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数理逻辑

数理逻辑

数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

历史

“数理逻辑”的名称由皮亚诺（Peano）首先给出，他又称其为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。 某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和兰伯特（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。 亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。 传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论据的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语形”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。 数理逻辑的里程碑式著作有哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）和伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）。

数理逻辑论的体系

数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归函数论。有时还包括公理集合论。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，这是因为许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，比如说象阿兰·图灵。 程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。 柯里－霍华德同构（Curry-Howard isomorphism）给出“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算以及其它演算和组合逻辑现在属于理想程序语言。 计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。

一些基本结果

一些重要结果是：
- 一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是哥德尔完备性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。
- 有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在检测普遍有效性的算法。尽管以下算法存在：对此算法输入一个一阶公式，如果这个一阶公式是普遍有效的，那么算法将在某一时刻停机，如果不是普遍有效的，那么算法将会永远不停地计算下去。然而，即使算法已经运行了亿万年，公式是否有效仍是未知数。换句话说，这一集合是“递归可数的”，用更通俗的话来讲，是“半可判定的”。
- 普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可数的。这是哥德尔不完备定理的一个结果。
- 勒文海姆-斯科伦定理（Löwenheim-Skolem theorem）。
- 相继式演算（sequent calculus）中的切割－消去法。
- 保罗·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。

技术参考

一阶语言和结构

定义 一阶语言 \mathfrak\, 是一组独特的印刷上的符号，分类如下: # 等价符号 =\,；连结词 \lor\,，\lnot\,；全称量词 \forall\, 和圆括号 (\,，)\,。 # 变量符号的可数集合 \_^\infty\,。 # 常量符号的集合 \_\,。 # 函数符号的集合 \_\,。 # 关系符号的集合 \_\,。
所以，要指定一个语言，通常只指定一组常量符号、函数符号和关系符号就足够了，因为第一组符号是标准的。圆括号只充当形成符号的群组的目的，在公式中书写函数和关系的时候被非形式的使用。 这些符号就是符号。它们不代表任何东西。他们不意味任何事物。加入语义和语言学要点对数学语言的形式化是没有用的。 因为确实需要在这些形式化之外获得某些意义。在语言之上的模型的概念就提供着这种语义。
定义 在语言 \mathfrak\, 上的 \mathfrak\,-结构是由非空集合 A\, 构成的包(bundle)，它是结构的全集，包括了: # 对于来自 \mathfrak\, 的每个常量符号 c\,，有一个元素 c^ \in A\,。 # 对于来自 \mathfrak\, 的每个 n\,-元函数符号 f\,，有一个 n\,-元函数 f^ : A^n \longrightarrow A\,。 # 对于来自 \mathfrak\, 的每个 n\,-元关系符号 R\,，有一个在 A\, 上的 n\,-元关系，就是说一个子集 R^ \subseteq A^n\,。
在这个上下文中对这种结构使用模型这个词。但是理解它的动机或许是重要的，见下。

项、公式和句子

定义 \mathfrak\,-项是来自 \mathfrak\, 的符号的非空有限字符串 t\,，如
- t\, 是一个变量符号。
- t\, 是一个常量符号。
- t\, 是形如 f t_1 ... t_n\, 的字符串，这里的 f\, 是 n\,-元函数符号而 t_1\,, ..., t_n\, 是 \mathfrak\, 的项。
定义 \mathfrak\,-公式是来自 \mathfrak\, 的符号的非空有限字符串 \phi\,，如
- \phi\, 是形如 t_1 = t_2\, 的字符串，这里的 t_1\, 和 t_2\, 是 \mathfrak\, 的项。
- \phi\, 是形如 R t_1 ... t_n\, 的字符串，这里的 R\, 是 n\,-元关系符号而 t_1\,, ..., t_n\, 是 \mathfrak\, 的项。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，这里的 \alpha\, 是 \mathfrak\,-公式。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，这里的 \alpha\, 和 \beta\, 二者是 \mathfrak\,-公式。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，这里的 y\, 是来自 \mathfrak\, 的变量符号而 \alpha\, 是 \mathfrak\,-公式。
定义 由要么第一个要么第二个子句来特征描述的 \mathfrak\,-公式被称为原子。
定义 设 \phi\, 是一个 \mathfrak\,-公式。来自 \mathfrak\, 的变量符号 x\, 被称为在 \phi\, 中是自由的，如果
- \phi\, 是原子，而 x\, 出现在 \phi\, 中。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 x\, 在 \alpha\, 中是自由的。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 x\, 在 \alpha\, 或 \beta\, 中是自由的。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，这里的 x\, 和 y\, 不是同一个变量符号而 x\, 在 \alpha\, 中是自由的。
定义 句子是没有自由变量的公式。

指派函数

此后，\mathfrak\, 将指称一阶语言，\mathfrak\, 是 \mathfrak\,-结构，它下层的全集用 A\, 指称。每个公式都将被理解为 \mathfrak\,-公式。
定义 到 \mathfrak\, 的变量指派函数(v.a.f.)是自 \mathfrak\, 的变量集合到 A\, 的函数。
定义 设 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.。我们定义项指派函数(t.a.f.) \overline\,，自 \mathfrak\,-项的集合到 A\,，如:
- 如果 t\, 是变量符号 x\,，则 \overline(t) = s(x)\,。
- 如果 t\, 是常量符号 c\,，则 \overline(t) = c^\,。
- 如果 t\, 形如 f t_1 ... t_n\,，则 \overline(t) = f^(\overline(t_1), ..., \overline(t_n))\,。
定义 设 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.，假定 x\, 是一个变量而 a \in A\,。我们定义 v.a.f. s[x|a]\,，指称为 x\,-指派函数的修改 s\,，为
s[x|a](v) = \begin s(v) & \mbox v \ne x \\ a & \mbox v = x \end \,

