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模态逻辑

模态逻辑

模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如可能、或许、可以、一定、必然等限定的句子的逻辑分支。使用模态算子如可能或必然的任何逻辑系统因此就叫做模态逻辑。模态逻辑可以用语义的内涵性来描述其特征: 非模态逻辑都有复杂句子的真值由子句子的真值决定的特征。所以它们是外延性的。相反在模态逻辑中，这不成立: "George W. Bush 是美国总统" 和 "2 + 2 = 4" 是真的，但是 "George W. Bush 必然是美国总统" 是假的，而"2 + 2 = 4 是必然的" 是真的。形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。模态算子的基本集合通常被指定为

\Box

和

\Diamond

。在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中

\Box

表示必然性，而

\Diamond

表示可能性。句子被认定为
- 可能的如果它可能为真(不管实际上是真是假);
- 必然的如果它不可能为假;
- 偶然的如果它不是必然为真，就是说，可能为真可能为假。偶然的真理是实际上为真，但可能曾经不是的真理。

形而上学和其他模态

真势和认识

模态逻辑最经常用来谈论所谓的真势模态: "...是必然的" 或者 "....是可能的" ，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语 episteme, 知识): "...确实是真的" 和 "...(对给定的可获得的信息)或许是真的"。在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助: 一个人 Jones 可以合理的同时说出: (1) "我确信 Bigfoot 不可能存在"，还有(2) "Bigfoot 存在的确是可能的"。Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，Bigfoot 存在与否是没有疑问的。这是一个认识上的断言。通过(2)表达的意思是这个事物可能曾是其它样子的。他的意思不是 "就我所知而言，Bigfoot 可能存在" 。(所以这不矛盾于(1))。而是，他做了一个形而上学上的断定，即使他不知道，Bigfoot 存在仍是可能的。在其他方面，Jones 可以说 (3) "哥德巴赫猜想可能为真，并也可能为假，还有(4) 如果它是真的，则它必然是真的，而不可能是假的。" 这里 Jones 的意思是，就他所知而言，它为真为假都是在认识上可能的(哥德巴赫猜想仍未被证明是真还是假)。但是如果有这么一个证明(至今仍未发现)，则哥德巴赫猜想为假在逻辑上是不可能的 -- 不会有一组数违背它。逻辑上的可能性是一种真势(alethic)可能性；(4)做了对这个数学论断已经为假是否可能的一个断言，而(3)只做了对就 Jones 所知而言这个论断被证实为假是否可能的一个断言，所以 Jones 还是不自相矛盾。认识上的可能性还以一种非形而上学的方式关注真实世界。形而上学的可能性以可能曾是的方式关注世界，而认识上的可能性以(就我所知而言)可能正是的方式关注世界。比如，我想知道在离开前是否要带把伞。如果你告诉我 "外面可能在下雨" -- 在一种认识上可能的意义上--那么这会影响我是否带伞的决定。但是如果你告诉我 "外面下雨是可能的" -- 在一种形而上学上可能的意义上--那么我从这种大道理中没有得到任何启示。大量的哲学文献关心真势而非认识模态。(实际上，其中大多数关心一种最广泛的真势模态，就是逻辑可能性)。这不是说真势可能性比我们日常用的认识可能性更重要(考虑上面决定是否带伞的例子)。只是说在哲学研究中的优先权不是日常生活中的重要性带来的。

道义和时态

言语中有一些类似的模式，尽管不大可能与真势模态混淆但仍密切的相关。其一是有关时间的谈论。明天可能会下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果实际上已经下了，则说"昨天可能没有下雨"就不是完全正确的。过去好像"固定的"或必然的，而将来在某种程度上不是。很多哲学家和逻辑学家认为这种推理不是很好；但是我们经常以这种方式谈话，所以最好有一种逻辑能捕获它的结构。类似的有关道德的谈论，或者说义务和规范一般好像也有模态结构。在 "你必须这么做" 和 "你可以这么做" 之间的区别看起来很像在"这是必然的和这是可能的"之间的区别。这种逻辑叫做道义逻辑，道义来自希腊语 "duty"。值得注意的是，模态逻辑可以开发出实现多数这种方言；它们有公共逻辑机构的事实(使用"内涵"或非真值泛函的句子算子)使它们都是同一个东西的变体。认识逻辑被证实捕获于系统"S4"；道义逻辑捕获于系统"D"，时态逻辑捕获于"t"(小写的)，而真势逻辑被证实为"S5"

模态逻辑的释义

在模态逻辑的最常见解释中，你要考虑"所有逻辑上可能的世界"。如果一个陈述在所有可能的世界中是真的，则它是必然的真理。如果一个陈述碰巧在我们的世界中是真的，但不是在所有可能的世界中是真的，则它是偶然的真理。在某些(不是必须在我们自己的)可能的世界中是真的陈述叫做可能的真理。这种"可能的世界"是否是解释模态逻辑的最佳方式，怎样在文字上接受这种方言，是形而上学的鲜活的问题。例如，可能的世界的方言可以把关于 Bigfoot 的断言翻译为"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在"。要主张 Bigfoot 的存在性是可能的，但不是现实的，你可以说"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在；但是在现实世界中，Bigfoot 不存在"。但是对使模态断言对我们负责的那个东西是什么仍是不清楚的。我们真的要宣称可能的世界的存在性吗？它在每一点都同我们的现实世界一样真实，却惟独不是现实的。David Lewis 强硬的说就是这样，可能的世界同我们自己的世界一样真实。这种立场叫做"模态现实主义"。不足为奇的，多数哲学家不愿意接受这种特别的学说，在搜寻一种可替代的方式来释义我们的模态断言所蕴含的本体论承诺。

形式化规则

有很多有不同性质的模态逻辑。在其中很多必然性和可能性的概念满足下列 de Morgan 定律的联系: :"X 是非必然的" 等价于 "非 X 是可能的"。 :"X 是非可能的" 等价于 "非 X 是必然的"。尽管模态逻辑教科书比如 Hughes 和 Cresswell 的 "A New Introduction to Modal Logic" 覆盖了这个定律不成立的一些系统。模态逻辑向命题逻辑的合式公式增加上必然性和偶然性。在一些记号中 "必然的 p" 使用"方块"(

\Box p

)表示，而"可能的 p" 使用"菱形"(

\Diamond p

)表示。无论是什么样的记号，两个算子是以相互定义的方式定义的:
-

\Box p

(必然的 p) 等价于

\neg \Diamond \neg p

(非可能的非-p)
-

\Diamond p

(可能的 p) 等价于

\neg \Box \neg p

(非必然的非-p) 因此，

\Box

和

\Diamond

叫做对偶算子。要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于 Saul Kripke 的 K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则:
- 必然性规则: 如果 p 是 K 的定理，则

\Box p

也是。
- 分配律公理: 如果

\Box (p \rightarrow q)

则

(\Box p \rightarrow \Box q)

(这也叫做公理 K) 这些规则缺乏从 p 的必然性到 p 的实际情况的公理，所以通常要补充上下列"自反性"公理，这就生成经常叫做 T 的一个系统。
-

\Box p \rightarrow p

(如果 p 是必然的，则 p 是事实) 这是多数但不是全部模态逻辑系统的规则。Jay Zeman 的书 "Modal Logic" 覆盖了没有这个规则的系统如 S1^0。但 K 是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果

\Box p

是真的则

\Box \Box p

是真的不是 K 的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是 K 的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。今天最常见的系统是模态逻辑 S5，它通过增加使所有模态真理是必然的公理来粗壮的解答了这个问题: 例如，如果 p 是可能的，则 p 必然是可能的，如果 p 是必然的，则它必然是必然的。很多人认为它正当的根据是，它是在我们需要每个可能的世界相对于每个其他世界都是可能的时候所获得的系统。不过，模态逻辑的其他系统已经被公式化了，部分的因为 S5 不能很好的适合我们感兴趣的所有种类的形而上学模态。(若此则意味着可能的世界的谈论不能很好的适合这些种类的模态)。

