小楷r的變型；現今常用的\sqrt 是由笛卡兒在幾何中先用的。

複數的情況

因為在複數裏，平方根函數的值不是連續的，√(zw) = √(z)√(w)這條定律不成立。如果這條定律仍可用，就會出現一些錯誤的證明，例如︰ :-1 = i \times i = \sqrt \times \sqrt = \sqrt = \sqrt = 1 注意√(c2) = ±c，因此√(a2b2) = ±ab，√(zw) = ±√(z)√(w)，使用a = √z和b = √w。

計算方法

計算器

計算器本身有很好的方法來計算指數函數和自然對數，故它會透過以下的恆等式來計算平方根︰ :\sqrt = e^

長除式算法

以下這個算法是根據(10a+b)2=100a2+20ab+b2而生的。 #將數兩個位一組分開，但十位數和個位數必須是同一組。 #將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下 #將上一步所得之差乘100，和下一組數聯起來 #將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於上一步所得之差，將上一步所得之差減去所得之積 #重覆第3步，直到找到答案，或求得理想的精確度為止 直式︰
1__0__2__4 1 04.85 76 1 1
- 1≤1 ____ 0 4 0 (1
- 20+0)0≤4≤(1
- 20+1)1 _______ 4 85 4 04 (10
- 20+2)2≤485≤(10
- 20+3)3 _______ 81 76 81 76 (102
- 20+4)4≤8176 _____ 事實上，將算法稍作改動，可以開任何n次方的根，詳見移動n次方算法。

尺规作图

問題

給定線段AB和1，求一條長為AB開方的線段。

解法

right #畫線AB，延長AB至C使AC=1 #以AC的中點為圓心，OC為半徑畫圓 #過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度

證明

將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設
- O=(0,0)
- AB=n # 直徑為BC的圓就是x^2 + y^2 = \left(\right)^2（圓的方程式︰x2+y2=半徑） # 將(n+1)/2-1（A,D所在的x座標）代入上面的方程式 #\left( -1 \right)^2 + y^2 = \left(\right)^2 #解方程，得y=√n

參考


- [http://www.edp.ust.hk/math/history/7/7_22.htm 方根符號的歷史]
- [http://members.aol.com/jeff570/operation.html Earliest Uses of Symbols of Operation]
- [http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm#Radical The History of Mathematical Symbols: The radical symbol]
- [http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root 英文版的條目] Category:算术 category:代数 ja:平方根 ko:제곱근

自然数

自然数，即: 0注1、1、2、3、4…… 自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。 自然数除去“0”后，也可用于排序（如“排名第4”）。 自然数更深层的特性，例如素数的分布，属于数论研究范围的课题。 数学家一般以\mathbb代表以自然数组成的集合。此集合无上界而可数。

历史与0的定性

自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。 零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。 19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。有些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

符号

数学家们使用 N 或 \mathbb 来表示所有自然数的集合。这是一个可数的无穷集合。为了明确的表示不包含0，正整数集合一般如下表示：
- N+ 或
\mathbb^

- Z+ 或
\mathbb^
而非负整数集合一般如下表示：
- N0 或
\mathbb^

- Z+0 或
\mathbb^_
有些作者也使用 W 或 \mathbb 来表示“所有的数”的集合。

定义

要给出自然数的严谨定义并非易事。Peano公设提出自然数要适合五点：
- 有一起始自然数 0。
- 任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a +1。
- 0 并非任何自然数的后继。
- 不同的自然数有不同的后继。
- （数学归纳公设）有一与自然数有关的命题。设此命题对 0 成立，而当对任一自然数成立时，则对其后继亦成立，则此命题对所有自然数皆成立。 若把 0 除出自然数之外，则公设内的 0 要换作 1。 集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即　0 =｛ {0{0,1{0,1,2

整数

自然数、负自然数与零统称为整数。 即：……-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5…… 所有整数的集合在数学上通常表示为 Z 或 \mathbb) ，意为 Zahlen（德语：“数”）。

代数性质

以下列表给出任何整数 a，b 和 c 的加法和乘法的基本性质。

有序性质

Z 是一个全序集，没有上界和下界。Z 的序列如下： : ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... 一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。 整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下： # 若 a < b 且 c < d，则 a + c < b + d # 若 a < b 且 0 < c，则 a × c < b × c ；若 c < 0，则 a × c > b × c. Z 是一个循环群，即任何整数都可以通过足够多次地加 1 或 -1 得到其本身。 Category:数论 ja:整数 ko:정수 th:จำนวนเต็ม