逻辑满足

定义 设 \phi\, 是公式，并假定 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.。我们称 \mathfrak\, 通过指派 s\, 满足 \phi\, ，并写为 \mathfrak \models \phi[s]\,，如果:
- \phi\, 形如 t_1 = t_2\,，而 \overline(t_1) = \overline(t_2)\,。
- \phi\, 形如 R t_1 ... t_n\,，而 (\overline(t_1), ..., \overline(t_n)) \in R^\,。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 \mathfrak\mbox\not\models\mbox\alpha[s]\,。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 \mathfrak \models \alpha[s]\, 或者 \mathfrak \models \beta[s]\,。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，而对于每个元素 a \in A\,，\mathfrak \models \alpha[s[y|a]]\,。
定义 设 \phi\, 是公式，并对到 \mathfrak\, 的每个 v.a.f. s\, 假定 \mathfrak \models \phi[s]\,。则我们称 \mathfrak\, 建模 \phi\,，并写为 \mathfrak \models \phi\,。
定义 设 \Phi\, 是公式的集合，并对每个公式 \phi \in \Phi\, 假定 \mathfrak \models \phi\,，则我们称 \mathfrak\, 建模 \Phi\,，并写为 \mathfrak \models \Phi\,。
在 \phi\, 是句子的情况下，就是没有自由变量的公式，存在一个单一的 v.a.f.，对于它 \mathfrak \models \phi[s]\,，直接的蕴涵了 \mathfrak \models \phi\,。
定义 设 \phi\, 是一个句子，并假定 \mathfrak \models \phi\,。则我们称 \phi\, 为在 \mathfrak\, 中是真实的。

逻辑蕴含和真实

定义 设 \Psi\, 和 \Phi\, 是公式的集合。我们称 \Psi\, 为逻辑蕴涵 \Phi\,，并写为 \Psi \models \Phi\,，如果对于所有结构 \mathfrak\,， \mathfrak \models \Psi\, 蕴涵 \mathfrak \models \Phi\,。
作为简写，在处理单元素集合(singleton)的时候，我们经常写 \Psi \models \phi\, 替代 \Psi \models \\,。
定义 设\phi\, 是公式，并假定 \varnothing \models \phi\,。则我们称 \phi\, 是全集有效，或者简单有效，在这种情况下我们简单的写为 \models \phi\,。
假如公式 \phi\, 是有效的，实际上意味着所有 \mathfrak\,-结构 \mathfrak\, 建模 \phi\,。
定义 设 \phi\, 是一个句子，并假定 \models \phi\,。则我们称 \phi\, 为真实的。

变量代换

定义 设 u\, 是项，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是另一个项。我们定义这个项 u_t^x\,，读做把 x\, 替换为 t\, 的 u\,，如下:
- 如果 u\, 是变量符号 x\,，则 u_t^x\, 被定义为是项 t\,。
- 如果 u\, 是不是 x\, 的变量符号，则 u_t^x\, 被定义为项 u\,。
- 如果 u\, 是常量符号，则 u_t^x\, 被定义为项 u\,。
- 如果 u\, 形如 f t_1 ... t_n\,，则 u_t^x\, 被定义为项 f _t^x ... _t^x\,。
定义 设 \phi\, 是公式，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是项。我们定义公式 \phi_t^x\,，读做把 x\, 替换为 t\, 的 \phi\,，如下:
- 如果 \phi\, 形如 t_1 = t_2\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 _t^x = _t^x\,。
- 如果 \phi\, 形如 R t_1 ... t_n\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 R _t^x, ..., _t^x\,。
- 如果 \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 \lnot(\alpha_t^x)\,。
- 如果 \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 (\alpha_t^x \lor \beta_t^x)\,。
- 如果 \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，则
  - 如果 x\, and y\, 是同一个变量符号，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 \phi\,。
  - 否则 \phi_t^x\, 被定义为公式 (\forall y)(\alpha_t^x)\,。

可代换性

定义 设 \phi\, 是公式，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是项。我们称 t\, 对 x\, 在 \phi\, 中是可代换的，如果:
- \phi\, 是原子。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 中是可代换的。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 和 \beta\, 二者中是可代换的。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，而
  - 要么 x\, 在 \phi\, 中不是自由变量。
  - 要么 y\, 在 t\, 中不出现，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 中是可代换的。
项于变量的可代换性的概念相应于在代换在项或公式中完成之后保持真实性的概念。严格的说，代换总是允许的，但可代换性将是强制的，以此生成意义不被代换所破坏的公式。

引用


- A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000). Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521779111.
- George Boolos & Richard Jeffrey (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521007585.
- Elliott Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.) Chapman & Hall.
- A. G. Hamilton (1988). Logic for Mathematicians Cambridge University Press.