模态逻辑的发展

尽管亚里士多德的逻辑几乎全部都关注直言三段论的理论，他的著作还包含在模态逻辑要点上的一些延伸讨论(比如他著名的在解释篇 § 9 中海战悖论)，并且它们与潜在性和时间有关连。遵从他的著作，经院学者为模态逻辑的严格理论开发出了根基，大多在关于本质和偶然的陈述的逻辑的注释的上下文中。在中世纪的作家中，在 William of Ockham 和 John Duns Scotus 的著作中找到了关于模态逻辑的一些最重要的工作。形式模态逻辑的缔造者是 C. I. Lewis，他在专著 A Survey of Symbolic Logic (1918) 中介入了一个系统(后来叫做 S3)，并(同 C. H. Langford 一起)在书 Symbolic Logic (1932)中介入了系统 S1-S5。J. C. C. McKinsey 在 1941 年使用代数方法(带有算子的布尔代数)来证明 Lewis 的 S2 和 S4 的可判定性。Saul Kripke 从 1959 年开始为模态逻辑设计了关系语义或可能的世界语义。Vaughan Pratt 在 1976 年介入了动态逻辑。Amir Pnueli 在 1977 年提出使用时态逻辑来公式化频繁操作并发程序的行为。时态逻辑，在 1957 年由 A. N. Prior 发明，与模态逻辑有密切的关联，因为增加了模态算子 [F] 和 [P]，分别意味着今后和至今，导致了时态逻辑的一个系统。模态逻辑的风味包括: 命题动态逻辑(PDL)，命题线性时态逻辑(PLTL)，线性时态逻辑(LTL)，计算树逻辑(CTL)， Hennessy-Milner 逻辑，S1-S5 和 T。

引用

- M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.
- James Garson (2003) [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal Modal logic]. Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Rod Girlie (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
- Robert Goldblatt (1992) "Logics of Time and Computation", CSLI Lecture Notes No. 7, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).
- Robert Goldblatt (1993) "Mathematics of Modality", CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of Chicago Press).
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.
- E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.
- J. Jay Zeeman (1973) [http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/modallogic/ Modal Logic]. D. Reidel Publishing Company.

参见

- De dicto and de re
- 混合逻辑
- 内部代数
- 可解释性逻辑
- 可证明性逻辑
- Kripke语义

外部链接

- [http://www-formal.stanford.edu/jmc/mcchay69/node22.html A discussion of modal logic] by John McCarthy
- [http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/nonstbib.htm Bibliography of Non-Standard Logics] by Peter Suber
- [http://www.cc.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html List of Logic Systems] List of most of the more popular modal logics.
- [http://aiml.net/ Advances in Modal Logic] (bi-annual international conference and book series in Modal Logic)
- [http://www.cass.net.cn/chinese/s14_zxs/facu/liuxinwen/02.htm 模态逻辑]，[新西兰] M·J·克雷斯韦尔，《哲学逻辑指南》，第7章，中国人民大学出版社，2005年

致谢

本文包含最初来自Free On-line Dictionary of Computing的一些材料，经过授权在 GFDL 下。 Category:逻辑 ja:様相論理学

逻辑

逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。

詞源

逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。

分支

- 经典逻辑
- 传统逻辑(项逻辑)
- 布尔逻辑
- 命题逻辑
- 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
- 二阶逻辑
- 相继式演算
- 可计算性逻辑
- 多值逻辑
- 三值逻辑
- 模糊逻辑
- 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
- 中间逻辑
- 非单调逻辑
- 缺省逻辑
- 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
- 线性逻辑
- 相干逻辑
- 模态逻辑
- 真势模态逻辑
- 认识逻辑
- 道义逻辑
- 时态逻辑
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
- 次协调逻辑(弗协调逻辑)
- 雙面真理逻辑
- 相干逻辑
- 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
- 演绎推理(三段论)
- 直言推理
- 假言推理
- 选言推理
- 归纳推理
- 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
- 工具论(古希腊)亚里士多德
- 正理经(古印度)足目·乔答摩
- 墨经(古中国)墨子
- 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
- 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
- 数学基础
- 量子逻辑
- 分析哲学
- 计算机逻辑
- 法律逻辑学 Category:邏輯 ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

连结词

在逻辑运算中，逻辑运算符或逻辑连接符把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或符合命题。基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双重条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。注意，符号“与”（∧）和交集(∩)，“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这是不一致的：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。这些连接符的真值表:

P	Q	¬P	P ∧ Q	P ∨ Q	P → Q	P ↔ Q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

为了减少需要的括号的数量，由以下的优先规则：¬ 高于 ∧ ，∧ 高于 ∨ ，∨ 高于 → 。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S 是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S 的简便写法。 Category:布尔代数 ja:論理演算 th:ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想，是数论里的一个未解之谜。公元1742年 6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想：“任何不小于

4

的整数都可以表示成两个或两个以上的素数之和”(与现今表达有出入，原因是哥德巴赫认为1也是素数，参见[http://www.zahlenjagd.at/goldbach.html 书信复印件]的图示)。现今的表达方式有 # 任何一个大于

2

的偶数，都可以表示成两个素数之和。(A) (例:

4=2+2

) # 任何一个不小于

9

的奇数，都可以表示成三个奇素数之和。(B) (例:

9=3+3+3

) # 任何一个大于

5

的奇数(偶数亦可)，都可以表示成三个素数之和。(C) (例:

7=2+2+3

；

6=2+2+2

) 其中，猜想A是欧拉在回信中使用的表达，被称为二重哥德巴赫猜想或强猜想，猜想B与猜想C被称为三重歌德巴赫猜想或弱猜想。通过初等的代数变换，可以知道A是B与C的充分条件，即若A正确即可推出B以及C正确。关于该猜想最初的突破来自俄国的维诺格啦多夫，他用圆法和指数和估计无条件地证明了猜想B是正确的。他证明了每一个充分大的奇数都可以表示成三个奇素数的和。这里，充分大的下限可表示为大约10的400次方。于是关于猜想B的证明便归结为验证小于该数的每一个奇数。 1966年，陈景润证明了“

1+2

”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”。

试图证明

就像许多著名的数学未解问题，对哥德巴赫猜想有不少宣称的证明，但都未为数学界所接受。因为哥德巴赫猜想容易为行外人理解，这一直是伪数学家一个很普遍的目标。他们试图证明它，或有时试图反证它，使用的仅是高中数学。它和四色定理和费马最后定理遭遇相同，后两问题都易於叙述，但其证明则非一般地繁复。像哥德巴赫猜想这类问题，不能排除以简单方法解决的可能，但以专业数学家对这类问题所花费的大量精力，第一个证明并不可能容易得出。 Category:猜想 ja:ゴールドバッハの予想 ko:골트바흐의 추측 th:ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาช

命题逻辑

在数理逻辑中命题演算或句子演算是一个形式演绎系统，其原子公式是命题变量。(相对于谓词逻辑，它是量化的并且它的原子公式是谓词函数；和模态逻辑，它可以是非真值泛函的。) 演算是用来证明有效的公式(就是说它的定理)和论证(argument)的逻辑系统。它是公理的集合(它可以为空或是可数无限集合)或公理模式(schemata)，和推导有效的推理的推导规则。形式文法(或语法)递归定义语言的表达式和合式(well-formed)公式(wff)。此外给出定义真值(truth)和求值(valuation)(或释义(interpretation))的语义。它允许我们确定哪个 wff 是有效的(也就是定理)。在命题演算中语言由命题变量(或者叫占位符(placeholder))和句子算子(或者叫连结词)。wff 是任何原子公式或在句子操作符之上建造的公式。在下文中我们描述一种标准命题演算。很多不同的公式系统存在，它们都或多或少等价但在下列方面不同：(1)它们的语言(就是说哪些操作符和变量是语言的一部分); (2) 它们有哪些(如果有的话)公理; (3)采用了哪些推理规则。

文法

语言的构成: # 字母表的大写字母，表示命题变量。它们是原子公式。惯例上，使用拉丁字母(A, B, C)或希腊字母(χ, φ, ψ)，但是不能混合使用。 # 表示连结词(connective)(或逻辑算子)的符号: ¬、∧、∨、→、↔。(我们可以使用更少的算子(和相应的符号)，因为一些算子是简写形式 — 例如，P → Q 等价于 ¬ P ∨ Q)。 # 左右圆括号: (，)。合式公式(wff)的集合右如下规则递归的定义: # 基础: 字母表的字母(通常是大写的，如A、B、φ、χ 等)是 wff。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II 如果 φ 和 ψ 是 wff，则 (φ ∧ ψ)、(φ ∨ ψ)、(φ → ψ) 和 (φ ↔ ψ) 是 wff。 # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。重复的应用这三个公式允许生成复杂的 wff。例如: # 通过规则 1，A 是 wff。 # 通过规则 2，¬ A 是 wff。 # 通过规则 1，B 是 wff。 # 通过规则 3，( ¬ A ∨ B ) 是 wff。

