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直觉逻辑

直觉逻辑

直觉逻辑或构造性逻辑，是在数学直觉主义和其他形式的数学结构主义中使用的逻辑。粗略的说，"直觉主义"把数学和逻辑保持为"构造性"的精神活动。就是说，它们不是解析性活动，在其中披露和应用存在的深入性质。转而，逻辑和数学是应用内部一致的方法，去认识更加复杂的精神构造(实际上是一种游戏)。在更严格的意义上，直觉逻辑可以作为非常具体和形式化的一种数理逻辑来研究。尽管对这样的一种形式化的演算是否实际上捕获了直觉主义的哲学特征是有争议的，在实用的观点上它是非常有用的工具。下面给出这个术语的两重概念。

作为逻辑推理典范的直觉逻辑

在直觉逻辑中，证明中的在认识论上不清晰的步骤是禁止。在经典逻辑中，公式 A 断言 A 是真。在直觉逻辑中这个公式只在可被"证明"的情况下才被当作是真。作为这种区别的例子，考虑经典逻辑所接受的排中律，直觉逻辑不接受这条定律，因为在允许这种公式的语言中，有可能从 P ∨ ¬P 得出结论，而不需要知道这个析取中哪个是真的。在效果上，在直觉逻辑中，P ∨ ¬P 说明至少 P 或 ¬P 中的一个可以被证明，这比说它们的析取是真要强壮。背后的想法是精神构造的有效性依赖于它与它的上下文(知觉)的一致。出于这种看法，认识论上的不透明性，在效果上是欺骗。直觉逻辑在它的逻辑演算中用正当性替代了真实性。逻辑演算跨越生成导出命题的变换保持正当性，而不是真实性。直觉逻辑给予多个哲学派别哲学上的支持，其中最著名的是 Michael Dummett 的反现实主义。

作为形式逻辑演算的直觉逻辑

从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机。实际上，如果你找寻像逻辑编程的自动推理，那么你明显的不只是对存在性的陈述感兴趣。计算机程序被假定用来计算答案，而不是去陈述一个答案。所以，在应用中你通常找寻一个给定的存在性断言的证据。此外，你可能关心能证明 ∃x : P(x)，但是对于它顾及的任何具体 b 却不能证明 P(b) 的证明系统。为了以数学上精确的方式形式化直觉逻辑，需要模型论(语义)和适当的证明论。直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。明显的区别是这些经典逻辑的很多重言式(tautology)在直觉逻辑中不再是可证明的。例子不只包括排中律 P ∨ ¬P，还有 Peirce 定律 ((P → Q) → P) → P。经典重言式在直觉逻辑中无效的更加熟悉的例子与所谓的双重否定除去有关。在经典逻辑中，P → ¬¬P 和 ¬¬P → P 二者都是定理。在直觉逻辑中，只有第一个是定理: 双重否定可以介入，但不能除去。在直觉逻辑中否定的解释不同于它在经典逻辑中的对应物。在经典逻辑中，¬P 断言 P 是假；在直觉逻辑中，¬P 断言 P 的证明是不可能的。上面在这两个蕴涵之间的不对称现在变得很显著。如果 P 是可证明的，则证明没有 P 的证明当然是不可能的；第一个蕴涵成立。但是第二个蕴涵失败了: 因为没有对 P 的证明是不可能的证明，我们不能从这种缺乏得出结论有 P 的证明。对很多经典的有效重言式不是直觉逻辑的定理的观察导致弱化经典逻辑的证明理论的想法。比如 Gentzen 获得了相继式演算 LK的一个弱化版本，他称之为LJ。这就得到了适合的证明理论。直觉逻辑的语义比经典的确定性的情况更加复杂。Heyting代数或等价的Kripke语义给出了它的语义。

Heyting 代数语义

在经典逻辑中，我们经常讨论一个公式可能接受的真值。这种值通常被选择为布尔代数的成员。在布尔代数中的交和并算子等同于 ∧ 和 ∨ 逻辑连结词，所以形如 A ∧ B 的公式是在布尔代数中 A 的值和 B 的值的交。所以我们就有了一个有用的定理，一个公式是经典逻辑的有效的句子/断定，当且仅当它的值对于任何求值都是 1---就是说，对它的变量的任何指派都是真。对于直觉逻辑对应的法则也是真的，但是不再对每个公式指派(assign)来自布尔代数的值，而是使用来自Heyting代数的值，布尔代数是它的特殊情况。公式在直觉逻辑中是有效的，当且仅当它对于在任何 Heyting 代数上的任何求值总是得到值 1。可以证实为了识别有效的公式，考虑其元素是实平面 R² 的开集(open set)的一个单一的 Heyting 代数就足够了。在这种代数中，∧ 和 ∨ 算子对应于集合的交和并，并且指派给公式 A→B 的值同于指派给公式 ¬(A ∧ ¬B)的值。指派给 ¬F 的值是 F^C°，这是 F 的值的补集的内部。表示 1(真)的值是全集 R²。通过这些指派，直觉上有效的公式正好就是被指派为值 1 的公式。例如，公式 ¬(A ∧ ¬A) 是有效的，因为不管为公式 A 选择什么集合 X 作为值，¬(A ∧ ¬A) 的值总是被证实为 1: : Value(¬(A ∧ ¬A)) = : (Value(A ∧ ¬A))^C° = : (Value(A) ∩ Value(¬A))^C° = : (X ∩ (Value(A))^C°)^C° = : (X ∩ X^C°)^C° 一个拓扑学定理告诉我们 X^C° 是 X^C 的子集，所以交集为空，因此: : ø^C° = (R²)° = R² 所以这个公式的求值是真，这个公式确实是有效的。但是排中律 A∨¬A，可以被证实是 无效的，通过设定 A 的值是。那么 ¬A 的值是的内部，它就是，而公式的值是和的并，这不是全部平面。上面描述的无限 Heyting 代数对所有直觉上有效的公式给出了真求值，而不管为公式中的变量指派了什么值。反过来说，对于每个无效的公式，都有来对变量的来自这个代数的一个值指派生成这个公式的一个假求值。可以证实没有有限的 Heyting 代数有这个性质。

Kripke 语义

主文章 Kripke语义建立在他关于模态逻辑的语义的工作之上，Saul Kripke 为直觉逻辑建立了另一套语义，叫做 Kripke 语义或关系语义。
参见

- 直觉主义
- 直觉类型理论
- 经典逻辑
- 中间逻辑
- 线性逻辑
- 构造性证明
- Curry-Howard对应
- 可计算性逻辑
- 博弈语义
外部链接

- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry] Category:逻辑 Category:计算机逻辑 Category:人工智能

数学直觉主义
在数学哲学中，直觉主义,或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种；但它不是唯一的一类。直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。特别的有，排中律, A 或非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。(参看直觉逻辑.) 直觉主义也拒绝实际无穷的抽象；也就是说，它不考虑象所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。
对直觉主义有贡献的人