外部链接


- [http://www.uni-bonn.de/logic/world.html Mathematical Logic around the world]
- [http://home.swipnet.se/~w-33552/logic/home/index.htm Polyvalued logic]
- [http://www.cis.upenn.edu/~giorgi/cl.html Computability logic] 数理逻辑的新方向 - 从真理的理论到可计算性的理论。

参见条目


- 逻辑
- 可计算性逻辑
- 博弈语义学
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 相继式演算
- 直觉逻辑
- 谓词逻辑 Category:數理邏輯 ja:数理論理学

数学

数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。 创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。

历史

:主页面：数学史 数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。 数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。 对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。 对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。 到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学不是……

数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。 数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。 数学不是物理，虽然历史和哲学上两者关系密切。

参考书目


- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
- Gullberg, Jan: Mathematics-From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitions, theorems and references.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
- 数学--它的内容,方法和意义

参考网址


- [http://www.11abc.com/science/maths.htm 数学网址]（数学网址） 。
- Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas]（英文版）现代数学漫游。
- Weisstein, Eric: [http://www.mathworld.com/ World of Mathematics]，一个在线的数学百科全书。
- [http://planetmath.org/ Planet Math]，另一个在线的数学百科全书，使用GFDL，允许和维基百科交换条目。
- [http://www.mathforge.net/ MathForge]，一个包含数学、物理、计算机科学和教育等范畴的新闻网志。
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/ EpisteMath｜数学知识]。
- 香港科技大学:[http://www.edp.ust.hk/math/ 数学网]，一个以数学史为主的网站。 Category:数学 Category:自然科学 Category:科学 ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

计算

Originally, the word computing was synonymous with counting and calculating, and a science that deals with the original sense of computing mathematical calculations. The following definition of computing is given in the ACM report [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=63238.63239 Computing As a Discipline]:
The discipline of computing is the systematic study of algorithmic processes that describe and transform information: their theory, analysis, design, efficiency, implementation, and application. The fundamental question underlying all the computing is 'What can be (efficiently) automated?'

科学与理论


- 计算机科学
- 计算理论
- Computational models
- DBLP, as of October 2005, now lists over 675 000 bibliographic entries on computer science and several thousand links to the home pages of computer scientists
- 科学计算

硬件

See information processor for a high-level block diagram.
- 计算机硬件
- 计算机硬件设计
- 计算机网络
- 计算机系统
- 计算机硬件历史

Instruction-level taxonomies

After the commoditization of memory, attention turned to optimizing CPU performance at the instruction level. Various methods of speeding up the fetch-execute cycle include:
- designing instruction set architectures with simpler, faster instructions: RISC as opposed to CISC
- Superscalar instruction execution
- VLIW architectures, which make parallelism explicit

软件


- 软件工程
- 计算机编程
- 软件专利

计算机历史


- History of computing hardware from the tally stick to the quantum computer
- Punch Card
- Unit record equipment
- IBM 700/7000 series
- IBM 1400 series
- System/360
- Early IBM disk storage

商用计算机


- Accounting software
- Computer-aided design
- Computer-aided manufacturing
- Computer-assisted dispatch
- Customer relationship management
- Data warehouse
- Decision support system
- Electronic data processing
- Enterprise resource planning
- Geographic information system
- Management information system
- Material requirements planning
- Strategic enterprise management
- Supply chain management
- Product Lifecycle Management
- Utility Computing

人的因素


- Accessible computing
- Human-computer interaction

计算机安全


- Cryptology - cryptography - information theory
- Cracking - demon dialing - Hacking - war dialing - war driving
- Social engineering - Dumpster diving
- Physical security - Black bag job
- Computer insecurity
- Computer surveillance
- defensive programming
- malware
- security engineering

数据

数字数据


- integral data types - bit, byte, etc.
- real data types:
  - Floating point (Single precision, Double precision, etc.)
  - Fixed point
  - Rational number
- Decimal
  - Binary-coded decimal (BCD)
  - Excess-3 BCD (XS-3)
  - Biquinary-coded decimal
- representation: Binary - Octal - Decimal - Hexadecimal (hex)
- Computer mathematics - Computer numbering formats -

字符数据


- storage: Character - String - Text - Plain text
  - representation: ASCII - Unicode - Multibyte - EBCDIC (Widecharacter, Multicharacter) - Fieldata - Baudot

其他专题


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Mechatronics


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计算机分类


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- Minicomputer
- Microcomputer
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- Personal digital assistant (aka PDA, or Handheld computer)
- Server
- Supercomputer
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当前的公司


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- Avaya
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- Fujitsu
- Gateway Computers
- Groupe Bull
- Hewlett-Packard
- Hitachi, Ltd.
- IBM
- Microsoft
- NEC Corporation
- NetCB
- Novell
- Red Hat
- Silicon Graphics
- Sun Microsystems
- Unisys

历史上的公司


- Acorn, bought by Olivetti
- Bendix Corporation
- Burroughs, merged with UNIVAC to become Unisys
- Compaq, bought by Hewlett-Packard
- Control Data
- Cray
- Data General
- DEC, bought by Compaq, in turn bought by Hewlett-Packard
- Digital Research - a software company for the early microprocessor-based computers
- English Electric
- Ferranti
- General Electric, computer division bought by Honeywell, then Bull
- Honeywell, computer division bought by Bull and
- ICL
- Leo
- Lisp Machines, Inc.
- Marconi
- Nixdorf, bought by Siemens
- Olivetti
- Osborne
- Packard Bell
- Raytheon
- Royal McBee
- RCA
- Scientific Data Systems, sold to Xerox
- Siemens
- Sinclair Research, created the ZX Spectrum, ZX80 and ZX81
- Symbolics
- UNIVAC, merged with Burroughs to become Unisys
- Varian
- Wang

专业组织


- Association for Computing Machinery (ACM)
- British Computer Society (BCS)
- Association for Survey Computing (ASC)
- Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), in particular the IEEE Computer Society
- Institution of Electrical Engineers
- International Electrotechnical Commission (IEC)