演算

为了简单化，我们使用自然演绎系统，它没有公理；或者等价的说，它有空的公理集合。使用我们的演算的推导将用编号后的行的列表，在每行之上有一个单一的 wff 和一个断定(justification)的形式展示出来。任何前提(premise)都在定部，并带有 "p" 作为它们的断定。结论将在最后一行。推导将被看作完备的，条件是所有行都是通过正确的应用一个规则而从前面的行得出的。 (作为一种对比的方式，参见证明树)。

公理

我们的公理集合是空集。

推理规则

我们的命题演算有十个推理(inference)规则。这些规则允许我们从给定的一组假定为真的公式中推导出其他为真的公式。前八个简单的陈述我们可以从其他 wff 推论出(infer)特定的 wff。但是最后两个规则使用了假言(hypothetical)推理，这意味着在规则的前提中我们可以临时的假定一个(未证明的)假设(hypothesis)作为推导出的公式集合的一部分，来查看我们是否能推导出一个特定的其他公式。因为前八个规则不是这样而通常被描述为非假言规则，而最后两个就叫做假言规则。 ; 双重否定除去: 从 wff ¬ ¬ φ，我们可以推出 φ。 ; 合取介入: 从任何 wff φ 和任何 wff ψ，我们可以推出 ( φ ∧ ψ )。 ; 合取除去: 从任何 wff ( φ ∧ ψ )，我们可以推出 φ 和 ψ。 ; 析取介入: 从任何 wff φ，我们可以推出 (φ ∨ ψ) 和 (ψ ∨ φ)，这里的 ψ 是任何 wff。 ; 析取除去: 从 ( φ ∨ ψ )、( φ → χ ) 和 ( ψ → χ ) 形式的wff，我们可以推出 χ。 ; 双条件介入: 从 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 形式的 wff，我们可以推出 ( φ ↔ ψ )。 ; 双条件除去: 从 wff ( φ ↔ ψ )，我们可以推出 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ )。 ; 肯定前件: 从 φ 和 ( φ → ψ ) 形式的 wff，我们可以推出 ψ。 ; 条件证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ，我们可以推出 ( φ → ψ )。 ; 反证证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ 和 ¬ ψ，我们可以推出 ¬ φ。

证明的例子

下面是(语法上的)证明的一个例子:
要证明:

A \rightarrow A

证明:
解释

A \vdash A

为 "假定 A，推导出 A"。读

\vdash A \rightarrow A

为 "不假定任何东西，推导出 A 蕴涵 A" ，或者 "A 蕴涵 A 是重言式" ，或者 "A 蕴涵 A 是永真的"。

规则的可靠性和完备性

这组规则的关键特性是它们是可靠的和完备的。非形式的，这意味着规则是正确的并且不再需要其他规则。这些要求可以如下这样正式的提出。我们定义真值指派为把命题变量映射到真或假的函数。非形式的，这种真值指派可以被理解为对事件的可能状态(或可能性世界)的描述，在这里特定的陈述是真而其他为假。公式的语义因而可以被形式化，通过对它们把那些"事件状态"认定为真的定义。我们通过如下规则定义这种真值 A 在什么时候满足特定 wff:
- A 满足命题变量 P 当且仅当 A(P) = 真
- A 满足 ¬ φ 当且仅当 A 不满足 φ
- A 满足 (φ ∧ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者
- A 满足 (φ ∨ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 和 ψ 中至少一个
- A 满足 (φ → ψ) 当且仅当没有 A 满足 φ 但不满足 ψ 的事例
- A 满足 (φ ↔ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者，或则不满足它们中的任何一个通过这个定义，我们现在可以形式化公式 φ 被特定公式集合 S 蕴涵的意义。非形式的，就是在使给定公式集合 S 成立的所有可能情况下公式 φ 也成立。这导引出了下面的形式化定义: 我们说 wff 的集合 S 语义蕴涵(蕴涵：entail 或 imply)特定的 wff φ，条件是满足在 S 中的公式的所有真值指派也满足 φ。最后我们定义语法蕴涵，φ 被 S 语法蕴涵，当且仅当我们可以在有限步骤内使用我们提出的上述推理规则推导出它。这允许我们精确的公式化推理规则的可靠性和完备性的意义: ; 可靠性 : 如果 wff 集合 S 语法蕴涵 wff φ，则 S 语义蕴涵 φ ; 完备性 : 如果 wff 集合 S 语义蕴涵 wff φ，则 S 语法蕴涵 φ 对上述规则集合这些都成立。
可靠性证明的梗概
(对于多数逻辑系统，这是相当"简单的"证明方向) 符号约定: 设 "G" 是涉及语句集合的变量。设 "A"、"B" 和 "C" 是涉及句子的变量。我们把 "G 语法蕴涵 A" 写成 "G 证明 A"。我们把 "G 语义蕴涵 A" 写成 "G 蕴涵 A"。我们要展示: (A)(G)(如果 G 证明 A，则 G 蕴涵 A) 我们注意到 "G 证明 A" 有一个归纳定义，这给予我们直接的办法来证实(demonstrate)"如果 G 证明 A，则 . . ."形式的断言。所以我们的证明是用归纳法进行的。
- I. 基础。展示: 如果 A 是 G 的成员则 G 蕴涵 A
- [II. 基础。展示: 如果 A 是公理，则 G 蕴涵 A
- III. 归纳步骤: (a) 假定对于任意的 G 和 A，如果 G 证明 A 则 G 蕴涵 A。(如果需要的话，对 B、C 等做同样的假定) ::(b) 对于针对 A 的推论的规则的，导出一个新的句子 B 的每个可能的应用，展示 G 蕴涵 B。 (N.B. 对于上述演算基础步骤 II 可以省略，它是自然演绎系统而没有公理。基本上，它涉及展示每个公理都是(语义上)逻辑真理。) 基础步骤证实了对于任何 G 来自 G 的最简单的可证明的语句都被 G 所蕴涵。(这是简单的，因为集合蕴涵它的任何一个成员是语义事实，这是平凡的(trivial))。归纳步骤将有系统的覆盖所有的进一步的可证明的句子--通过考虑我们能够使用推理规则达成逻辑结论的每种情况--并展示如果一个新句子是可证明的，它也是在逻辑上被蕴涵的。(例如，我们可能有一个告诉我们从 "A" 可以推导出 "A 或 B"。在 III.(a) 中我们假定如果 A 是可证明的则是被蕴涵的。我们也知道如果 A 是可证明的，则 "A 或 B" 是可证明的。我们必须展示接着 "A 或 B" 也是被蕴涵的。我们求助于语义定义和我们所做的假定来完成。我们假定了 A 从 G 是可证明出来的。所以它也被 G 所蕴涵。所以使 G 全部为真的任何语义求值也使 A 为真。此外通过"或"的语义定义，使 A 为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以使 G 的全部为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以 "A 或 B"被蕴涵了。)一般的，归纳步骤将由有一定长度的，却是推论的所有规则的简单的逐个例的分析组成的，它展示每个"保持的"语义蕴涵。通过可证明性的定义，除了 G 的成员、公理、或从规则得出的句子之外没有是可证明的；所以如果所有这些都是语义上被蕴涵的，则演绎演算是可靠的。
完备性证明的梗概
(这通常是非常困难的证明方向。) 我们接受同上面一样的符号约定。我们要展示: 如果 G 蕴涵 A，则 G 证明 A。我们通过反证法来进行: 我们转而展示如果 G 不证明 A，则 G 不蕴涵 A。
- I. G 不证明 A。(假定)
- II. 如果 G 不证明 A，则我们可以构造一个(有限的)"最大化的集合" G
- ，它是 G 的超集并且不证明 A。
- (a)在这个语言的所有句子上加置一个"次序"。(比如，字母表次序)，并把它们编号为 E1, E2, . . .
- (b)归纳的定义集合(G0, G1 . . . )的一个序列(series) Gn 为如下 (i)G0=G。 (ii) 如果证明 A，则 G(k+1)=Gk。 (iii) 如果不证明 A，则 G(k+1)=
- (c)定义 G
- 为所有 Gn 的并集。(就是说，G
- 在任何 Gn 中的所有句子的集合)。
- (d) 可以容易的展示 (i) G
- 包含(是其超集) G (通过 (b.i))；(ii) G
- 不证明 A (因为如果它证明 A 则某些句子被增加到某个 Gn 上而导致它证明了 A; 但是这被定义所排除)；和 (iii) G
- 是(关于 A) "最大化的集合": 如果任何更多的句子不管怎样的被增加到 G
- ，它就会证明 A。(因为如果有可能增加任何更多的句子，再次根据定义，在构造 Gn 期间被遇到的时候它们就应当已经被增加进去了。)
- III. 如果 G
- 是(关于 A)的最大化集合，则它是"类真理的"。这意味着它包含句子 "A"，只在它不包含非-A 的句子的条件下; 如果它包含 "A" 并且包含 "如果 A 则 B"，则它也包含 "B"；以此类推。
- IV. 如果 G
- 是类真理的，则有这个语言的 "G
- -规范"求值: 它使在 G
- 中每个句子为真而在 G
- 之外的所有句子为假，而仍然遵守在这个语言的语义合成(composition)的法则。
- V. G
- -规范求值将使我们最初的集合 G 全部为真，而使 A 为假。
- VI. 如果有在其上 G 是真而 A 是假的求值，则 G 不(语义上)蕴涵 A。 Q.E.D.
可供选择的演算
有可能定义其他版本的命题演算，它通过公理的方式定义了多数逻辑算子的语法，并且它只使用一个推理规则。
公理
设 φ、χ 和 ψ 表示合式公式。(wff 自身将不包含任何希腊字母，而只包含大写罗马字母、连结算子和圆括号)。公理有
- THEN-1: φ → (χ → φ)
- THEN-2: (φ → (χ → ψ)) → ((φ → χ) → (φ → ψ))
- AND-1: φ ∧ χ → φ
- AND-2: φ ∧ χ → χ
- AND-3: φ → (χ → (φ ∧ χ))
- OR-1: φ → φ ∨ χ
- OR-2: χ → φ ∨ χ
- OR-3: (φ → ψ) → ((χ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ))
- NOT-1: (φ → χ) → ((φ → ¬ χ) → ¬ φ)
- NOT-2: φ → (¬ φ → χ)
- NOT-3: φ ∨ ¬ φ 公理 THEN-2 可以被看作是"关于蕴涵的蕴涵的分配特性"。公理 AND-1 和 AND-2 对应于"合取除去"。在 AND-1 和 AND-2 之间的关系反映了合取算子的交换性。公理 AND-3 对应于"合取介入"。公理 OR-1 和 OR-2 对应于"析取介入"。在 OR-1 和 OR-2 之间的关系反映了析取算子的交换性。公理 NOT-1 对应于"反证法"。公理 NOT-2 说明了"从矛盾中可以推导出任何东西"。公理 NOT-3 叫做"排中律" (拉丁语 tertium non datur: "排除第三者")并反映了命题公式的语义求值: 公式可以有的真值要么是真要么是假。至少在经典逻辑中，没有第三个真值。直觉逻辑不接受公理 NOT-3。
推理规则
推理规则是肯定前件:
- $\phi, \ \phi \rightarrow \chi \vdash \chi$ . 如果还使用双箭头的等价算子的话，则要增加如下"自然"推理规则:
- IFF-1: $\phi \leftrightarrow \chi \vdash \chi \rightarrow \phi$
- IFF-2: $\phi \rightarrow \chi, \ \chi \rightarrow \phi \vdash \phi \leftrightarrow \chi$
元推理规则
设示范被表示为相继式，假设在十字转门(turnstile)的左侧而结论在十字转门的右侧。则演绎定理可以被陈述如下: : 如果相继式 :: $\phi_1, \ \phi_2, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi$ : 已经被证实了，则也有可能证实相继式 :: $\phi_1, \ \phi_2, \ ..., \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi$ 。这个演绎定理(DT)自身没有公式化为命题演算: 它不命题演算的定理，而是关于命题演算的一个定理。在这个意义上，它是元定理，相当于关于命题演算可靠性和完备性的定理。在另一方面，DT 对与简化语法上的证明过程是如此的有用以至于它看作和用做推理规则，同肯定前件一起使用。在这个意义上，DT 对应于自然条件证明推理规则，它是在本文中提出的第一个版本的命题演算的一部分。 DT 的逆定理也是有效的: : 如果相继式 :: $\phi_1, \ \phi_2, \ ..., \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi$ : 已经被证实了，则也有可能正式相继式 :: $\phi_1, \ \phi_2, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi$ 实际上，DT 的逆定理的有效性相对于 DT 而言是平凡的: : 如果 :: $\phi_1, \ ... , \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi$ : 则 :: 1: $\phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \chi \rightarrow \psi$ :: 2: $\phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \chi$ : 并且可以演绎自 (1) 和 (2) :: 3: $\phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi$ : 通过肯定前件的方式，Q.E.D. DT 的拟命题有着强有力的蕴涵: 它可以用来把公理转换成推理规则。例如，公理 AND-1, : $\vdash \phi \wedge \chi \rightarrow \phi$ 可以通过演绎定理的逆定理的方式被转换成推理规则 : $\phi \wedge \chi \vdash \phi$ 这是合取除去，是(在本文中)第一个版本的命题演算中使用的十个推理规则中的一个。
证明的例子
下面是(语法上)证明的一个例子，只涉及到公理 THEN-1 和 THEN-2:
要证明: A → A (蕴涵的自反性)。
证明: :1. (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) ::公理 THEN-2 通过 φ = A, χ = A → A, ψ = A :2. A → ((A → A) → A) ::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A → A :3. (A → (A → A)) → (A → A) ::得自 (1) 和 (2) 通过肯定前件。 :4. A → (A → A) ::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A :5. A → A ::得自 (3) 和 (4) 通过肯定前件。
其他逻辑演算
命题演算大概是在所有当前使用的逻辑演算中最简单的一种。(亚里士多德的"三段论"演算，在现代逻辑中在很大程度上被替代了，它与命题逻辑相比在某些方面更简单--但在其他方面更加复杂)。它可以按很多方式来扩展。最直接的方式是开发一个更加复杂的逻辑演算，介入对所用于的句子的更精细的细节敏感的规则。在命题逻辑中的"原子句子"被分解成项、变量、谓词和量词的时候，它们就生成了一阶逻辑，或者叫做一阶谓词逻辑，它保持命题逻辑的所有规则并增加了一些新规则。(例如，从"所有的狗都是动物"我们可以推出"如果 Rover 是狗，则 Rover 是动物")。通过一阶逻辑的工具，有可能公式化一些理论，要么带有显式的公理要么通过推理规则，而把它们自身当作逻辑演算。算术是其中最周知的理论；其他的还包括集合论和 mereology。模态逻辑也提供了一种推理的变体，它不能在命题演算中捕获。例如，从"必然性的 p" 我们可以推出 p。从 p 我们可以推出 "可能性的 p"。多值逻辑是允许句子有除了真和假之外的值的逻辑。(例如，都不和都是是标准的"额外值"；"连续统逻辑"允许每个句子有任何的在真和假之间的表示"真实程度"的有限的数值)。这些逻辑经常要求与命题逻辑非常不同的运算设备。
参见

- 布尔代数主题列表
- 哥德尔、埃舍尔、巴赫
- 布尔逻辑
- 弗雷格的命题演算
外部链接

- [http://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm Article on Propositional logic] at the Internet Encyclopedia of Philosophy
- [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml2.htm Introduction to Mathematical Logic] Category:离散数学 Category:数理逻辑 th:แคลคูลัสเชิงประพจน์

亚里士多德

亚里士多德（希腊語：Αριστοτέλης 约前384年—前322年）是古希腊著名的哲学家、科学家和教育家。他是柏拉图的学生，亚历山大大帝的老师。他总结了泰勒斯以来古希腊哲学发展的结果，首次将哲学和其他科学区别开来，开创了逻辑学、伦理学、政治学和生物学等学科的独立研究。他的学术思想对西方文化、科学的发展产生了巨大的影响。亚里士多德把科学分为：（1）理论的科学(数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；（2）实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；（3）创造的科学，即诗学。