- L. E. J. Brouwer
- Arend Heyting
- Stephen Kleene
- Michael Dummett
直觉主义数学的分支

- 直觉逻辑
- 直觉主义算术
- 直觉主义类型理论
- 直觉主义集合论
- 直觉主义微积分
参看

- 超直觉主义
- 反现实主义
- 博弈语义学
- Curry-Howard同构
- 可计算性逻辑
资源

- [http://www.rep.routledge.com/article/Y062 Article on Intuitionism] at the Routledge Encyclopedia of Philosophy Category:认识论 Category:数学哲学 ja:数学的直観主義

逻辑

逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。

詞源

逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。

分支

- 经典逻辑
- 传统逻辑(项逻辑)
- 布尔逻辑
- 命题逻辑
- 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
- 二阶逻辑
- 相继式演算
- 可计算性逻辑
- 多值逻辑
- 三值逻辑
- 模糊逻辑
- 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
- 中间逻辑
- 非单调逻辑
- 缺省逻辑
- 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
- 线性逻辑
- 相干逻辑
- 模态逻辑
- 真势模态逻辑
- 认识逻辑
- 道义逻辑
- 时态逻辑
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
- 次协调逻辑(弗协调逻辑)
- 雙面真理逻辑
- 相干逻辑
- 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
- 演绎推理(三段论)
- 直言推理
- 假言推理
- 选言推理
- 归纳推理
- 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
- 工具论(古希腊)亚里士多德
- 正理经(古印度)足目·乔答摩
- 墨经(古中国)墨子
- 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
- 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
- 数学基础
- 量子逻辑
- 分析哲学
- 计算机逻辑
- 法律逻辑学 Category:邏輯 ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

经典逻辑

经典逻辑标识已经被最深入的研究和最广泛的使用的一类形式逻辑。它们被特征化为一些性质；非经典逻辑缺乏一个或多个这种特性，它们是: #排中律; #无矛盾律; #蕴涵的单调性和蕴涵的等幂性; #合取的交换性; #De Morgan 对偶性: 所有逻辑算子都对偶于另一个。

经典逻辑的例子

- 亚里士多德的工具论介入了他的三段论理论，它是带有严格形式的断定(judgement)的逻辑: 断言采用四种形式，所有 Ps 都是 Q，有些 Ps 是 Q，没有 Ps 是 Q，有些 Ps 不是 Q。这些断定是两对对偶的算子，并且每个算子都是另一个的否定，亚里士多德用他的对立四边形总结了它们之间的联系。亚里士多德明确的公式化表达了排中律和无矛盾律，尽管这些定律不能在三段论框架内作为断定来表达。
- George Boole 的代数的重新逻辑形式化为布尔逻辑;
- Gottlob Frege 的概念文字。
- Clarence Irving Lewis 的真势模态逻辑的系统 S1-S5。

非经典逻辑

- 直觉逻辑拒绝排中律和 De Morgan 律；
- 次协调逻辑(比如双面真理逻辑和相干逻辑)拒绝无矛盾律；
- 相干逻辑、线性逻辑和非单调逻辑拒绝蕴涵的单调性；
- 线性逻辑拒绝蕴涵的等幂性；
- 可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，相对于是真值的形式理论的经典逻辑；它整和并扩展了经典、线性和直觉逻辑;
- 模态逻辑向经典逻辑扩展了非真值泛函("模态")算子。

引用

- Dov Gabbay, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press. Category:逻辑

逻辑编程

邏輯編程是種編程典範，它設定答案須符合的規則來解決問題，而非設定步驟來解決問題。過程是事實+規則=結果。不同的方法，可以看Inductive logic programming。邏輯編程的要點是將正規的邏輯風格帶入電腦程式設計之中。數學家和哲學家發現邏輯是有效的理論分析工具。很多問題可以自然地表示成一個理論。說需要解答一個問題，通常與解答一個新的假設是否跟現在的理論無衝突等價。邏輯提供了一個證明問題是真還是假的方法。建立證明的方法是人所皆知的，故邏輯是解答問題的可靠方法。邏輯編程系統則自動化了這個程序。人工智能在邏輯編程的發展中發揮了重要的影響。猴子和香蕉問題是邏輯編程社群的著名問題。電腦須自行找出令猴子接觸香蕉的可行方法，取代程式設計師指定猴子接觸香蕉的路徑和方法。邏輯編程建立了描述一個問題裏的世界的邏輯模型。邏輯編程的目標是對它的模型建立新的陳述。世界上知識不斷澎漲。傳統來說，我們會將一個問題陳述成單一的假設。邏輯編程的程式透過證明這個假設在模型裏是否為真來解決問題。一些經常用到邏輯編程工具的範疇︰
- 專家系統，程式從一個巨大的模型中產生一個建議或答案。
- 自動化證明定理，程式產生一些新定理來擴充現有的理論。最常用的邏輯編程語言是Prolog，另外有較適用於大型方案的Mercury。詳盡的清單可見於:Category:邏輯編程語言。 Category:編程典範 Category:人工智能 Category:计算机逻辑 th:การเขียนโปรแกรมเชิงตรรกะ

语义

语义学又称作词义学（Semantics，来自于希腊语 semantikos），研究对象是词语，是词汇学的一个分支。主要研究词义。词和词之间的各种关系是语义学研究的一个主要方面，例如同义词、反义词，同音词等，找出词语之间的细微差别，让人们更准确地使用词语。

参看

- 词典
- 词典学
- 语文 Category:语言学 ja:意味論 ko:의미론 ms:Semantik

语法

语法是语言表达的规则。各种语言都有不同的语法，包括人类语言和计算机语言等。語法學是語言學的一部分。現代語法學包括語音學、音系學（見音韻學）、形态学（词法）、句法學、語義學。

分類

- 規定性語法
- 描寫性語法
- 教學用語法
- 形式文法
- 生成語法（衍生語法）

参阅

- 文字
- 语言 category:語法 als:Grammatik ja:文法 simple:Grammar th:ไวยากรณ์

一阶逻辑

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." (

\exists x

) 或 "对于任何 x，..." (

\forall x

)，这里的 x 是论域(domain of discourse)的成员。一阶(递归)公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理，可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的"..."叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以，表达"是黄色"或"喜欢椰菜"分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。性质可以被当作物体只凭自身的一种构成(form)，它可以拥有其他性质。性质被认为有别于拥有它的物体。所以一阶逻辑不能表达下列陈述，"对于所有的性质 P，..." 或"存在着性质 P，..."。但是，一阶逻辑足够强大了，它可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学。把量化限制于个体(individual)使它难于用于拓扑学目的，但它是在数学底层经典的逻辑理论。它是比句子逻辑强比二阶逻辑弱的理论。