分数

分數表達成 :\frac(例如：\frac) 之有理數。在上式之中，b 稱為分母而 a 稱為分子，可視為某件事物分成 b 份中佔 a 分。中間的線稱為分線。有時人們會用a/b來表示分數。 分數這個概念和除法、比例很相似，分數是一種值，除法較重視計算，比例重視兩件事物之間的比較。若 a 及 b 為整數，則除了有餘數的計算之外，除法和分數得出來的結果都相同。

分類

;最簡分數 :分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數 ;真分數 :小於1、大於0的分數 ;假分數 :大於1的分數，可寫成帶分數 ;帶分數 :一個整數加一個真分數 ;單位分數 :分子為1，分母是整數的分數 ;古埃及分數 :將分數表達成單位分數之和 ;繁分數 :分子和/或分母包含了分數，例如\frac。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等如\frac 小數、百份率可視為分數的另一種寫法。

相關話題


- 連分數 :外觀如x = a_0 + \frac 的分數，其中ai是整數。若只有有限個 a_i 非零，則連分數是一個分數。
- 有理數
- 倒數
- 除以零
- Farey數列 category:实数 ja:分数 ko:분수

计算器

-- 本条目针对计算器/計算機进行总体说明，有關電子計算機（电脑）的内容，请参见電子計算機。 --是一种进行运算，或者控制那些可以表示为数字或者逻辑形式的操作的设备（《牛津英语词典》（第二版）的定义）。这个定义的确是真实精确的，然而它和从其他词典中找到的其他对--的定义一样，包含了太多的内容。这些定义没有办法区分历史上的、当代的、未来的各种各样的計算工具。人類從很早以前就開始使用數目，隨著時代的不斷發展，各式各樣的計算工具也相繼產生並得到發展。因此，更有意义的问题可能包含：計算工具的不同种类，以及当代--与其他时代的計算工具的特点和能力的區別等。

条目解释

中文的“--”即英文的，用来代表一种机械的计算设备。在中国大陆，现在通常译为计算器，而在台灣地区则通常译为計算機。--有很多種不同的类型，最早的如中國發明的算盤等，後來一些新的計算工具，如一般的--、電子計算機等也漸漸流行起來。因此，作為一種计算的辅助工具，廣義上的--可以包括：
- 算盘
- 加法机
- 计算尺
- 一般的--
- 電子計算機
- 量子計算機

外部連結


- [http://www.mcsh.kh.edu.tw/teaches/info/241-11/111/r24111-1.htm 电脑的歷史由來] category:数学工具

计算机

電子計算機，--电脑，是一种电子化的计算工具。在中國大陆也經常用計算機來指代電子計算機。就目前而言，電子計算機是根据预先设定好的程序来进行信息处理的一种设备。電子計算機分为巨型计算机（又称“超级计算机”）、大型计算机、中型计算机、小型计算机、微型计算机（简称“微机”，其中包括个人计算机，PC），已经逐步进入社会各个领域，尤其是进入了家庭和个人领域，极大地改变了社会的日常面貌。

定义

上述对于電子計算機的定义包括了许多只能计算或是只有有限功能的特定用途的设备。然而当说到现代電子計算機，最重要的特征是，只要给予正确的规划，任何電子計算機都可以模拟其他任何的行为（只受限于電子計算機本身的存储容量和执行的速度）。据此，现代電子計算機相对于早期的電子計算機也被称为通用型電子計算機。

分类

为了定义什么是電子計算機，对所有计算设备进行分类是必然的。下面的章节介绍几种不同的分类方法。这些分类方法必须一起使用才能准确无误的描述一台特定的電子計算機。

按用途分类

这是最明显的分类法。電子計算機制造商通常用这种方法来描述他们的产品；用户用同样的方法来描述与他们交流的机器。例如：
- 巨型计算机
- 小巨型计算机
- 超級计算机
- 大型计算机
- 企业应用服务器
- 小型计算机
- 工作站
- 个人计算机或者台式机
- 膝上型电脑或者笔记本电脑
- 个人数字助理
- 可以穿戴的电脑 按用途分类很通俗，但是也导致它的不确定性，因为仅仅当前广泛使用的设备被包含进来了。電子計算機发展的快速性意味着其新用途层出不穷，当前的定义很快就过时。许多不再被人使用的電子計算機的类型，例如微分分析器，通常不被列入分类条目之中。所以，必须采用其他分类方法来明白无误的定义電子計算機这条术语。