简介

当我们谈到古希腊哲学时，有三个连贯的人物我们不得不提到：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德。他们三人一起创立了今天的西方哲学思想。尽管亚里士多德是柏拉图的学生，他的观点与柏拉图有很多不同之处。柏拉图是一名理想主义者和理性主义者，柏拉图相信我们的物质世界其实是一个不完美的世界，在它的背后有一个完美的“理念的世界”。而亚里士多德则认为，我们对世界的认识是从我们的感官而来的。因此，其实亚里士多德的哲学开创了之后的科学方法。亚里士多德的著作到今天依然存在，它们大多是教科书式的文献，很多甚至是亚里士多德学生的笔记。在中世纪的早期，由于新柏拉图主义的盛行，亚里士多德的著作没有被翻译。但到了12世纪，亚里士多德主义开始兴起，他的著作也被翻译成了各种欧洲文字，形成了中世纪后期的经院哲学。这种哲学后来成为了早期近代哲学家例如伽利略和笛卡尔所批驳的对象。

生平

亚里士多德公元前３８４年出生于色雷斯的斯塔基拉，父亲是马其顿王的御医。公元前366年亚里士多德被送到雅典的柏拉图学园学习，此后20年间亚里士多德一直住在学园，直至老师柏拉图去世。柏拉图去世后，由于学园的新首脑比较同情柏拉图哲学中的数学倾向，令亚里士多德无法忍受，便离开雅典。但是从亚里士多德的著作中可以看到，虽然亚里士多德不同意波西普斯等学园新首脑的观点，但依然与他们保持良好的关系。离开学园后，亚里士多德先是接受了先前的学友赫米阿斯的邀请访问小亚细亚。赫米阿斯当时是小亚细亚沿岸的密细亚的统治者。亚里士多德在那里还娶了赫米阿斯的侄女为妻。但是在公元前344年，赫米阿斯在一次暴动中被谋杀，亚里士多德不得不离开小亚细亚，和家人一起到了米提利尼。3年后，亚里士多德又被马其顿的国王腓力浦二世召唤会故乡，成为当时年仅13岁的亚历山大大帝的老师。根据古希腊著名传记作家普鲁塔克的记载，亚里士多德对这位未来的世界领袖灌输了道德、政治以及哲学的教育。我们也有理由相信，亚里士多德也运用了自己的影响力，对亚历山大大帝的思想形成起了重要的作用。正是亚里士多德的在影响下，亚历山大大帝始终对科学事业十分关心，对知识十分尊重。但是，亚里士多德和亚历山大大帝的政治观点或许并不是完全相同的。前者的政治观是建筑在即将衰亡的希腊城邦的基础上的，而亚历山大大帝后来建立的中央集权帝国对希腊人来说无异是野蛮人的发明。公元前335年腓力浦去世，亚里士多德又回到雅典，并在那里建立了自己的学校。学园的名字（Lyceum）以阿波罗神殿附近的杀狼者（吕刻俄斯）来命名。在此期间，亚里士多德边讲课，边撰写了多部哲学著作。亚里士多德讲课时有一个习惯，即边讲课，边漫步于走廊和花园，正是因为如此，学园的哲学被称为“逍遥的哲学”或者“漫步的哲学”。亚里士多德的著作在这一期间也有很多，主要是关于自然和物理方面的自然科学和哲学，而使用的语言也要比柏拉图的《对话录》晦涩许多。他的作品很多都是以讲课的笔记为基础，有些甚至是他学生的课堂笔记。因此有人将亚里士多德看作是西方第一个教科书的作者。亚历山大死后，雅典人开始奋起反对马其顿的统治。由于和亚历山大的关系，亚里士多德不得不因为被指控不敬神而逃亡加而西斯避难。他的学园则交给了狄奥弗拉斯图掌管。一年之后，公元前322年，亚里士多德去世，去世的原因是一种多年积累的疾病所造成的。关于他被毒死，或者由于无法解释潮汐现象而跳海自杀的传言是完全没有史实根据的。

哲学观

虽然亚里士多德是柏拉图的学生，但他却是第一个公开批评柏拉图的人。他特别反对的是柏拉图哲学中有关数学的部分。有人认为虽然亚里士多德熟知当时的数学，他却从来没有理解柏拉图的数学。除此之外，亚里士多德对柏拉图的相论也有批评。虽然他同意一个事物的“形式”是恒古不变的，但他认为这个“形式”本身并不存在，而是人们在感受到实物后形成的概念。因此他认为，“形式”其实就是事物本身的特征。他指出，我们所拥有的任何一种想法、观念都是透过我们的感官进入我们的意识。但是亚里士多德并不否认人有理性，正是有了理性，人才能将不同的感官印象区分开来。但是他同时指出，在人的感官经验到任何东西之前，理性是完全真空的。亚里士多德认为自然界有因果关系的存在。他认为自然界有四种不同的原因，古希腊人的“原因”观念不同于近代以来的“因果性”观念，“原因”与“为什么”相对应，并不与“结果”相对应。即“目的因”、“质料因”、“动力因”和“形式因”。亚里士多德在逻辑学方面则提出了所谓的三段论。他的这个理论在后来的两千年内，在西方一直是唯一被承认的论证形式。伦理学方面，亚里士多德强调的是所谓“黄金比例”。这或许和希腊自然派哲学家的“和谐”概念类似。他认为，人不应该偏向哪一个极端，惟有平衡，人才能过快乐和谐的生活。亚里士多德认为人是天生的政治动物，人不生存在社会中便不是真正的人。他还提出三种良好的政治制度：君主制、贵族政治和民主政治（他称之为“Polity”）。

科学观

亚里士多德在古希腊科学史上标志着一个转折点，因为他是最后提出一个整个世界体系的人，而且是第一个从事广泛经验考察的人。在天文学方面，亚里士多德创立了运行的天体是物质实体的学说。在物理学方面，亚里士多德认为各物体只有在一个不断作用着的推动者直接接触下，才能够保持运动。根据亚里士多德的说法，“真空”是不能存在的，因为空间必须装满物质。这样才能通过直接接触来传递物理作用。后世的物理学家牛顿指出了亚里士多德这一论断的谬误，指出了“力不是保持物体运动的直接原因。力只能改变物体的运动状态。”可以说，在牛顿经典力学体系的大厦没有造起来之前，整个西方世界都被亚里士多德的物理学统治着。

艺术观

在戏剧方面，亚里士多德的《诗学》是第一部探讨古希腊悲剧艺术的总结性著作。他在书中提出了著名的“摹仿说”，认为悲剧“描写的是严肃的事件，是对有一定长度的动作的摹仿；目的在于引起怜悯和恐惧，并导致这些情感的净化；主人公往往出乎意料的遭到不幸，从而成悲剧，因而悲剧的冲突成了人和命运的冲突”。这是艺术史上第一次对戏剧的本质做出探讨，更开创了亚里士多德的诗学传统。他的观点后来被古罗马的贺拉斯在《诗艺》中加以发挥，从而间接影响了整个西方艺术史。

外部链接

- [http://wikiquote.org/wiki/Aristotle 维基语录]
- [http://www.gutenberg.net/cgi-bin/search/t9.cgi?author=aristotle Gutenberg texts for Aristotle]
- [http://Aristotle.thefreelibrary.com/ A brief biography and e-texts presented one chapter at a time] Category:古希腊哲学家 Category:古希腊作家 Category:古希腊教育家 Category:前384年出生 Category:前322年逝世 ja:アリストテレス ko:아리스토텔레스 ms:Aristotle simple:Aristotle th:อริสโตเติล

直言三段论

直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。例子: :所有生命都有价值。 :即使谋杀犯也是个生物。 :所以，即使谋杀犯也有价值。前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上: 中项在前提中必须周延(distribute)至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。注意，直言三段论可以是有效的，但结论仍可能是假，如果有前提为假的话。上面的三段论是有效的，但是有人可能不同意这个结论，因为他不同意某个或两个前提。以直言三段论形式明确的说出你的推理的最大价值，就是标识出那种连接导致你得到结论，或者导致某人反对这个结论。接着你可以更加清晰的理解你的想法或你的不同意见，并看出某些更基本的信念可能是错的或者比你所意识到的更加重要。

语气和格

直言三段论的语气是依据数量和性质对它的命题做的排列(参见直言命题)。在这个下列三段论中: :所有 A 都是 B :所有 C 都是 A :所以, 所有 C 都是 B 语气是 AAA，依据是所有的命题都是全称肯定的。下面要讨论的是直言三段论的格。但是，为了领会格，你必须能够识别三种不同类型的项: 大项、小项和中项。作为结论中的谓词出现的项是大项。在上述三段论中的 B 是大项。小项是作为结论中的主词出现的项；C 是小项。最后，通过排除法，可以演绎出中项是没有出现在结论中的项，但是在每个前提中都出现一次。因此，A 是中项。直言三段论的格可以通过识别中项的四种可能排列得知。格被数字表示为 1-4
- 1 中项占据第一个前提的主词和第二个前提的谓词
- 2 中项占据第一个前提和第二个前提二者的谓词
- 3 中项占据第一个前提和第二个前提二者的主词
- 4 中项占据第一个前提的谓词和第二个前提的主词同样的，上述直言三段论的正确的语气和格是 AAA-1。语气和格的组合叫做形式。