一阶逻辑的定义

谓词演算构成如下
- 生成规则(就是形成合式公式的递归定义)。
- 变换规则(就是推导定理的推理规则)。
- 公理或公理模式的(可能的可数的无限)集合。有两种类型的公理: 逻辑公理，它是对于谓词演算有效的，和非逻辑公理，它是在特殊情况下为真的，就是说，在它所在的理论的标准解释中是真的。例如，非逻辑的皮亚诺公理在算术的符号主义标准解释下是真的，但是对于谓词演算它们不是有效的。在公理的集合是无限的的时候，需要能判定给定的合式公式是否是一个公理的一个算法。进一步的，应当有可以判定一个推理规则的应用是否正确的算法。

词汇表

"词汇表"构成如下 # 大写字母 P, Q, R,... 是谓词变量。 # 小写字母 a, b, c,... 是(个别的)常量。 # 小写字母 x, y, z,... 是(个别的)变量。 # 小写字母 f, g, h,... 是函数变量。 # 表示逻辑算子的符号: ¬ (逻辑非)，

\wedge

(逻辑与)，

\vee

(逻辑或)，→ (逻辑条件) 和 ↔ (逻辑双条件)。 # 表示量词的符号:

\forall

(全称量词)，

\exists

(存在量词)。 # 左右圆括号。一些符号可以被简略为原语(primitive)并被采纳为简写；比如 (P ↔ Q) 是 (P → Q)

\wedge

( Q → P) 的简写。算子和量词的最小数目是三个(如果我们定义了算子或非或者与非则是两个)；例如，¬，

\wedge

和

\forall

就足够了。项是一个常量、变量或 n≥0 个参数的函数符号。

生成规则

合式公式(wff)的集合按如下规则递归的定义: # 简单和复杂的谓词如果 P 是 n 元(n ≥ 0)谓词，则

Pa_1,...,a_n

是合式的。如果 n ≤ 1，则 P 是原子。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II: 如果 φ 和 ψ 是 wff，则

(\phi \wedge \psi)

，

(\phi \vee \psi)

，(φ → ψ)和(φ ↔ ψ) 是 wff。 # 归纳条款 III: 如果 φ 是包含变量 x 的一个自由实例的 wff，则

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

是 wff。(此后在

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

中x 的任何实例都被称为约束的 — 而不是自由的。) # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。

变换(推理)规则

肯定前件充当推理的唯一规则。如果没有公理模式，则还需要一个一致代换规则。

演算

谓词演算是命题演算的扩展。如果命题演算被定义为十一个公理和一个推理规则(肯定前件)，不计算针对逻辑等价算子的额外定律在内，则谓词演算可以被定义为在其上添加四个补充的公理和一个补充的推理规则。

公理扩展

下列四个公理是谓词演算的特征:
- PRED-1:

\forall x Z(x) \rightarrow Z(y)

- PRED-2:

Z(y) \rightarrow \exists x Z(x)

- PRED-3:

\forall x (W \rightarrow Z(x)) \rightarrow (W \rightarrow \forall x Z(x))

- PRED-4:

\forall x (Z(x) \rightarrow W) \rightarrow (\exists x Z(x) \rightarrow W)

它们实际上是公理模式，因为其中的谓词字母 W 和 Z 可以被任何谓词字母所替代，而不改变这些公式的有效性。

推理规则

叫做全称普遍化的推理规则是谓词演算的特征。它可以陈述为 :

\mathit \vdash Z(x), \mathit \vdash \forall x Z(x)

这里的 Z(x) 假定表示谓词演算的一个已证明的定理，而 ∀xZ(x) 是它针对于变量 x 的闭包。谓词字母 Z 可以被任何谓词字母所替代。注意：全称普遍化类似于模态逻辑的必然性规则，它是 :

\mathit \vdash P, \mathit \vdash  \Box P

一阶逻辑的元逻辑定理

在公告板中列出了一些重要的元逻辑定理。 # 不像命题演算，一阶逻辑是不可判定性的。对于任意的公式 P，可以证实没有判定过程，判定 P 是否有效，(参见停机问题)。(结论独立的来自于邱奇和图灵。) # 有效性的判定问题是半可判定的。按哥德尔不完备定理所展示的，对于任何有效的公式 P, P 是可证明的。 # 单体谓词逻辑(就是说，谓词只有一个参数的谓词逻辑)是可判定的。

参见

- 哥德尔不完备定理
- 推理规则列表
- 数理逻辑

引用

- David Hilbert and Wilhelm Ackermann (1928). Grundzüge der theoretischen Logik (Principles of Theoretical Logic). Springer-Verlag, ISBN 0-8218-2024-9.
- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/ Article on classical logic] by Stewart Shapiro at the Stanford Encyclopedia of Philosophy, which covers the definition, model theory and soundness and completeness results for first-order logic characterised in a natural deduction style.
- [http://www.ltn.lv/~podnieks/ Introduction to mathematical logic] by Karl Podnieks.
- [http://us.metamath.org/index.html Metamath]: a project to construct mathematics using an axiomatic system based on propositional calculus, predicate calculus, and set theory category:数理逻辑 category:離散數學

Kripke语义

Kripke 语义(也叫做关系语义或框架语义，并经常混淆于可能世界语义)是模态逻辑系统的形式语义，于 1950 年代晚期和 1960 年代早期由 Saul Kripke 建立。它后来为另一个非经典逻辑，最重要的直觉逻辑所接受。Kripke 语义的发现是非经典逻辑开发中重大突破，因为这种逻辑的模型论在 Kripke 之前实际上是不存在的。

模态逻辑的语义

对于我们的目的，模态逻辑的语言由命题变量，读者喜欢的布尔连结词的完备集合(比如或 )，和模态算子

\Box

(“必然性”)构成。对偶的模态算子

\Diamond

(“可能性”) 定义为一个简写:

\Diamond A:=\neg\Box\neg A

。更多背景请参见模态逻辑。

基本定义

Kripke 框架或模态框架是 <W,R> 对，这里的 W 是非空集合，而 R 是在 W 上的二元关系。W 的元素叫做节点或世界，而 R 叫做可及关系。 Kripke 模型是 <W,R,

\Vdash

> 三元组，这里的 <W,R> 是 Kripke 框架，而

\Vdash

是在 W 的节点和模态公式之间的如下关系:
-

w\Vdash\neg A

当且仅当

w\not\Vdash A

，
-

w\Vdash A\to B

当且仅当

w\not\Vdash A

或

w\Vdash B

，
-

w\Vdash\Box A

当且仅当

\forall u\,(w\; R\; u \Rightarrow u\Vdash A)