Standards organizations and consortia

(see also standardization)
- International Electrotechnical Commission (IEC)
- International Organization for Standardization (ISO)
- Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)
- Internet Engineering Task Force (IETF)
- World Wide Web Consortium (W3C)

杂项


- List of computer term etymologies
- Load (computing)
- Indian Language Computing Category:计算 ja:コンピューティング

数学基础

数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明理论，模型理论，和递归理论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真? 目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上，所有现在的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在这个观点下，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。 这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们选择我们现在所用的而不是其他的公理，为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的，为什么"真"数学命题(例如，算数的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被Eugene Wigner在1960年叫做数学在自然科学中无理由的有效性(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。 上述的形式化真实性也可能完全没有意义：完全可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为歌德尔第二不完备定理的一个结果，我们永远不可能知道事情是不是就是这样。 在数学现实主义(有时也叫柏拉图主义)中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有同样的地位，而"有效性"不再"无理由"。不仅是我们的公理，而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么，明显的问题在于，我们如何接触这个世界？ 一些数学哲学的现代理论不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于数学实践，把目标设定于描述和分析数学家作为社交群体的真实工作。其他的试图创造一个数学认知科学，聚焦于把人类的认知作为数学应用到"现实世界"时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。

参见


- 数学哲学
- 数学准经验主义

来源


- [http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences], Eugene Wigner, 1960;
- What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
- Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
- Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
- Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部链接


- [http://www.math.psu.edu/simpson/hierarchy.html What is Foundations of Mathematics?]
- [http://www.math.psu.edu/simpson/papers/philmath/ Logic and Mathematics]
- [http://www.cs.nyu.edu/mailman/listinfo/fom/ Foundations of Mathematics mailing list] Category:数学 Category:数理逻辑

亚里士多德

亚里士多德（希腊語：Αριστοτέλης 约前384年—前322年）是古希腊著名的哲学家、科学家和教育家。他是柏拉图的学生，亚历山大大帝的老师。他总结了泰勒斯以来古希腊哲学发展的结果，首次将哲学和其他科学区别开来，开创了逻辑学、伦理学、政治学和生物学等学科的独立研究。他的学术思想对西方文化、科学的发展产生了巨大的影响。 亚里士多德把科学分为：（1）理论的科学(数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；（2）实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；（3）创造的科学，即诗学。

简介

当我们谈到古希腊哲学时，有三个连贯的人物我们不得不提到：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德。他们三人一起创立了今天的西方哲学思想。 尽管亚里士多德是柏拉图的学生，他的观点与柏拉图有很多不同之处。柏拉图是一名理想主义者和理性主义者，柏拉图相信我们的物质世界其实是一个不完美的世界，在它的背后有一个完美的“理念的世界”。而亚里士多德则认为，我们对世界的认识是从我们的感官而来的。因此，其实亚里士多德的哲学开创了之后的科学方法。 亚里士多德的著作到今天依然存在，它们大多是教科书式的文献，很多甚至是亚里士多德学生的笔记。 在中世纪的早期，由于新柏拉图主义的盛行，亚里士多德的著作没有被翻译。但到了12世纪，亚里士多德主义开始兴起，他的著作也被翻译成了各种欧洲文字，形成了中世纪后期的经院哲学。这种哲学后来成为了早期近代哲学家例如伽利略和笛卡尔所批驳的对象。

生平

亚里士多德公元前３８４年出生于色雷斯的斯塔基拉，父亲是马其顿王的御医。公元前366年亚里士多德被送到雅典的柏拉图学园学习，此后20年间亚里士多德一直住在学园，直至老师柏拉图去世。柏拉图去世后，由于学园的新首脑比较同情柏拉图哲学中的数学倾向，令亚里士多德无法忍受，便离开雅典。但是从亚里士多德的著作中可以看到，虽然亚里士多德不同意波西普斯等学园新首脑的观点，但依然与他们保持良好的关系。 离开学园后，亚里士多德先是接受了先前的学友赫米阿斯的邀请访问小亚细亚。赫米阿斯当时是小亚细亚沿岸的密细亚的统治者。亚里士多德在那里还娶了赫米阿斯的侄女为妻。但是在公元前344年，赫米阿斯在一次暴动中被谋杀，亚里士多德不得不离开小亚细亚，和家人一起到了米提利尼。3年后，亚里士多德又被马其顿的国王腓力浦二世召唤会故乡，成为当时年仅13岁的亚历山大大帝的老师。根据古希腊著名传记作家普鲁塔克的记载，亚里士多德对这位未来的世界领袖灌输了道德、政治以及哲学的教育。我们也有理由相信，亚里士多德也运用了自己的影响力，对亚历山大大帝的思想形成起了重要的作用。正是亚里士多德的在影响下，亚历山大大帝始终对科学事业十分关心，对知识十分尊重。但是，亚里士多德和亚历山大大帝的政治观点或许并不是完全相同的。前者的政治观是建筑在即将衰亡的希腊城邦的基础上的，而亚历山大大帝后来建立的中央集权帝国对希腊人来说无异是野蛮人的发明。 公元前335年腓力浦去世，亚里士多德又回到雅典，并在那里建立了自己的学校。学园的名字（Lyceum）以阿波罗神殿附近的杀狼者（吕刻俄斯）来命名。在此期间，亚里士多德边讲课，边撰写了多部哲学著作。亚里士多德讲课时有一个习惯，即边讲课，边漫步于走廊和花园，正是因为如此，学园的哲学被称为“逍遥的哲学”或者“漫步的哲学”。亚里士多德的著作在这一期间也有很多，主要是关于自然和物理方面的自然科学和哲学，而使用的语言也要比柏拉图的《对话录》晦涩许多。他的作品很多都是以讲课的笔记为基础，有些甚至是他学生的课堂笔记。因此有人将亚里士多德看作是西方第一个教科书的作者。 亚历山大死后，雅典人开始奋起反对马其顿的统治。由于和亚历山大的关系，亚里士多德不得不因为被指控不敬神而逃亡加而西斯避难。他的学园则交给了狄奥弗拉斯图掌管。一年之后，公元前322年，亚里士多德去世，去世的原因是一种多年积累的疾病所造成的。关于他被毒死，或者由于无法解释潮汐现象而跳海自杀的传言是完全没有史实根据的。