按制造技术分类


- 机械式电脑
- 半电子—半机械式
- 电子式
- 晶体管式
- 半导体集成电路式

按设计特点分类

现代電子計算機综合了许多基本的设计特点，这些特点是许多贡献者在很多年里逐渐开发出来的。设计特点经常独立于实现技术。现代電子計算機的综合性能来源于这些特点互相作用的方式。一些重要的设计特性罗列如下：

数字式和模拟式

设计一种電子計算機时需要有一个基本的决定，即这种電子計算機应该是数字式还是模拟式的。数字式处理离散的数字性或者符号性值，而模拟式仍然应用于一些特殊目的的领域，例如机器人和回旋加速器的控制。其他的途径，象脉冲计算和量子计算，也是可能存在的；但是他们或者用于很特殊的目的或者仍然处于试验阶段。

二进制和十进制

在数字式计算的发展历程中，一个重大的设计进步是引入了二进制作为内部的数字系统。这种方法避免了那些基于其他数字系统的電子計算機中必须的复杂的进位机制，例如十进制系统。采用二进制的好处是简化了实现算术功能和逻辑运算的设计。

按功能分类

对不同的计算设备分类的最好办法可能是按他们的内在能力分类，而不是按他们的用途，实现技术，或者设计特性来分类。電子計算機按能力可以分为三大类：只能计算一种函数的单用途设备，可以计算有限范围内的函数的特殊用途设备，以及我们天天使用的通用设备。过去電子計算機这个词用来描述所有这些类型的机器，但是现在口语中的用法通常特指通用電子計算機了。

通用電子計算機

按定义来说，一台通用電子計算機能用来解决任何问题，只要这个问题可以用程序来表示。然而，程序运行的是有一些实际的限制的：電子計算機的存储能力，问题的大小，以及运行的速度。在1934年，艾伦·图灵证明了：给定正确的程序，任何通用電子計算機可以模拟其他任何电脑的行为。他的数学证明是纯粹理论上的，因为那时候还没有通用電子計算機存在。这个证明的意义是深远的：例如，从理论上说，现在的通用電子計算機能够模拟任何未来制造的通用電子計算機的行为，尽管速度很慢。 通用電子計算機也称作完备的图灵机，它经常被用来作为定义现代電子計算機的能力上限。然而，这种定义是有问题的。几种过分单纯化的计算设备已经展现出完备的图灵机特性。但是他们都处于一种幽默化表达的“图灵沥青陷阱”（？）状态，一种什么都是有可能的，但是和实用性一点都不沾边。现代電子計算機不仅仅是理论上的通用化，而且是实用化的通用工具。 从1930年代中期到1940年代后期，许多人在开发现代的、数字的、电子的，通用電子計算機。许多试验型的机器被造了出来并且可能是图灵完备化的。这些机器在当时都被宣称为第一台電子計算機，然而它们都只有有限的处理通用问题的能力，所以他们的设计最终都被抛弃了。

存储程序電子計算機

特殊用途電子計算機

单用途電子計算機

按操作类型分类

電子計算機也可以按用户操作的方式来分类。有两大类操作方式：批处理和交互式处理。

嵌入式電子計算機

从1980年代起，许多的家用设备，不只包括电视游戏控制器，而且延伸到移动电话、录相机、PDA和许多其他的工业、电子设备，都内嵌有特定用途的電子計算機。这些電子計算機也通常被称之为“微控制器”或者嵌入式計算機。

个人计算机

就目前而言，一般人所提到的计算机都是指个人计算机。

大型计算机

巨型计算机

成指数级增长的电脑的发展

划分不同种電子計算機的难度因为它的计算能力的指数增长更加复杂化。粗略估计，从1900年到现在，计算设备的计算能力（按1000美元能够买到的设备在每秒种内处理运算指令的数量）每一年半到两年就增加一倍。英特尔公司的创始人之一，戈登·E·摩尔在1965年首次描述了電子計算機发展的这种特性（参考摩尔定律）。快速发展的電子計算機制造工程技术维持了这种指数级的能力增长。与这种能力增长携手并进的另一过程是戏剧化的小型化过程。第一代的電子計算機，例如ENIAC(出现于1946年)，都是一些重达数吨，占据好几间房间，需要多个操作员来维持它们正常工作的庞然大物。这些大家伙太贵了，以至于只有政府和大型机构才能够买得起。它们也的确太怪异了，当时的人们都认为几台，或者几十台这样的机器就能够满足全世界的需求了。相比之下，现代電子計算機比第一代前辈多了几个数量级，更加多才多艺，而且便宜、小巧，还随处可见。