。我们把 w

\Vdash

A 读做 “w 满足 A”，“A 满足于 w”，或 “w 力迫 A”。关系

\Vdash

叫做满足关系、求值或力迫(force)关系。注意满足关系由它在命题变量上的值唯一确定。公式 A 在下列之中是有效的:
- 模型 <W,R,

\Vdash

>，如果对于所有 w ∈W 有 w

\Vdash

A，
- 框架 <W,R>，如果对于

\Vdash

的所有可能的选择，它在 <W,R,

\Vdash

> 中是有效的，
- 框架或模型的类 C，如果它在 C 的每个成员中都是有效的。我们定义 Thm(C) 为在 C 中有效的所有公式的集合。反过来说，如果 X 是公式的集合，则设 Mod(X) 是使来自 X 的所有公式有效的所有框架的类。一个模态逻辑(就是说一个公式的集合) L 关于框架的类 C 是可靠的，如果 L⊆Thm(C)。L 关于C 是完备的，如果 L⊇Thm(C)。

对应性和完备性

语义对于逻辑(就是推理系统)研究是有用的，条件是在语义蕴涵关系忠实的反映语法对应物 -- 推论关系 (可推导性)。所以知道哪个模态逻辑关于哪类 Kripke 框架是可靠的和完备的，并为它们确定这种类是关键性的。对于 Kripke 框架的任何类 C，Thm(C) 是普通模态逻辑；特别是，最小化普通模态逻辑 K 的定理，在所有 Kripke 模型中都是有效的。不幸的是，逆命题不是一般性成立的: 有 Kripke 不完备的普通模态逻辑。事实上这不是问题，因为实际中研究的多数模态系统关于由简单条件所描述的框架类是完备的。普通模态逻辑 L 对应于框架类 C，条件是 C=Mod(L)。换句话说，C 是 L 关于 C 是可靠的最大的框架类；随后 L 是 Kripke 完备的当且仅当它关于它所对应的类是完备的。作为一个例子，考虑模式 T :

\Box

A → A。T 在任何自反的框架 <W,R> 中是有效的: 如果 w

\Vdash \Box

A，则 w

\Vdash

A，因为 w R w。在另一方面，使 T 有效的框架必须是自反的: 固定 w ∈W，并定义命题变量 p 的满足为如下: u

\Vdash

p 当且仅当 w R u。那么 w

\Vdash \Box

p，所以 w

\Vdash

p 于 T，这意味着 w R w 使用了

\Vdash

的定义。我们见到 T 对应于自反的 Kripke 框架的类。特征化 L 的对应类经常比证明它的完备性要容易许多，所以对应性充当完备性证明的指导。对应性还用于证实模态逻辑的不完备性: 假定 L₁⊆L₂ 是对应于同一个框架类的普通模态逻辑，L₁ 不证明 L₂ 的所有定理。那么 L₁ 是 Kripke 不完备的。例如，模式

\Box(A\equiv\Box A)\to\Box A

生成一个不完备的逻辑，因为它对应于同 GL 一样的框架类(viz. 传递性和逆良基的框架)，但是它不证明

\Box A\to\Box\Box A

。在下表中给出常见模态公理和它们对应的类的列表。注意: 公理的名字经常是多变的。下面是一些常见普通模态逻辑系统的列表。对于其中一些的框架条件是简化了的: 逻辑关于在表中给出的框架类是完备的，但是它们可能对应于更大的一类框架。

规范模型

对于任何普通模态逻辑 L，我们可以构造一个 Kripke 模型(称为规范模型)，它且只有它使 L 的定理有效，通过接纳使用极大一致集合作为模型的标准技术。规范 Kripke 模型扮演的角色类似于在代数语义中的 Lindenbaum-Tarski 代数构造。公式集合 L是一致的，如果从它们、L 的公理和肯定前件中不能推导出矛盾。极大 L一致的集合(简写为 L-MCS)是没有真L一致的超集的 L一致的集合。 L 的规范模型是 Kripke 模型 <W,R,

\Vdash

>，这里的 W 是所有L-MCS，而关系 R 和

\Vdash

为如下: :

X\;R\;Y

当且仅当对所有的公式

A

，如果

\Box A\in X

则

A\in Y

， :

X\Vdash A

当且仅当

A\in X

。规范模型是 L 的模型，因为所有的 L-MCS 包含 L 的所有定理。通过 Zorn 引理，每个 L一致的集合都包含在一个 L-MCS 中，特别是在 L 中不可证明的所有公式都在规范模型中有一个反例。规范模型的主要应用是完备性证明。例如，K 的规范模型的性质直接蕴含 K 关于所有 Kripke 框架类的完备性。这个论证不适合任意的 L，因为没有对规范模型的底层框架满足 L 的框架条件的担保。我们说一个公式或公式的集合 X 关于 Kripke 的一个性质 P 是规范的，如果
- X 在满足 P 的所有框架中是有效的，
- 对于包含 X 的任何普通模态逻辑 L，L 的规范模型底层框架满足 P。明显的，公式的规范集合的并集自身是规范的。服从前面的讨论，由公式的规范集合公理化的任何逻辑是 Kripke 完备的和紧凑的。公理 T、4、D、B、5、3、2(和它们的任意组合)都是规范的。GL 和 Grz 不是规范的，因为他们不是紧凑的。公理 1 自身不是规范的(Goldblatt, 1991)，但是组合的逻辑 S4.1(事实上甚至 K4.1) 是规范的。一般的，给定的公理是否是规范的是不可决定的。不过我们知道一个好的充分条件: H。Sahlqvist 识别了如下广泛的一类公式(现在叫做Sahlqvist 公式)
- Sahlqvist 公式是规范的，
- 对应于 Sahlqvist 公式的框架类是一阶可定义的，
- 有计算对一个给定的 Sahlqvist 公式的对应框架条件的算法。这是一个非常强力的准则；例如，上面列出的规范的所有公理是实际上的(等价于) Sahlqvist 公式。

有限模型性质

逻辑拥有有限模型性质(FMP)，如果它关于有限框架的类是完备的。这个概念的主要应用之一是可决定性问题: 它服从 Post 定理，有 FMP 的递归公理化的模态逻辑 L 是可决定性的，倘若给定的有限框架是否是 L 的模型是可决定的。特别是，有 FMP 的所有的有限可公理化的逻辑都是可决定性的。有各种方法为给定的逻辑建立 FMP。精练并扩展规范模型构造通常就行了，使用工具如过滤或拆分。还有一种可能性，给予免切的相继式演算的完备性证明通常直接产生有限模型。多数实际上使用的模态系统(包括所有上面列出的)都有 FMP。在某些情况下，我们可以使用 FMP 来证明逻辑的 Kripke 完备性: 所有普通模态逻辑关于模态代数的类都是完备的，而有限的模态代数可以变换成 Kripke 框架。作为例子，Robert Bull 使用这个方法证明了 S4.3 的所有普通扩展都有 FMP，并且是 Kripke 完备的。

多模态逻辑

Kripke 语义对有多于一个模态的逻辑有直接的推广。带有

\

作为必然性算子的集合的语言的 Kripke 框架，由对每个 i ∈I 装备上二元关系 R_i 一个非空集合 W构成。满足关系的定义修改为如下: :