哲学观

虽然亚里士多德是柏拉图的学生，但他却是第一个公开批评柏拉图的人。他特别反对的是柏拉图哲学中有关数学的部分。有人认为虽然亚里士多德熟知当时的数学，他却从来没有理解柏拉图的数学。 除此之外，亚里士多德对柏拉图的相论也有批评。虽然他同意一个事物的“形式”是恒古不变的，但他认为这个“形式”本身并不存在，而是人们在感受到实物后形成的概念。因此他认为，“形式”其实就是事物本身的特征。他指出，我们所拥有的任何一种想法、观念都是透过我们的感官进入我们的意识。 但是亚里士多德并不否认人有理性，正是有了理性，人才能将不同的感官印象区分开来。但是他同时指出，在人的感官经验到任何东西之前，理性是完全真空的。 亚里士多德认为自然界有因果关系的存在。他认为自然界有四种不同的原因，古希腊人的“原因”观念不同于近代以来的“因果性”观念，“原因”与“为什么”相对应，并不与“结果”相对应。即“目的因”、“质料因”、“动力因”和“形式因”。 亚里士多德在逻辑学方面则提出了所谓的三段论。他的这个理论在后来的两千年内，在西方一直是唯一被承认的论证形式。 伦理学方面，亚里士多德强调的是所谓“黄金比例”。这或许和希腊自然派哲学家的“和谐”概念类似。他认为，人不应该偏向哪一个极端，惟有平衡，人才能过快乐和谐的生活。 亚里士多德认为人是天生的政治动物，人不生存在社会中便不是真正的人。他还提出三种良好的政治制度：君主制、贵族政治和民主政治（他称之为“Polity”）。

科学观

亚里士多德在古希腊科学史上标志着一个转折点，因为他是最后提出一个整个世界体系的人，而且是第一个从事广泛经验考察的人。 在天文学方面，亚里士多德创立了运行的天体是物质实体的学说。 在物理学方面，亚里士多德认为各物体只有在一个不断作用着的推动者直接接触下，才能够保持运动。根据亚里士多德的说法，“真空”是不能存在的，因为空间必须装满物质。这样才能通过直接接触来传递物理作用。 后世的物理学家牛顿指出了亚里士多德这一论断的谬误，指出了“力不是保持物体运动的直接原因。力只能改变物体的运动状态。”可以说，在牛顿经典力学体系的大厦没有造起来之前，整个西方世界都被亚里士多德的物理学统治着。

艺术观

在戏剧方面，亚里士多德的《诗学》是第一部探讨古希腊悲剧艺术的总结性著作。他在书中提出了著名的“摹仿说”，认为悲剧“描写的是严肃的事件，是对有一定长度的动作的摹仿；目的在于引起怜悯和恐惧，并导致这些情感的净化；主人公往往出乎意料的遭到不幸，从而成悲剧，因而悲剧的冲突成了人和命运的冲突”。 这是艺术史上第一次对戏剧的本质做出探讨，更开创了亚里士多德的诗学传统。他的观点后来被古罗马的贺拉斯在《诗艺》中加以发挥，从而间接影响了整个西方艺术史。

外部链接


- [http://wikiquote.org/wiki/Aristotle 维基语录]
- [http://www.gutenberg.net/cgi-bin/search/t9.cgi?author=aristotle Gutenberg texts for Aristotle]
- [http://Aristotle.thefreelibrary.com/ A brief biography and e-texts presented one chapter at a time] Category:古希腊哲学家 Category:古希腊作家 Category:古希腊教育家 Category:前384年出生 Category:前322年逝世 ja:アリストテレス ko:아리스토텔레스 ms:Aristotle simple:Aristotle th:อริสโตเติล

莱布尼兹

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年—1716年)，是德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是微积分中使用的数学符号，因為牛顿使用的符号普遍認為比萊布尼茨的差。 Category:德国数学家 Category:德国哲学家 L L ja:ゴットフリート・ライプニッツ ko:고트프리트 라이프니츠 th:กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

乔治·布尔

乔治·布尔（George Boole，1815年～1864年）是皮匠的儿子，1815年11月生于英格兰的林肯。由于家境贫寒，布尔不得不在协助养家的同时为自己能受教育而奋斗，不管怎么说，他成了19世纪最重要的数学家之一。尽管他考虑过以牧师为业，但最终还是决定从教，而且不久就开办了自己的学校。在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。 1848年，布尔出版了《The Mathematical Analysis of Logic》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。1849年。他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。1854年，他出版了《The Laws of Thought》，这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。布尔撰写了微分方程和差分方程的课本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。布尔在1855年结婚，他的妻子使皇后校园一位希腊文教授的侄女。1864年，布尔死于肺炎，肺炎是他在暴风雨天气中尽管已经湿淋淋的了仍坚持上课引起的。