電子計算機是如何工作的

自从1940年代第一台電子計算機问世以来，大部分的電子計算機仍采用冯·诺依曼结构体系，虽然其相关技术已经发生了翻天覆地的变化。 冯·诺依曼结构将一个電子計算機系统分为四个主要部分：算术逻辑单元、控制器、存储器和输入输出设备。这些部分是通过总线连接起来的。

参看


- 電子計算機的历史
- 计算机图片
- 电脑游戏
- 计算机软件
- 计算机网络 Category:计算机硬件 ja:コンピュータ ko:컴퓨터 ms:Komputer nb:Datamaskin simple:Computer th:คอมพิวเตอร์

数论

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。 --高斯
數論是纯粹数学的分枝，專門研究自然数的性質，產生了很多一般人也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想。很多諸如此類的問題虽然型式上十分初等，但事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。一些重要的數論分支包括： ;初等數論 :意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互逆律等等。 ;解析數論 :借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與Dirichlet 定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，Warning 問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。 ;代數數論 :引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間的關連尤其緊密。 ;幾何數論 :主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為Minkowski 定理。 ;計算數論 :借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。 ;超越数论 :研究數字的超越性，其中對於歐拉常數與特定的 Zeta 函數值之研究尤其令人感到興趣。 ;組合数论 :利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由 Erdos 開創的思路。 Category:数学 ja:数論 ko:수론 th:ทฤษฎีจำนวน

交換律

在抽象代數，若二元運算#在集合S對於S中任何x、y皆有x#y=y#x，則稱#符合交換律。 符合交換律的運算有：
- 實數、複數的乘法和加法
- 向量加法
- 集合的交集和並集
- …… 不符合的有：
- 減法
- 除法
- 冪
- 四元數的乘法
- …… 交換律不但適用於代數，還適用於邏輯： :a\vee b = b\vee a 有些函數亦能符合交換律，若： : f \left( x,y \right) = f \left( y,x \right)

參見


- 分配律 - 結合律 - 反交換律
- 阿貝爾群是運算符合交換律的群。
- 交換環是乘法符合交換律的環。 Category:抽象代数 ja:交換法則 ko:교환법칙

結合律

若在抽象代數，若二元運算#在集合S對於S中任何x、y、z皆有(x#y)#z=x#(y#z)，則稱#符合結合律。相似地，函數符合 f \left( x, f \left( y, z \right) \right) = f \left( f \left( x, y \right), z \right) 。 在實數、複數和四元數的加法和乘法均符合結合律。雖然八元數的加法符合結合律，其乘法卻不符合。 最大公因數和最小公倍數都符合結合律。 有些運算只能向左符合結合律，如減法和除法：
- x-y-z=(x-y)-z \ne x-(y-z)
- x/y/z=(x/y)/z \ne x/(y/z) 向右的有冪：x^=x^ 多數編程語言的運算子都是向右符合結合律，例如C語言中x = y = z; 等同 x = (y = z); 而非 (x = y) = z;

參見


- 交換律 - 結合律 - 冪結合性 Category:抽象代数 ja:結合法則 ko:결합법칙

Wah wah pedal

Wah-wah is an imitative word for the sound of altering the resonance of musical notes to extend expressiveness, sounding much like a human voice saying the syllable wah. The wah-wah effect is a spectral glide, a "modification of the vowel quality of a tone" (Erickson 1975, p.72).

Wah-wah in trumpet and trombone playing

Although perhaps best known from the electric guitar's wah-wah pedal, the sound is much older, having been significantly developed by trumpet and trombone players using mutes in the early days of jazz. Joe "King" Oliver recorded "Wawawa" in the '20s. Bubber Miley, Cootie Williams, trumpeters, and Tricky Sam Nanton, trombonist, of the Duke Ellington Orchestra pioneered in using plunger mutes ("plumber's helper") to create wah-wah sounds. The effect was used in the '30s on "Sugar Blues" by commercial Dixieland trumpter Clyde McCoy, who built a long career around the sound. "The Fat Man", the first hit by Fats Domino features vocal wah-wah. Another New Orleans singer, Chuck Carbo frequently performs vocal wah-wah. Karlheinz Stockhausen notates the use of the wa-wa mute in his Punkte (1952/1962) in terms of transitions between open to close using open and closed circles connected by a line (Erickson 1975, p.73).