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\,(w\;R_i\;u\Rightarrow u\Vdash A)

。由 Tim Carlson 发现的简化的语义，经常用于多模态可证明性逻辑。Carlson 模型是结构 <W,R,_i∈I,⊩>，带有一个单一的可及关系 R，和给每个模态的子集 D_i ⊆ W。满足性定义为 :

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\in D_i\,(w\;R\;u\Rightarrow u\Vdash A)

。 Carlson 模型比通常的多模态 Kripke 模型易于形象化和使用；但是，Kripke 完备的多模态逻辑是 Carlson 不完备的。

直觉逻辑的语义

直觉逻辑的 Kripke 语义服从和模态逻辑的语义同样的原理，但是它使用了满足的不同的定义。直觉 Kripke 模型是一个三元组 <W,≤,

\Vdash

>，这里的 <W,≤> 是传递的和自反的 Kripke 框架(就是说可及关系是预序)，而

\Vdash

满足下列条件:
- 如果 p 是命题变量，w ≤ u，并且 w

\Vdash

p，则 u

\Vdash

p (持续性条件)，
- w

\Vdash

A ∧ B 当且仅当 w

\Vdash

A 并且 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A ∨ B 当且仅当 w

\Vdash

A 或者 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A → B 当且仅当对于所有 u ≥ w，u

\Vdash

A 蕴含 u

\Vdash

B，
- 非 w

\Vdash

;⊥。直觉逻辑关于它的 Kripke 语义是可靠的和完备的，并且它有 FMP。

直觉一阶逻辑

设 L 是一阶语言。L 的 Kripke 模型是三元组 <W,≤,_w∈W>，这里的 <W,≤> 是直觉 Kripke 框架，M_w 是每个节点 w ∈W 的(经典) L-结构，而下列相容性条件只要在 u ≤ v 时都是成立的:
- M_u 的域包含在 M_v 的域中，
- M_u 和 M_v 中的函数符号实现一致于 M_u 的元素，
- 对于每个 n 元谓词 P 和元素 a₁,...,a_n ∈M_u: 如果 P(a₁,...,a_n) 成立于 M_u，则它成立于 M_v。给出经由 M_w 的元素的变量求值 e，我们定义满足关系 w

\Vdash

A[e]:
- w

\Vdash

P(t₁,...,t_n)[e] 当且仅当 'P(t₁[e],...,t_n[e]) 成立于 M_w，
- w $\Vdash$ (A ∧ B)[e] 当且仅当 w $\Vdash$ A[e] 并且 w $\Vdash$ B[e]，
- w $\Vdash$ (A ∨ B)[e] 当且仅当 w $\Vdash$ A[e] 或者 w $\Vdash$ B[e]，
- w $\Vdash$ (A → B)[e] 当且仅当对于所有的 u ≥ w，u $\Vdash$ A[e] 蕴含 u $\Vdash$ B[e]，
- 非 w $\Vdash$ ⊥[e]，
- w $\Vdash$ (∃x A)[e] 当且仅当存在一个 a ∈M_w，使得 w $\Vdash$ A[e(x→a)]，
- w $\Vdash$ (∀x A)[e] 当且仅当对于所有的 u ≥ w 和所有的 a ∈M_u，u $\Vdash$ A[e(x→a)]。这里的 e(x→a) 是给予 x 值 a 的求值，在其他方面一致于 e。
Kripke-Joyal 语义
作为独立开发的层论的一部分，在 1965 年左右认识到 Kripke 语义密切相关于在 topos 论中对存在量化的处理。就是对一个层的截面的存在性的'局部'示象是一种'可能性'的逻辑。因为这种开发是很多人的工作，比之于理论更合于概念上洞察的天性，归与荣誉不是很容易的。Kripke-Joyal 语义这个名称经常用做这种联系。
模型构造
同在经典的模型论中一样，有从其他模型构造一个新的 Kripke 模型的方法。在 Kripke 语义中天然的同态叫做p-态射(它是伪满射的简写，但这个术语很少用)。Kripke 框架 <W,R> 和 <W’,R’> 的 p-态射是一个映射 f:W → W’ 满足
- f 保留可及关系，就是说 u R v 蕴涵 f(u) R’ f(v)，
- 在 f(u) R’ v’ 的时候，有一个 v ∈ W 使得 f(v)=v’。 Kripke 模型 <W,R, $\Vdash$ > 和 <W’,R’, $\Vdash$ ’> 的 p-态射是它们的底层框架的 p-态射 f:W → W’，它满足 : 对于任何命题变量 p，w $\Vdash$ p 当且仅当 f(w) $\Vdash$ ’p。 P-态射是特殊种类的双仿(bisimulation)。一般的说，在框架 <W,R> 和 <W’,R’> 之间的双仿是关系 B ⊆ W × W’，它满足下列 “zig-zag” 性质:
- 如果 u B u’ 并且 u R v，则存在 v’ ∈ W’ 使得 v B v’，
- 如果 u B u’ 并且 u’ R’ v’，则存在 v ∈ W 使得 v B v’。模型的双仿是对保持原子公式的力迫的补充要求: : 对于任何命题变量 p，如果 w B w’，则 w $\Vdash$ p 当且仅当 w’ $\Vdash$ ’p。从这个定义我们得到的关键性质是模型的双仿(所以也是 p-态射)保持所有公式的满足性，而不只是命题变量。我可以使用拆分(unravelling)把 Kripke 模型变换成树。给出一个模型 <W,R, $\Vdash$ > 和固定的节点 w₀ ∈ W，我们定义一个模型 <W’,R’, $\Vdash$ ’>，这里的 W’ 是所有有限序列 s=<w₀,w₁,...,w_n> 的集合，使得对于所有 i<n 和 s $\Vdash$ p，w_i R w_i+1 当且仅当对于所有变量 p，w_n $\Vdash$ p。定义可及关系 R’ 变化；在最简单的情况下我们置 : <w₀,w₁,...,w_n> R’ <w₀,w₁,...,w_n,w_n+1>, 但是很多应用需要这个关系的自反与/或传递闭包，或类似的变更。过滤是 p-态射的一个变种。设 X 是在采纳子公式(subformulas)下闭合的公式的集合。模型 <W,R, $\Vdash$ > 的 X-过滤是从W 到模型 <W’,R’, $\Vdash$ ’> 的映射 f，使得
- f 是满射，
- f 保持可及关系，和(在两个方向上)变量 p ∈ X 的满足性，
- 如果 f(u) R’ f(v) 并且 u $\Vdash \Box$ A，这里的 $\Box$ A ∈X，则 v $\Vdash$ A。得到了 f 保持来自 X 的所有公式的满足性。在典型的应用中，我们把 f 采纳为在W 在下列关系上对份额的投影 : u ≡_X v 当且仅当对于所有 A ∈X，u $\Vdash$ A 当且仅当 v $\Vdash$ A。同在拆分的情况下一样，定义可及关系在份额变化上。
历史和术语
Kripke 语义不是 Kripke 首创的，以上述方式给出的基于使求值相对于节点的语义早于 Kripke 的工作许久:
- Carnap 好象是首先有了这种想法，通过给予求值函数以莱布尼兹的可能世界为范围的一个参数的方式，对必然性和可能性的模态给出一种可能世界语义。Bayart 进一步发展了这种想法，但是他们都没能给出 Tarski 介入的这种风格的满足的递归定义；
- Jónsson 和 Tarski 给出了仍然影响着当代模态逻辑研究的表达语义的方式，就是代数方法，这包含了 Kripke 语义的很多关键想法。他们把这个想法应用于直觉逻辑的语义研究，但没有见到与模态逻辑的联系；
- Kanger 对模态逻辑的释义给出了更加复杂的方式，但是包含了 Kripke 方式的很多关键想法。他首先注意到在关于可及关系的条件和 Lewis-风格的模态逻辑公理之间的联系。但是 Kanger 没能给出对他的系统的完备性证明；
- Jaakko Hintikka 在他的论文中介入了是 Kripke 语义的简单变体的认识逻辑，等同于通过最大化一致集合的方式构造求值的塑造。他没能为认识逻辑给出推理规则，所以没能给出完备性证明；
- Richard Montague 有了包含在 Kripke 工作中的很多关键想法，但是他没有把它们当作是重要的，所以一直没有发表直到 Kripke 的论文出版在逻辑学社区中造成了轰动之后；
- Evert W. Beth 为直觉逻辑提出了一种基于树的语义，它极其类似于 Kripke 语义，除了使用了更加麻烦的满足定义之外。尽管Kripke 语义的根本思想在 Kripke 首次发表之前就广为流传了，Saul Kripke 关于模态逻辑的工作仍可恰当的当作是开拓性的。最重要的是，Kripke 是第一个为模态逻辑证明了完备性定理的人，并且 Kripke 识别了最弱的普通模态逻辑。尽管 Kripke 的工作有开创性贡献，很多模态逻辑学家反对术语 Kripke 语义，因为这是对先驱们做的重要贡献的失礼。反对另一个最广泛使用的术语可能世界语义的理由是它不适合应用于不是可能性和必然性的模态，比如在认识或道义逻辑中。他们喜欢术语关系语义或框架语义。
引用