有效性

考虑各种直言三段论的有效性是非常冗长的。幸运的是，人们已经这么做了，并想出了三个可供选择的方法来找出有效性。其一是记住各种形式。下面是十五种有效形式中的几种:
- AAA-1
- AEE-4
- AEE-2
- OAO-3
- EIO-1 你可以通过其他方法得到余下的有效形式。一种方法是构造一个文氏图。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆来表示每一个类。首先，为大项构造一个圆。临近大项的圆的是交叠着的小项的圆。在这两个圆之下是中项的圆。它应当在三个位置有着交叠: 大项，小项和大项与小项交叠的地方。这个三段论是有效的，必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加阴影来实现的。所以在前提 "所有 A 是 B" 中，对 A 不与 B 交叠的所有区域加阴影，包括 A 与 C 交叠的部分。接着对第二个前提重复同样的过程。从这两个前提中我们推导出在类 C 中所有成员也是类 B 的成员。但是，我们不能推出类 B 的所有成员都是类 C 的成员。作为这种方法的另一个例子，考虑形式 EIO-1 的三段论。它的第一个前提是 "没有 B 是 A"，它第二个前提是 "有些 Cs 是 Bs"，它的结论是 "有些 Cs 不是 As." 这个三段论的大项是 A; 它的小项是 C，它的中项是 B。第一个前提在图中通过对交集 A ∩ B 加阴影表示。第二个前提不能通过对任何区域加阴影表示。转而，我们可以在交集 B ∩ C 的非阴影部分使用 ∃ (存在) 符号来表示 "有些 Cs 是 Bs." (N.B. 阴影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于 C 内但在 A 外，所以结论 "存在一些 Cs 不是 As" 是正确的。 : EIO-1 最后一种方法是记住下面非形式表述的六个规则。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用下列规则来检验有效性:
- 同前面提到过的，直言三段论必须包含严格的三个项，不多不少(cp. 四项谬论)。作为警告，当心同义词和反义词可以创造出无效幻想，但是有时可以通过把可互换的项都替换为精选出的项来纠正。
- 如果任一前提是否定的，则结论必须是否定的 (cp. 从否定前提得到肯定结论)。
- 两个前提不能都是否定的(cp. 排它前提谬论)。
- 在结论中周延的任何项必须在任一结论中周延。
- 中项必须周延一次且只是一次(cp. 不周延中项谬论)。
- 不能从两个全称前提中得到特称结论(cp. 存在性谬论)。

三段论式列表

下面是十四个三段论式，它们的名字获得自中世纪，但都是基于亚里士多德的分析篇。关于名字请参见项逻辑。

第 1 格

- Barbara 所有 B 是 A.
所有 C 是 B.
∴ 所有 C 是 A.
- Celarent 没有 B 是 A.
所有 C 是 B.
∴ 没有 C 是 A.
- Darii 所有 B 是 A.
有些 Cs 是 Bs.
∴ 有些 Cs 是 As.
- Ferio 没有 B 是 A.
有些 Cs 是 Bs.
∴ 有些 Cs 不是 As.

第 2 格

- Cesare 没有 B 是 A.
所有 C 是 A.
∴ 没有 C 是 B.
- Camestres 所有 B 是 A.
没有 C 是 A.
∴ 没有 C 是 B.
- Festino 没有 B 是 A.
有些 Cs 是 As.
∴ 某些 Cs 不是 Bs.
- Baroco 所有 B 是 A.
某些 Cs 不是 As.
∴ 某些 Cs 不是 Bs.

第 3 格

- Darapti 所有 C 是 A.
所有 C 是 B.
∴ 有些 Bs 是 As.
(这种形式需要假定某些 Cs 确实存在。)
- Datisi 所有 C 是 A.
有些 Cs 是 Bs.
∴ 有些 Bs 是 As.
- Disamis 有些 Cs 是 As.
所有 C 是 B.
∴ 有些 Bs 是 As.
- Felapton 没有 C 是 A.
所有 C 是 B.
∴ 有些 Bs 不是 As.
(这种形式需要假定某些 Cs 确实存在。)
- Ferison 没有 C 是 A.
有些 Cs 是 Bs.
∴ 某些 Bs 不是 As.
- Bocardo 某些 Cs 不是 As.
所有 C 是 B.
∴ 某些 Bs 不是 As.

外部链接

- [http://philosophy.lander.edu/logic/syllogism_topics.html Categorical syllogisms] by the p.l.e Introduction to Logic. Category:逻辑

关系语义

Kripke 语义(也叫做关系语义或框架语义，并经常混淆于可能世界语义)是模态逻辑系统的形式语义，于 1950 年代晚期和 1960 年代早期由 Saul Kripke 建立。它后来为另一个非经典逻辑，最重要的直觉逻辑所接受。Kripke 语义的发现是非经典逻辑开发中重大突破，因为这种逻辑的模型论在 Kripke 之前实际上是不存在的。

模态逻辑的语义

对于我们的目的，模态逻辑的语言由命题变量，读者喜欢的布尔连结词的完备集合(比如或 )，和模态算子

\Box

(“必然性”)构成。对偶的模态算子

\Diamond

(“可能性”) 定义为一个简写:

\Diamond A:=\neg\Box\neg A

。更多背景请参见模态逻辑。

基本定义

Kripke 框架或模态框架是 <W,R> 对，这里的 W 是非空集合，而 R 是在 W 上的二元关系。W 的元素叫做节点或世界，而 R 叫做可及关系。 Kripke 模型是 <W,R,

\Vdash

> 三元组，这里的 <W,R> 是 Kripke 框架，而

\Vdash

是在 W 的节点和模态公式之间的如下关系:
-

w\Vdash\neg A

当且仅当

w\not\Vdash A

，
-

w\Vdash A\to B

当且仅当

w\not\Vdash A

或

w\Vdash B

，
-

w\Vdash\Box A

当且仅当

\forall u\,(w\; R\; u \Rightarrow u\Vdash A)

。我们把 w

\Vdash

A 读做 “w 满足 A”，“A 满足于 w”，或 “w 力迫 A”。关系

\Vdash

叫做满足关系、求值或力迫(force)关系。注意满足关系由它在命题变量上的值唯一确定。公式 A 在下列之中是有效的:
- 模型 <W,R,

\Vdash

>，如果对于所有 w ∈W 有 w

\Vdash

A，
- 框架 <W,R>，如果对于

\Vdash

的所有可能的选择，它在 <W,R,

\Vdash

> 中是有效的，
- 框架或模型的类 C，如果它在 C 的每个成员中都是有效的。我们定义 Thm(C) 为在 C 中有效的所有公式的集合。反过来说，如果 X 是公式的集合，则设 Mod(X) 是使来自 X 的所有公式有效的所有框架的类。一个模态逻辑(就是说一个公式的集合) L 关于框架的类 C 是可靠的，如果 L⊆Thm(C)。L 关于C 是完备的，如果 L⊇Thm(C)。

对应性和完备性

语义对于逻辑(就是推理系统)研究是有用的，条件是在语义蕴涵关系忠实的反映语法对应物 -- 推论关系 (可推导性)。所以知道哪个模态逻辑关于哪类 Kripke 框架是可靠的和完备的，并为它们确定这种类是关键性的。对于 Kripke 框架的任何类 C，Thm(C) 是普通模态逻辑；特别是，最小化普通模态逻辑 K 的定理，在所有 Kripke 模型中都是有效的。不幸的是，逆命题不是一般性成立的: 有 Kripke 不完备的普通模态逻辑。事实上这不是问题，因为实际中研究的多数模态系统关于由简单条件所描述的框架类是完备的。普通模态逻辑 L 对应于框架类 C，条件是 C=Mod(L)。换句话说，C 是 L 关于 C 是可靠的最大的框架类；随后 L 是 Kripke 完备的当且仅当它关于它所对应的类是完备的。作为一个例子，考虑模式 T :