参考书目

1.Kenneth H·Rosen,袁崇义 屈婉玲 刘田 译，机械工业出版社，2002：2-2 ISBN 7-111-07577-3. Category:英国数学家 B B ja:ジョージ・ブール ko:조지 불

形式语言

形式语言是一个字母表上的某些有限长字串的集合。一个形式语言可以包含无限多个字串。

语言的形式定义

字母表 Σ 为任意有限集合，ε 表示空串， 记 Σ0 为，全体长度为 n 的字串为 Σn ， Σ
- 为 Σ0∪Σ1∪…∪Σn∪…， 语言 L 定义为 Σ
- 的任意子集。 注记：Σ
- 的空子集 Φ 与 是两个不同的语言。

语言间的运算

语言间的运算就是 Σ
- 幂集上的运算。
- 字串集合的交并补等运算。
- 连接运算：L1L2 = 。
- 幂运算：Ln = L … L （共 n 个 L 连接在一起），L0 = 。
- 闭包运算：L
- = L0∪L1∪…∪Ln∪…。
- （右）商运算：L1/L2 = 。

语言的表示方法

一个形式语言可以通过多种方法来限定自身，比如：
- 枚举出各个字串（只适用于有限字串集合）。
- 通过形式文法来产生（参见乔姆斯基谱系）。
- 通过正则表达式来产生。
- 通过某种自动机来识别，比如图灵机、有限状态自动机。

参见


- 计算机科学课程列表 Category:编译原理 Category:形式語言 ja:形式言語 ko:형식 언어

编译器

编译器，是将便于人编写，阅读，维护的高级计算机语言翻译为计算机能识别，运行的低级机器语言的程序。编译器将源程序（Source program）作为输入，翻译产生使用目标语言（Target language）的等价程序。源程序一般为高级语言（High-level language），如Pascal，C++等，而目标语言则是汇编语言或目标机器的目标代码（Object code），有时也称作机器代码（Machine code）。 一个现代编译器的主要工作流程如下：
- 源程序（source code）→预处理器（preprocessor）→编译器（compiler）→汇编程序（assembler）→目标程序（object code）→连接器（链接器，Linker）→可执行程序（executables]）

工作原理

翻译是从源代码（通常为高级语言）到能直接被计算机或虚拟机执行的目标代码（通常为低级语言或机器言）。然而，也存在从低级语言到高级语言的编译器，这类编译器中用来从由高级语言生成的低级语言代码重新生成高级语言代码的又被叫做反编译器。也有从一种高级语言生成另一种高级语言的编译器，或者生成一种需要进一步处理的的中间代码的编译器（又叫级联）。 典型的编译器输出是由包含入口点的名字和地址以及外部调用（到不在这个目标文件中的函数调用）的机器代码所组成的目标文件。一组目标文件，不必是同一编译器产生，但使用的编译器必需采用同样的输出格式，可以链接在一起并生成可以由用户直接执行的可执行程序。

编译器种类

编译器可以生成用来在与编译器本身所在的计算机和操作系统（平台）相同的环境下运行的目标代码，这种编译器又叫做“本地”编译器。另外，编译器也可以生成用来在其它平台上运行的目标代码，这种编译器又叫做交叉编译器。交叉编译器在生成新的硬件平台时非常有用。“源码到源码编译器”是指用一种高级语言作为输入，输出也是高级语言的编译器。例如: 自动并行化编译器经常采用一种高级语言作为输入，转换其中的代码，并用并行代码注释对它进行注释（如OpenMP）或者用语言构造进行注释（如FORTRAN的DOALL指令）。

预处理器（preprocessor）

作用是通过代入预定义等程序段将源程序补充完整。

编译器前端（frontend）

前端主要负责解析（parse）输入的源程序，由词法分析器和语法分析器协同工作。词法分析器负责把源程序中的‘单词’（Token）找出来,语法分析器把这些分散的单词按预先定义好的语法组装成有意义的表达式，语句 ，函数等等。 例如“a = b + c;”前端词法分析器看到的是“a, =, b , +, c;”，语法分析器按定义的语法，先把他们组装成表达式“b + c”，再组装成“a = b + c”的语句。 前端还负责语义（semantic checking）的检查，例如检测参与运算的变量是否是同一类型的，简单的错误处理。最终的结果常常是一个抽象的语法树（abstract syntax tree，或 AST），这样后端可以在次基础上进一步优化，处理。