- Modal Logic. P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema. Cambridge University Press, 2001.
- Basic Modal Logic. R. A. Bull and K. Segerberg. In The Handbook of Philosophical Logic, volume 2, pages 1--88. Kluwer, 1984.
- A New Introduction to Modal Logic. G. E. Hughes, M. J. Cresswell. Routledge, 1996.
- Modal Logic. A. Chagrov, M. Zakharyaschev. Oxford University Press, 1997.
- [http://plato.stanford.edu/archives/win2001/entries/logic-modal Modal Logic]. J. Garson. In E. N. Zalta, editor, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy
- [http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/papers/modalhist.pdf Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution]. [http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/ Robert Goldblatt]. In Journal of Applied Logic, vol. 1(5-6):309-392, 2003.
- Intuitionistic Logic. D. van Dalen. In The Handbook of Philosophical Logic, volume 3, pages 225--339. Reidel, 1986.
- Elements of Intuitionism. M. Dummett. Clarendon Press, 1977.
- Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. M. Fitting. North-Holland, 1969.
- Sheaves in Geometry and Logic. S. Mac Lane and I. Moerdijk. Springer-Verlag, 1991.
参见

- Kripke 结构
外部链接

- [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml4a.htm#s44 Introduction to Mathematical Logic] by Drs. Detlovs and Podnieks. Chapter 4, Section 4: "Constructive Propositional Logic — Kripke Semantics".
- [http://www.princeton.edu/~jburgess/Kripke1.doc Kripke Models], a Word document by John P. Burgess. Category:集合论 Category:数理逻辑

拓扑学

- 此條目談的是數學上的拓扑，其他含義請見消歧義頁面拓扑。 ---- 拓扑学，台灣叫拓樸學，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语Topology的音译。Topology原意为地志学，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

分支学科

- 点集拓扑学又称为一般拓扑学
- 组合拓扑学
- 代数拓扑学
- 微分拓扑学
- 几何拓扑学 ja:位相幾何学 ko:위상수학 simple:Topology

Kripke语义

模态逻辑的语义

对于我们的目的，模态逻辑的语言由命题变量，读者喜欢的布尔连结词的完备集合(比如或 )，和模态算子

\Box

(“必然性”)构成。对偶的模态算子

\Diamond

(“可能性”) 定义为一个简写:

\Diamond A:=\neg\Box\neg A

。更多背景请参见模态逻辑。

基本定义

Kripke 框架或模态框架是 <W,R> 对，这里的 W 是非空集合，而 R 是在 W 上的二元关系。W 的元素叫做节点或世界，而 R 叫做可及关系。 Kripke 模型是 <W,R,

\Vdash

> 三元组，这里的 <W,R> 是 Kripke 框架，而

\Vdash

是在 W 的节点和模态公式之间的如下关系:
-

w\Vdash\neg A

当且仅当

w\not\Vdash A

，
-

w\Vdash A\to B

当且仅当

w\not\Vdash A

或

w\Vdash B

，
-

w\Vdash\Box A

当且仅当

\forall u\,(w\; R\; u \Rightarrow u\Vdash A)

。我们把 w

\Vdash

A 读做 “w 满足 A”，“A 满足于 w”，或 “w 力迫 A”。关系

\Vdash

叫做满足关系、求值或力迫(force)关系。注意满足关系由它在命题变量上的值唯一确定。公式 A 在下列之中是有效的:
- 模型 <W,R,

\Vdash

>，如果对于所有 w ∈W 有 w

\Vdash

A，
- 框架 <W,R>，如果对于

\Vdash

的所有可能的选择，它在 <W,R,

\Vdash

对应性和完备性

\Box

A → A。T 在任何自反的框架 <W,R> 中是有效的: 如果 w

\Vdash \Box

A，则 w

\Vdash

A，因为 w R w。在另一方面，使 T 有效的框架必须是自反的: 固定 w ∈W，并定义命题变量 p 的满足为如下: u

\Vdash

p 当且仅当 w R u。那么 w

\Vdash \Box

p，所以 w

\Vdash

p 于 T，这意味着 w R w 使用了

\Vdash

\Box(A\equiv\Box A)\to\Box A

生成一个不完备的逻辑，因为它对应于同 GL 一样的框架类(viz. 传递性和逆良基的框架)，但是它不证明

\Box A\to\Box\Box A

规范模型

\Vdash

>，这里的 W 是所有L-MCS，而关系 R 和

\Vdash

为如下: :

X\;R\;Y

当且仅当对所有的公式

A

，如果

\Box A\in X

则

A\in Y

， :