\Box

A → A。T 在任何自反的框架 <W,R> 中是有效的: 如果 w

\Vdash \Box

A，则 w

\Vdash

A，因为 w R w。在另一方面，使 T 有效的框架必须是自反的: 固定 w ∈W，并定义命题变量 p 的满足为如下: u

\Vdash

p 当且仅当 w R u。那么 w

\Vdash \Box

p，所以 w

\Vdash

p 于 T，这意味着 w R w 使用了

\Vdash

的定义。我们见到 T 对应于自反的 Kripke 框架的类。特征化 L 的对应类经常比证明它的完备性要容易许多，所以对应性充当完备性证明的指导。对应性还用于证实模态逻辑的不完备性: 假定 L₁⊆L₂ 是对应于同一个框架类的普通模态逻辑，L₁ 不证明 L₂ 的所有定理。那么 L₁ 是 Kripke 不完备的。例如，模式

\Box(A\equiv\Box A)\to\Box A

生成一个不完备的逻辑，因为它对应于同 GL 一样的框架类(viz. 传递性和逆良基的框架)，但是它不证明

\Box A\to\Box\Box A

。在下表中给出常见模态公理和它们对应的类的列表。注意: 公理的名字经常是多变的。下面是一些常见普通模态逻辑系统的列表。对于其中一些的框架条件是简化了的: 逻辑关于在表中给出的框架类是完备的，但是它们可能对应于更大的一类框架。

规范模型

对于任何普通模态逻辑 L，我们可以构造一个 Kripke 模型(称为规范模型)，它且只有它使 L 的定理有效，通过接纳使用极大一致集合作为模型的标准技术。规范 Kripke 模型扮演的角色类似于在代数语义中的 Lindenbaum-Tarski 代数构造。公式集合 L是一致的，如果从它们、L 的公理和肯定前件中不能推导出矛盾。极大 L一致的集合(简写为 L-MCS)是没有真L一致的超集的 L一致的集合。 L 的规范模型是 Kripke 模型 <W,R,

\Vdash

>，这里的 W 是所有L-MCS，而关系 R 和

\Vdash

为如下: :

X\;R\;Y

当且仅当对所有的公式

A

，如果

\Box A\in X

则

A\in Y

， :

X\Vdash A

当且仅当

A\in X

。规范模型是 L 的模型，因为所有的 L-MCS 包含 L 的所有定理。通过 Zorn 引理，每个 L一致的集合都包含在一个 L-MCS 中，特别是在 L 中不可证明的所有公式都在规范模型中有一个反例。规范模型的主要应用是完备性证明。例如，K 的规范模型的性质直接蕴含 K 关于所有 Kripke 框架类的完备性。这个论证不适合任意的 L，因为没有对规范模型的底层框架满足 L 的框架条件的担保。我们说一个公式或公式的集合 X 关于 Kripke 的一个性质 P 是规范的，如果
- X 在满足 P 的所有框架中是有效的，
- 对于包含 X 的任何普通模态逻辑 L，L 的规范模型底层框架满足 P。明显的，公式的规范集合的并集自身是规范的。服从前面的讨论，由公式的规范集合公理化的任何逻辑是 Kripke 完备的和紧凑的。公理 T、4、D、B、5、3、2(和它们的任意组合)都是规范的。GL 和 Grz 不是规范的，因为他们不是紧凑的。公理 1 自身不是规范的(Goldblatt, 1991)，但是组合的逻辑 S4.1(事实上甚至 K4.1) 是规范的。一般的，给定的公理是否是规范的是不可决定的。不过我们知道一个好的充分条件: H。Sahlqvist 识别了如下广泛的一类公式(现在叫做Sahlqvist 公式)
- Sahlqvist 公式是规范的，
- 对应于 Sahlqvist 公式的框架类是一阶可定义的，
- 有计算对一个给定的 Sahlqvist 公式的对应框架条件的算法。这是一个非常强力的准则；例如，上面列出的规范的所有公理是实际上的(等价于) Sahlqvist 公式。

有限模型性质

逻辑拥有有限模型性质(FMP)，如果它关于有限框架的类是完备的。这个概念的主要应用之一是可决定性问题: 它服从 Post 定理，有 FMP 的递归公理化的模态逻辑 L 是可决定性的，倘若给定的有限框架是否是 L 的模型是可决定的。特别是，有 FMP 的所有的有限可公理化的逻辑都是可决定性的。有各种方法为给定的逻辑建立 FMP。精练并扩展规范模型构造通常就行了，使用工具如过滤或拆分。还有一种可能性，给予免切的相继式演算的完备性证明通常直接产生有限模型。多数实际上使用的模态系统(包括所有上面列出的)都有 FMP。在某些情况下，我们可以使用 FMP 来证明逻辑的 Kripke 完备性: 所有普通模态逻辑关于模态代数的类都是完备的，而有限的模态代数可以变换成 Kripke 框架。作为例子，Robert Bull 使用这个方法证明了 S4.3 的所有普通扩展都有 FMP，并且是 Kripke 完备的。

多模态逻辑

Kripke 语义对有多于一个模态的逻辑有直接的推广。带有

\

作为必然性算子的集合的语言的 Kripke 框架，由对每个 i ∈I 装备上二元关系 R_i 一个非空集合 W构成。满足关系的定义修改为如下: :

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\,(w\;R_i\;u\Rightarrow u\Vdash A)

。由 Tim Carlson 发现的简化的语义，经常用于多模态可证明性逻辑。Carlson 模型是结构 <W,R,_i∈I,⊩>，带有一个单一的可及关系 R，和给每个模态的子集 D_i ⊆ W。满足性定义为 :

w\Vdash\Box_i A

当且仅当

\forall u\in D_i\,(w\;R\;u\Rightarrow u\Vdash A)

。 Carlson 模型比通常的多模态 Kripke 模型易于形象化和使用；但是，Kripke 完备的多模态逻辑是 Carlson 不完备的。

直觉逻辑的语义

直觉逻辑的 Kripke 语义服从和模态逻辑的语义同样的原理，但是它使用了满足的不同的定义。直觉 Kripke 模型是一个三元组 <W,≤,

\Vdash

>，这里的 <W,≤> 是传递的和自反的 Kripke 框架(就是说可及关系是预序)，而

\Vdash

满足下列条件:
- 如果 p 是命题变量，w ≤ u，并且 w

\Vdash

p，则 u

\Vdash

p (持续性条件)，
- w

\Vdash

A ∧ B 当且仅当 w

\Vdash

A 并且 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A ∨ B 当且仅当 w

\Vdash

A 或者 w

\Vdash

B，
- w

\Vdash

A → B 当且仅当对于所有 u ≥ w，u

\Vdash

A 蕴含 u

\Vdash

B，
- 非 w

\Vdash

;⊥。直觉逻辑关于它的 Kripke 语义是可靠的和完备的，并且它有 FMP。

直觉一阶逻辑

设 L 是一阶语言。L 的 Kripke 模型是三元组 <W,≤,_w∈W>，这里的 <W,≤> 是直觉 Kripke 框架，M_w 是每个节点 w ∈W 的(经典) L-结构，而下列相容性条件只要在 u ≤ v 时都是成立的:
- M_u 的域包含在 M_v 的域中，
- M_u 和 M_v 中的函数符号实现一致于 M_u 的元素，
- 对于每个 n 元谓词 P 和元素 a₁,...,a_n ∈M_u: 如果 P(a₁,...,a_n) 成立于 M_u，则它成立于 M_v。给出经由 M_w 的元素的变量求值 e，我们定义满足关系 w