编译器后端（backend）

编译器后端主要负责分析，优化中间代码（Intermediate representation）以及生成机器代码（Code Generation）。 一般说来所有的编译器分析，优化，变型都可以分成两大类： 函数内（intraprocedural）还是函数之间（interprocedural）进行。很明显，函数间的分析，优化更准确，但需要更长的时间来完成。 编译器分析（compiler analysis）的对象是前端生成并传递过来的中间代码，现代的优化型编译器（optimizing compiler）常常用好几种层次的中间代码来表示程序，高层的中间代码（high level IR）接近输入的源程序的格式，与输入语言相关（language dependent），包含更多的全局性的信息，和源程序的结构；中层的中间代码（middle level IR）与输入语言无关，低层的中间代码(Low level IR)与机器语言类似。 不同的分析，优化发生在最适合的那一层中间代码上。 常见的编译分析有函数调用树（call tree），控制流程图（Control flow graph），以及在此基础上的 变量定义－使用，使用－定义链（define-use/use-define or u-d/d-u chain），变量别名分析（alias analysis），指针分析（pointer analysis），数据依赖分析（data dependence analysis）等等。 上述的程序分析结果是编译器优化（compiler optimization）和程序变形（compiler transformation）的前提条件。常见的优化和变新有：函数内嵌（inlining），无用代码删除（Dead code elimination），标准化循环结构（loop normalization），循环体展开（loop unrolling），循环体合并，分裂（loop fusion，loop fission），数组填充（array padding），等等。 优化和变形的目的是减少代码的长度，提高内存（memory），缓存（cache）的使用率，减少读写磁盘，访问网络数据的频率。更高级的优化甚至可以把序列化的代码（serial code）变成并行运算，多线程的代码（parallelized，multi-threaded code）。 机器代码的生成是优化变型后的中间代码转换成机器指令的过程。现代编译器主要采用生成汇编代码（assembly code）的策略，而不直接生成二进制的目标代码（binary object code）。即使在代码生成阶段，高级编译器仍然要做很多分析，优化，变形的工作。例如如何分配寄存器（register allocatioin），如何选择合适的机器指令（instruction selection），如何合并几句代码成一句等等。

编译语言与解释语言对比

许多人将高级程序语言分为两类: 编译型语言 和 解释型语言 。然而，实际上，这些语言中的大多数既可用编译型实现也可用解释型实现，分类实际上反映的是那种语言常见的实现方式。（但是，某些解释型语言，很难用编译型实现。比如那些允许 在线代码更改 的解释型语言。）

历史

上世纪50年代，IBM的John Backus带领一个研究小组对FORTRAN语言及其编译器进行开发。但由于当时人们对编译理论了解不多，开发工作变得既复杂又艰苦。与此同时，Noam Chomsky开始了他对自然语言结构的研究。他的发现最终使得编译器的结构异常简单，甚至还带有了一些自动化。Chomsky的研究导致了根据语言文法的难易程度以及识别它们所需要的算法来对语言分类。正如现在所称的Chomsky架构（Chomsky Hierarchy），它包括了文法的四个层次：0型文法、1型文法、2型文法和3型文法，且其中的每一个都是其前者的特殊情况。2型文法（或上下文无关文法）被证明是程序设计语言中最有用的，而且今天它已代表着程序设计语言结构的标准方式。分析问题（parsing problem，用于上下文无关文法识别的有效算法）的研究是在60年代和70年代，它相当完善的解决了这个问题。现在它已是编译原理中的一个标准部分。 有限状态自动机（Finite Automaton）和正则表达式（Regular Expression）同上下文无关文法紧密相关，它们与Chomsky的3型文法相对应。对它们的研究与Chomsky的研究几乎同时开始，并且引出了表示程序设计语言的单词的符号方式。 人们接着又深化了生成有效目标代码的方法，这就是最初的编译器，它们被一直使用至今。人们通常将其称为优化技术（Optimization Technique），但因其从未真正地得到过被优化了的目标代码而仅仅改进了它的有效性，因此实际上应称作代码改进技术（Code Improvement Technique）。 当分析问题变得好懂起来时，人们就在开发程序上花费了很大的功夫来研究这一部分的编译器自动构造。这些程序最初被称为编译器的编译器（Compiler-compiler），但更确切地应称为分析程序生成器（Parser Generator），这是因为它们仅仅能够自动处理编译的一部分。这些程序中最著名的是Yacc（Yet Another Compiler-compiler），它是由Steve Johnson在1975年为Unix系统编写的。类似的，有限状态自动机的研究也发展了一种称为扫描程序生成器（Scanner Generator）的工具，Lex（与Yacc同时，由Mike Lesk为Unix系统开发）是这其中的佼佼者。 在70年代后期和80年代早期，大量的项目都贯注于编译器其它部分的生成自动化，这其中就包括了代码生成。这些尝试并未取得多少成功，这大概是因为操作太复杂而人们又对其不甚了解。 编译器设计最近的发展包括：首先，编译器包括了更加复杂算法的应用程序它用于推断或简化程序中的信息；这又与更为复杂的程序设计语言的发展结合在一起。其中典型的有用于函数语言编译的Hindley-Milner类型检查的统一算法。其次，编译器已越来越成为基于窗口的交互开发环境（Interactive Development Environment，IDE）的一部分，它包括了编辑器、连接程序、调试程序以及项目管理程序。这样的IDE标准并没有多少，但是对标准的窗口环境进行开发已成为方向。另一方面，尽管近年来在编译原理领域进行了大量的研究，但是基本的编译器设计原理在近20年中都没有多大的改变，它现在正迅速地成为计算机科学课程中的中心环节。 在九十年代，作为GNU项目或其它开放源代码项目的一部分，许多免费编译器和编译器开发工具被开发出来。这些工具可用来编译所有的计算机程序语言。它们中的一些项目被认为是高质量的，而且对现代编译理论感性趣的人可以很容易的得到它们的免费源代码。 大约在1999年，SGI公布了他们的一个工业化的并行化优化编译器Pro64的源代码，后被全世界多个编译器研究小组用来做研究平台，并命名为Open64。Open64的设计结构好，分析优化全面，是编译器高级研究的理想平台。

参见


- 计算机科学课程列表 category:系统软件 Category:程序设计工具 ja:コンパイラ ko:컴파일러 simple:Compiler th:ตัวแปลโปรแกรม