X\Vdash A

当且仅当

A\in X

有限模型性质

多模态逻辑

Kripke 语义对有多于一个模态的逻辑有直接的推广。带有

\

作为必然性算子的集合的语言的 Kripke 框架，由对每个 i ∈I 装备上二元关系 R_i 一个非空集合 W构成。满足关系的定义修改为如下: :

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\,(w\;R_i\;u\Rightarrow u\Vdash A)

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\in D_i\,(w\;R\;u\Rightarrow u\Vdash A)

。 Carlson 模型比通常的多模态 Kripke 模型易于形象化和使用；但是，Kripke 完备的多模态逻辑是 Carlson 不完备的。

直觉逻辑的语义

直觉逻辑的 Kripke 语义服从和模态逻辑的语义同样的原理，但是它使用了满足的不同的定义。直觉 Kripke 模型是一个三元组 <W,≤,

\Vdash

>，这里的 <W,≤> 是传递的和自反的 Kripke 框架(就是说可及关系是预序)，而

\Vdash

满足下列条件:
- 如果 p 是命题变量，w ≤ u，并且 w

\Vdash

p，则 u

\Vdash

p (持续性条件)，
- w

\Vdash

A ∧ B 当且仅当 w

\Vdash

A 并且 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A ∨ B 当且仅当 w

\Vdash

A 或者 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A → B 当且仅当对于所有 u ≥ w，u

\Vdash

A 蕴含 u

\Vdash

B，
- 非 w

\Vdash

;⊥。直觉逻辑关于它的 Kripke 语义是可靠的和完备的，并且它有 FMP。

直觉一阶逻辑

\Vdash

A[e]:
- w

\Vdash

模态逻辑

模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如可能、或许、可以、一定、必然等限定的句子的逻辑分支。使用模态算子如可能或必然的任何逻辑系统因此就叫做模态逻辑。模态逻辑可以用语义的内涵性来描述其特征: 非模态逻辑都有复杂句子的真值由子句子的真值决定的特征。所以它们是外延性的。相反在模态逻辑中，这不成立: "George W. Bush 是美国总统" 和 "2 + 2 = 4" 是真的，但是 "George W. Bush 必然是美国总统" 是假的，而"2 + 2 = 4 是必然的" 是真的。形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。模态算子的基本集合通常被指定为

\Box

和

\Diamond

。在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中

\Box

表示必然性，而

\Diamond

表示可能性。句子被认定为
- 可能的如果它可能为真(不管实际上是真是假);
- 必然的如果它不可能为假;
- 偶然的如果它不是必然为真，就是说，可能为真可能为假。偶然的真理是实际上为真，但可能曾经不是的真理。

形而上学和其他模态

真势和认识

模态逻辑最经常用来谈论所谓的真势模态: "...是必然的" 或者 "....是可能的" ，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语 episteme, 知识): "...确实是真的" 和 "...(对给定的可获得的信息)或许是真的"。在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助: 一个人 Jones 可以合理的同时说出: (1) "我确信 Bigfoot 不可能存在"，还有(2) "Bigfoot 存在的确是可能的"。Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，Bigfoot 存在与否是没有疑问的。这是一个认识上的断言。通过(2)表达的意思是这个事物可能曾是其它样子的。他的意思不是 "就我所知而言，Bigfoot 可能存在" 。(所以这不矛盾于(1))。而是，他做了一个形而上学上的断定，即使他不知道，Bigfoot 存在仍是可能的。在其他方面，Jones 可以说 (3) "哥德巴赫猜想可能为真，并也可能为假，还有(4) 如果它是真的，则它必然是真的，而不可能是假的。" 这里 Jones 的意思是，就他所知而言，它为真为假都是在认识上可能的(哥德巴赫猜想仍未被证明是真还是假)。但是如果有这么一个证明(至今仍未发现)，则哥德巴赫猜想为假在逻辑上是不可能的 -- 不会有一组数违背它。逻辑上的可能性是一种真势(alethic)可能性；(4)做了对这个数学论断已经为假是否可能的一个断言，而(3)只做了对就 Jones 所知而言这个论断被证实为假是否可能的一个断言，所以 Jones 还是不自相矛盾。认识上的可能性还以一种非形而上学的方式关注真实世界。形而上学的可能性以可能曾是的方式关注世界，而认识上的可能性以(就我所知而言)可能正是的方式关注世界。比如，我想知道在离开前是否要带把伞。如果你告诉我 "外面可能在下雨" -- 在一种认识上可能的意义上--那么这会影响我是否带伞的决定。但是如果你告诉我 "外面下雨是可能的" -- 在一种形而上学上可能的意义上--那么我从这种大道理中没有得到任何启示。大量的哲学文献关心真势而非认识模态。(实际上，其中大多数关心一种最广泛的真势模态，就是逻辑可能性)。这不是说真势可能性比我们日常用的认识可能性更重要(考虑上面决定是否带伞的例子)。只是说在哲学研究中的优先权不是日常生活中的重要性带来的。

道义和时态

言语中有一些类似的模式，尽管不大可能与真势模态混淆但仍密切的相关。其一是有关时间的谈论。明天可能会下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果实际上已经下了，则说"昨天可能没有下雨"就不是完全正确的。过去好像"固定的"或必然的，而将来在某种程度上不是。很多哲学家和逻辑学家认为这种推理不是很好；但是我们经常以这种方式谈话，所以最好有一种逻辑能捕获它的结构。类似的有关道德的谈论，或者说义务和规范一般好像也有模态结构。在 "你必须这么做" 和 "你可以这么做" 之间的区别看起来很像在"这是必然的和这是可能的"之间的区别。这种逻辑叫做道义逻辑，道义来自希腊语 "duty"。值得注意的是，模态逻辑可以开发出实现多数这种方言；它们有公共逻辑机构的事实(使用"内涵"或非真值泛函的句子算子)使它们都是同一个东西的变体。认识逻辑被证实捕获于系统"S4"；道义逻辑捕获于系统"D"，时态逻辑捕获于"t"(小写的)，而真势逻辑被证实为"S5"

模态逻辑的释义

在模态逻辑的最常见解释中，你要考虑"所有逻辑上可能的世界"。如果一个陈述在所有可能的世界中是真的，则它是必然的真理。如果一个陈述碰巧在我们的世界中是真的，但不是在所有可能的世界中是真的，则它是偶然的真理。在某些(不是必须在我们自己的)可能的世界中是真的陈述叫做可能的真理。这种"可能的世界"是否是解释模态逻辑的最佳方式，怎样在文字上接受这种方言，是形而上学的鲜活的问题。例如，可能的世界的方言可以把关于 Bigfoot 的断言翻译为"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在"。要主张 Bigfoot 的存在性是可能的，但不是现实的，你可以说"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在；但是在现实世界中，Bigfoot 不存在"。但是对使模态断言对我们负责的那个东西是什么仍是不清楚的。我们真的要宣称可能的世界的存在性吗？它在每一点都同我们的现实世界一样真实，却惟独不是现实的。David Lewis 强硬的说就是这样，可能的世界同我们自己的世界一样真实。这种立场叫做"模态现实主义"。不足为奇的，多数哲学家不愿意接受这种特别的学说，在搜寻一种可替代的方式来释义我们的模态断言所蕴含的本体论承诺。