\Vdash

A[e]:
- w

\Vdash

P(t₁,...,t_n)[e] 当且仅当 'P(t₁[e],...,t_n[e]) 成立于 M_w，
- w $\Vdash$ (A ∧ B)[e] 当且仅当 w $\Vdash$ A[e] 并且 w $\Vdash$ B[e]，
- w $\Vdash$ (A ∨ B)[e] 当且仅当 w $\Vdash$ A[e] 或者 w $\Vdash$ B[e]，
- w $\Vdash$ (A → B)[e] 当且仅当对于所有的 u ≥ w，u $\Vdash$ A[e] 蕴含 u $\Vdash$ B[e]，
- 非 w $\Vdash$ ⊥[e]，
- w $\Vdash$ (∃x A)[e] 当且仅当存在一个 a ∈M_w，使得 w $\Vdash$ A[e(x→a)]，
- w $\Vdash$ (∀x A)[e] 当且仅当对于所有的 u ≥ w 和所有的 a ∈M_u，u $\Vdash$ A[e(x→a)]。这里的 e(x→a) 是给予 x 值 a 的求值，在其他方面一致于 e。
Kripke-Joyal 语义
作为独立开发的层论的一部分，在 1965 年左右认识到 Kripke 语义密切相关于在 topos 论中对存在量化的处理。就是对一个层的截面的存在性的'局部'示象是一种'可能性'的逻辑。因为这种开发是很多人的工作，比之于理论更合于概念上洞察的天性，归与荣誉不是很容易的。Kripke-Joyal 语义这个名称经常用做这种联系。
模型构造
同在经典的模型论中一样，有从其他模型构造一个新的 Kripke 模型的方法。在 Kripke 语义中天然的同态叫做p-态射(它是伪满射的简写，但这个术语很少用)。Kripke 框架 <W,R> 和 <W’,R’> 的 p-态射是一个映射 f:W → W’ 满足
- f 保留可及关系，就是说 u R v 蕴涵 f(u) R’ f(v)，
- 在 f(u) R’ v’ 的时候，有一个 v ∈ W 使得 f(v)=v’。 Kripke 模型 <W,R, $\Vdash$ > 和 <W’,R’, $\Vdash$ ’> 的 p-态射是它们的底层框架的 p-态射 f:W → W’，它满足 : 对于任何命题变量 p，w $\Vdash$ p 当且仅当 f(w) $\Vdash$ ’p。 P-态射是特殊种类的双仿(bisimulation)。一般的说，在框架 <W,R> 和 <W’,R’> 之间的双仿是关系 B ⊆ W × W’，它满足下列 “zig-zag” 性质:
- 如果 u B u’ 并且 u R v，则存在 v’ ∈ W’ 使得 v B v’，
- 如果 u B u’ 并且 u’ R’ v’，则存在 v ∈ W 使得 v B v’。模型的双仿是对保持原子公式的力迫的补充要求: : 对于任何命题变量 p，如果 w B w’，则 w $\Vdash$ p 当且仅当 w’ $\Vdash$ ’p。从这个定义我们得到的关键性质是模型的双仿(所以也是 p-态射)保持所有公式的满足性，而不只是命题变量。我可以使用拆分(unravelling)把 Kripke 模型变换成树。给出一个模型 <W,R, $\Vdash$ > 和固定的节点 w₀ ∈ W，我们定义一个模型 <W’,R’, $\Vdash$ ’>，这里的 W’ 是所有有限序列 s=<w₀,w₁,...,w_n> 的集合，使得对于所有 i<n 和 s $\Vdash$ p，w_i R w_i+1 当且仅当对于所有变量 p，w_n $\Vdash$ p。定义可及关系 R’ 变化；在最简单的情况下我们置 : <w₀,w₁,...,w_n> R’ <w₀,w₁,...,w_n,w_n+1>, 但是很多应用需要这个关系的自反与/或传递闭包，或类似的变更。过滤是 p-态射的一个变种。设 X 是在采纳子公式(subformulas)下闭合的公式的集合。模型 <W,R, $\Vdash$ > 的 X-过滤是从W 到模型 <W’,R’, $\Vdash$ ’> 的映射 f，使得
- f 是满射，
- f 保持可及关系，和(在两个方向上)变量 p ∈ X 的满足性，
- 如果 f(u) R’ f(v) 并且 u $\Vdash \Box$ A，这里的 $\Box$ A ∈X，则 v $\Vdash$ A。得到了 f 保持来自 X 的所有公式的满足性。在典型的应用中，我们把 f 采纳为在W 在下列关系上对份额的投影 : u ≡_X v 当且仅当对于所有 A ∈X，u $\Vdash$ A 当且仅当 v $\Vdash$ A。同在拆分的情况下一样，定义可及关系在份额变化上。
历史和术语
Kripke 语义不是 Kripke 首创的，以上述方式给出的基于使求值相对于节点的语义早于 Kripke 的工作许久:
- Carnap 好象是首先有了这种想法，通过给予求值函数以莱布尼兹的可能世界为范围的一个参数的方式，对必然性和可能性的模态给出一种可能世界语义。Bayart 进一步发展了这种想法，但是他们都没能给出 Tarski 介入的这种风格的满足的递归定义；
- Jónsson 和 Tarski 给出了仍然影响着当代模态逻辑研究的表达语义的方式，就是代数方法，这包含了 Kripke 语义的很多关键想法。他们把这个想法应用于直觉逻辑的语义研究，但没有见到与模态逻辑的联系；
- Kanger 对模态逻辑的释义给出了更加复杂的方式，但是包含了 Kripke 方式的很多关键想法。他首先注意到在关于可及关系的条件和 Lewis-风格的模态逻辑公理之间的联系。但是 Kanger 没能给出对他的系统的完备性证明；
- Jaakko Hintikka 在他的论文中介入了是 Kripke 语义的简单变体的认识逻辑，等同于通过最大化一致集合的方式构造求值的塑造。他没能为认识逻辑给出推理规则，所以没能给出完备性证明；
- Richard Montague 有了包含在 Kripke 工作中的很多关键想法，但是他没有把它们当作是重要的，所以一直没有发表直到 Kripke 的论文出版在逻辑学社区中造成了轰动之后；
- Evert W. Beth 为直觉逻辑提出了一种基于树的语义，它极其类似于 Kripke 语义，除了使用了更加麻烦的满足定义之外。尽管Kripke 语义的根本思想在 Kripke 首次发表之前就广为流传了，Saul Kripke 关于模态逻辑的工作仍可恰当的当作是开拓性的。最重要的是，Kripke 是第一个为模态逻辑证明了完备性定理的人，并且 Kripke 识别了最弱的普通模态逻辑。尽管 Kripke 的工作有开创性贡献，很多模态逻辑学家反对术语 Kripke 语义，因为这是对先驱们做的重要贡献的失礼。反对另一个最广泛使用的术语可能世界语义的理由是它不适合应用于不是可能性和必然性的模态，比如在认识或道义逻辑中。他们喜欢术语关系语义或框架语义。
引用

- Modal Logic. P. Blackburn, M. de Rijke, Y. Venema. Cambridge University Press, 2001.
- Basic Modal Logic. R. A. Bull and K. Segerberg. In The Handbook of Philosophical Logic, volume 2, pages 1--88. Kluwer, 1984.
- A New Introduction to Modal Logic. G. E. Hughes, M. J. Cresswell. Routledge, 1996.
- Modal Logic. A. Chagrov, M. Zakharyaschev. Oxford University Press, 1997.
- [http://plato.stanford.edu/archives/win2001/entries/logic-modal Modal Logic]. J. Garson. In E. N. Zalta, editor, The Stanford Encyclopaedia of Philosophy
- [http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/papers/modalhist.pdf Mathematical Modal Logic: a View of its Evolution]. [http://www.mcs.vuw.ac.nz/~rob/ Robert Goldblatt]. In Journal of Applied Logic, vol. 1(5-6):309-392, 2003.
- Intuitionistic Logic. D. van Dalen. In The Handbook of Philosophical Logic, volume 3, pages 225--339. Reidel, 1986.
- Elements of Intuitionism. M. Dummett. Clarendon Press, 1977.
- Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing. M. Fitting. North-Holland, 1969.
- Sheaves in Geometry and Logic. S. Mac Lane and I. Moerdijk. Springer-Verlag, 1991.
参见

- Kripke 结构
外部链接

- [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml4a.htm#s44 Introduction to Mathematical Logic] by Drs. Detlovs and Podnieks. Chapter 4, Section 4: "Constructive Propositional Logic — Kripke Semantics".
- [http://www.princeton.edu/~jburgess/Kripke1.doc Kripke Models], a Word document by John P. Burgess. Category:集合论 Category:数理逻辑

Нюнорск

Нюнорск (nynorsk, «новый норвежский») — один из двух официальных письменных языков Норвегии Формирование языка нюнорск, изначально называемого «языком страны» (landsmål), было начато в середине XIX века Иваром Аасеном. Аасен видел в своём проекте «истинно норвежскую» альтернативу государственному стандарту норвежского языка того времени — «державному языку» (riksmål), который был очень похож на датский язык. «Державный язык» впоследствие стал называться «книжным» (bokmål) и стал одним из двух (наряду с нюнорск) официальных письменных языков Норвегии. В целом Nynorsk основывается на западнонорвежских диалектах и используется примерно десятой долей населения Норвегии. В школах преподавание ведётся на обоих языках. Категория:Норвежский язык

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