Wah-wah in guitar playing

Karlheinz Stockhausen The electronic version, which sweeps the peak response of a filter up and down in frequency to create the sound, was first heard in 1945 on a pedal steel guitar created by Leo Fender and in the early-'60s on Vox amplifiers (under the name Wah-Wah) and Thomas electronic organs (as the Crybaby). None of these innovators patented the effect. The variation in the peak response frequency of the filter resembles the change in formant frequency in the human vocal tract when saying the word "wah", making the wah-wah pedal a crude form of speech synthesizer. The first recorded use of a wah-wah was by Chet Atkins, who used a wah-wah that he had built himself on the 1961 recording "Boo Boo Stick Beat". Jimi Hendrix did much to popularize the wah-wah in the late-'60s using his own modified effects pedal, as heard on his "Machine Gun" and the Electric Ladyland album (the track "Voodoo Child (Slight Return)" in particular). There is still a commercial wah-wah pedal named after him, as well as Digitech's device which includes effects from several of Jimi's hits, and a built-in wah pedal. Hendrix also used the wah wah pedal to great effect on his cover of Bob Dylan's "All Along the Watchtower." Eric Clapton first played wah-wah with Cream on "Tales of Brave Ulysses" on the Disraeli Gears album and used it for both background riffs and an extended solo on "White Room". His "Presence of the Lord", made with his short-lived supergroup Blind Faith, also featured prominent wah-wah. Clapton often used the Clyde McCoy wah-wah from Vox. George Harrison recorded his own song "Wah-Wah" on his solo album, All Things Must Pass, on which Clapton also appeared. He had previously used a wah-wah pedal with The Beatles, such as in the chorus of "Across the Universe". Frank Zappa was another master in using wah-wah, notably in his solos on Roxy & Elsewhere and studio albums such as Overnite Sensation. Mick Taylor used the wah-wah first in The Rolling Stones on one of their hits Goats Head Soup. He then used it a lot in his solo recording. On many albums recorded in 1970s, wah-wah pedal can be occasionally heard used with other instruments such as trumpet, saxophone, electric piano and bass guitar. Especially many jazz fusion records of that time feature wind instruments or keyboards played through wah-wah pedal. Melvin "Wah-Wah Watson" Ragin played wah-wah on some notable singles by The Temptations in the early-'70s, as well as with Martha Reeves and the Pointer Sisters. Hendrix proclaimed blues guitarist Earl Hooker the "master of the wah-wah". Modern experimental guitarists Steve Vai and Joe Satriani are popular users of the Wah-Wah effect. Steve Vai even officially endorses the Morley brand wah-wah. Other notable guitarists using wah-wah include Steve Hillage, Larry Coryell, Anson Funderburgh, Zakk Wylde, Eddie Hazel, Gary Rossington, Peter Frampton, and Carlos Santana. A great many guitarists use it from time to time. Among the most popular pedals are those from Vox and the Jim Dunlop Cry Baby. There are two types of wah pedals: one that lets the player control the effect via a foot pedal manually, and one that adjusts the effect automatically according to the amplitude of the signal from the guitar (auto-wah, or envelope follower).

Wah-wah in electronic music

In electronic music, wah-wah effects are easy to produce by applying a modulation envelope to the voltage-controlled filter in an analog synthesizer. Digital synthesizers can also simulate this effect. Wah-wah effects can also be achieved by using a vocoder to modulate an instrument sound, and speaking "wah-wah" into the modulation control input of the vocoder. The vocoder then impresses the formants of the spoken sound into the musical sound. See also: vibrato, fuzz subtractive synthesis

Quotation

::Wah-wah ::You made me such a big star ::Being there at the right time ::Cheaper than a dime ::Wah-wah, you've given me your wah-wah, wah-wah :::--George Harrison, "Wah-Wah"

Source


- Erickson, Robert (1975). Sound Structure in Music. University of California Press. ISBN 0520023765.

External links


- [http://www.betterguitar.com/Equipment/Effects/WahTechniques/WahTechniques.html Discussion, with sound samples, of guitar wah-wah technique]
- [http://members.chello.nl/~t.heertjes/Wah%20wah.html Wah Wah World]
- [http://www.geofex.com/Article_Folders/wahpedl/wahped.htm The Technology of Wah Pedals]
- [http://www.geofex.com/Article_Folders/wahpedl/voicewah.htm Human Voices and the Wah Pedal]
- Ever wondered what a Kazoo sounds like through a [http://www.wahkazoo.co.uk wah-wah pedal?] Category:Musical performance techniques

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