形式化规则

有很多有不同性质的模态逻辑。在其中很多必然性和可能性的概念满足下列 de Morgan 定律的联系: :"X 是非必然的" 等价于 "非 X 是可能的"。 :"X 是非可能的" 等价于 "非 X 是必然的"。尽管模态逻辑教科书比如 Hughes 和 Cresswell 的 "A New Introduction to Modal Logic" 覆盖了这个定律不成立的一些系统。模态逻辑向命题逻辑的合式公式增加上必然性和偶然性。在一些记号中 "必然的 p" 使用"方块"(

\Box p

)表示，而"可能的 p" 使用"菱形"(

\Diamond p

)表示。无论是什么样的记号，两个算子是以相互定义的方式定义的:
-

\Box p

(必然的 p) 等价于

\neg \Diamond \neg p

(非可能的非-p)
-

\Diamond p

(可能的 p) 等价于

\neg \Box \neg p

(非必然的非-p) 因此，

\Box

和

\Diamond

叫做对偶算子。要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于 Saul Kripke 的 K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则:
- 必然性规则: 如果 p 是 K 的定理，则

\Box p

也是。
- 分配律公理: 如果

\Box (p \rightarrow q)

则

(\Box p \rightarrow \Box q)

(这也叫做公理 K) 这些规则缺乏从 p 的必然性到 p 的实际情况的公理，所以通常要补充上下列"自反性"公理，这就生成经常叫做 T 的一个系统。
-

\Box p \rightarrow p

(如果 p 是必然的，则 p 是事实) 这是多数但不是全部模态逻辑系统的规则。Jay Zeman 的书 "Modal Logic" 覆盖了没有这个规则的系统如 S1^0。但 K 是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果

\Box p

是真的则

\Box \Box p

是真的不是 K 的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是 K 的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。今天最常见的系统是模态逻辑 S5，它通过增加使所有模态真理是必然的公理来粗壮的解答了这个问题: 例如，如果 p 是可能的，则 p 必然是可能的，如果 p 是必然的，则它必然是必然的。很多人认为它正当的根据是，它是在我们需要每个可能的世界相对于每个其他世界都是可能的时候所获得的系统。不过，模态逻辑的其他系统已经被公式化了，部分的因为 S5 不能很好的适合我们感兴趣的所有种类的形而上学模态。(若此则意味着可能的世界的谈论不能很好的适合这些种类的模态)。

模态逻辑的发展

尽管亚里士多德的逻辑几乎全部都关注直言三段论的理论，他的著作还包含在模态逻辑要点上的一些延伸讨论(比如他著名的在解释篇 § 9 中海战悖论)，并且它们与潜在性和时间有关连。遵从他的著作，经院学者为模态逻辑的严格理论开发出了根基，大多在关于本质和偶然的陈述的逻辑的注释的上下文中。在中世纪的作家中，在 William of Ockham 和 John Duns Scotus 的著作中找到了关于模态逻辑的一些最重要的工作。形式模态逻辑的缔造者是 C. I. Lewis，他在专著 A Survey of Symbolic Logic (1918) 中介入了一个系统(后来叫做 S3)，并(同 C. H. Langford 一起)在书 Symbolic Logic (1932)中介入了系统 S1-S5。J. C. C. McKinsey 在 1941 年使用代数方法(带有算子的布尔代数)来证明 Lewis 的 S2 和 S4 的可判定性。Saul Kripke 从 1959 年开始为模态逻辑设计了关系语义或可能的世界语义。Vaughan Pratt 在 1976 年介入了动态逻辑。Amir Pnueli 在 1977 年提出使用时态逻辑来公式化频繁操作并发程序的行为。时态逻辑，在 1957 年由 A. N. Prior 发明，与模态逻辑有密切的关联，因为增加了模态算子 [F] 和 [P]，分别意味着今后和至今，导致了时态逻辑的一个系统。模态逻辑的风味包括: 命题动态逻辑(PDL)，命题线性时态逻辑(PLTL)，线性时态逻辑(LTL)，计算树逻辑(CTL)， Hennessy-Milner 逻辑，S1-S5 和 T。

引用

- M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.
- James Garson (2003) [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal Modal logic]. Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Rod Girlie (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
- Robert Goldblatt (1992) "Logics of Time and Computation", CSLI Lecture Notes No. 7, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).
- Robert Goldblatt (1993) "Mathematics of Modality", CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of Chicago Press).
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.
- E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.
- J. Jay Zeeman (1973) [http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/modallogic/ Modal Logic]. D. Reidel Publishing Company.

参见

- De dicto and de re
- 混合逻辑
- 内部代数
- 可解释性逻辑
- 可证明性逻辑
- Kripke语义

外部链接

- [http://www-formal.stanford.edu/jmc/mcchay69/node22.html A discussion of modal logic] by John McCarthy
- [http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/nonstbib.htm Bibliography of Non-Standard Logics] by Peter Suber
- [http://www.cc.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html List of Logic Systems] List of most of the more popular modal logics.
- [http://aiml.net/ Advances in Modal Logic] (bi-annual international conference and book series in Modal Logic)
- [http://www.cass.net.cn/chinese/s14_zxs/facu/liuxinwen/02.htm 模态逻辑]，[新西兰] M·J·克雷斯韦尔，《哲学逻辑指南》，第7章，中国人民大学出版社，2005年

致谢

本文包含最初来自Free On-line Dictionary of Computing的一些材料，经过授权在 GFDL 下。 Category:逻辑 ja:様相論理学

中间逻辑

中间逻辑是在直觉逻辑和经典逻辑之间的中介，这是在它们包含在直觉逻辑中不可证明的定理，而不导致完整的经典逻辑的意义上的。这种逻辑也叫做超直觉或次经典逻辑。有一些不同的中间逻辑，通常是向直觉逻辑增加一个或多个公理而获得的。这种公理的例子有:
- 弱排中律: ¬¬ P ∨ ¬ P。
- (P → Q) ∨ (Q → P)，给出哥德尔-Dummett 逻辑，也叫做 LC。
- (¬ P → (Q ∨ R)) → (( ¬ P → Q) ∨ ( ¬ P → R))。这个列表是不完整的。研究中间逻辑的工具类似于直觉逻辑所使用的，比如Kripke语义。

引用

- Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959. Category:数理逻辑

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B. S. Johnson (Bryan Stanley Johnson) (5 February,1933 - 13 November,1973) was an English experimental novelist, poet, literary critic and film-maker. Johnson was born into a working class family, was evacuated from London during World War II and left school at sixteen