概念文字

概念文字是1879年出版的 Gottlob Frege 写的关于逻辑学的一本书。书名 Begriffsschrift 通常翻译成 concept writing 或 concept notation；书的完整标题把它标识为"模仿算术的纯思维的形式语言"。这本小书无可争议是亚里士多德之后在逻辑学领域最重要的出版物。Frege 开发他的形式逻辑系统的动机是类似于莱布尼兹对演算推论器的渴望。 Frege 定义了逻辑演算来支持他在数学基础上的研究。概念文字是书和其中定义的演算二者的名字。

记号和系统

演算介入了量词，因而本质上是经典的谓词逻辑，尽管使用了一种特异的二维记号(notation): 连结词和量词使用连接公式的线条来书写，而不是今天使用的符号(symbol) ¬、∧、∀。例如，在断定(judgement) B 和 A 之间的蕴涵，也就是 B \rightarrow A 用 Image:Kondicionaliskis.PNG 来指定。 在他的著作的第一章中，Frege 确定了基本概念和标号(sign),象命题("断定")，和全称量词("普遍性"(generality))，蕴含("条件性"(conditionality))，否定和等号 \equiv ；在第二章中他声明了九个形式化的命题作为公理(它们是在语义上证明的形式化陈述(statement))。 center 他给出了条件的定义(第 1 章. §5.): :"设 A 和 B 指称可断定的内容，则有四种潜在的可能性: 设 Image:Kondicionaliskis.PNG 标示(sign)第三种可能性是不能得到的，而只能是其他三种中的一个。所以如果我们否定 Image:Kondicionaliskis.PNG 就意味着第三种可能性是有效的，就是说我们否定了 A 并肯定了 B。"

Frege 著作中的演算

Frege 声明了九个重言式(tautology)断定作为公理。他以语义方式证明了它们，并以语法上的演绎证明了其他重言式断定。 # \vdash \ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) # \vdash \ \ \left[ \ A \rightarrow \left( B \rightarrow C \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ \left( A \rightarrow B \right) \rightarrow \left( A \rightarrow C \right) \ \right] # \vdash \ \ \left[ \ D \rightarrow \left( B \rightarrow A \right) \ \right] \ \rightarrow \ \left[ \ B \rightarrow \left( D \rightarrow A \right) \ \right] # \vdash \ \ \left( B \rightarrow A \right) \ \rightarrow \ \left( \lnot A \rightarrow \lnot B \right) # \vdash \ \ \lnot \lnot A \rightarrow A # \vdash \ \ A \rightarrow \lnot \lnot A # \vdash \ \ \left( c=d \right) \rightarrow \left( f(c) = f(d) \right) # \vdash \ \ c = c # \vdash \ \ \left( \ \forall a : f(a) \ \right) \ \rightarrow \ f(c) Frege 在第二章中历数了被形式化的命题；成为了他的公理的是第 1st, 2nd, 8th, 28th, 31st, 41st, 52nd, 54th, 58th 个命题。 他在这章中还声明了两个推理规则: 它们是肯定前件(modus ponens); 和代换律。在第一章中他宣布了一个约定，"普遍化律"。这意味着如果"自由"变量能在一个断定中找到，则把它当作全称量化的，依据 Frege 的定律，在 \vdash 标号("断定符号")之后的，被固定的(fixed)变量是断定，而不是"开放的"公式，也就是谓词。 Frege 在第二和第三章中在语法上证明了一百多个形式陈述。第三章("Parts from a general series theory")是对他在建造算术上做的工作的介绍。

对其他著作的影响

它的记号的某些痕迹幸存了: 被逻辑学家非正式的叫做"十字转门"(turnstile)的符号 \vdash 演化自 Frege 的 "Inhaltsstrich" ── 和 "Urteilsstrich" │。Frege 在 Begriffsschrift 中以合一的形式 ├─ 使用这些符号来声明一个命题是(重言式)真的，而不是简单的宣布它. 他使用 "Definitionsdoppelstrich" │├─ 作为表示一个命题是一个定义的符号。 在 Tractatus Logico Philosophicus 中，Ludwig Wittgenstein 通过使用术语 Begriffsschrift 作为逻辑形式主义的同义词来表达对 Frege 的敬意。 在 Frege 后来的著作 "Sense and reference" 中，它放弃了在本书中关于同一性达成的某些结论(用数学上的 = 号来标记)。

一段引文

"如果哲学的任务是打破言辞在表达人类思想上的统治 [...], 那么我的概念记号，就是为这个目的而开发的，它能够成为哲学家的有用的工具 [...] 我认为，只是通过发明这些概念记号，逻辑的本质(matter)就已经被促进了(forward)。" :Begriffsschrift [前言]

引用


- Gottlob Frege. Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
- Risto Vilkko, 1998. 'The reception of Frege's Begriffsschrift'. Historia Mathematica 25(4):412-422.

参见


- 弗雷格的命题演算

外部链接


- [http://plato.stanford.edu/entries/frege-logic/ "Frege 的逻辑学" 于 Stanford 哲学百科全书] Category:逻辑 Category:數學書籍

伯特兰·罗素

伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872年5月18日－1970年2月2日）是二十世纪最有影响力的哲学家、数学家和逻辑学家之一，同时也是活跃的政治活动家，并致力于哲学的大众化、普及化。无数人将罗素视为这个时代的先知，而与此同时罗素的许多政治立场却又是十分有争议性的。他出生于1872年，當時大英帝国正值巅峰，逝于1970年，此时英国经历過两次世界大战，其帝國已經沒落。 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品，持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。

生平

罗素出生于英国威尔士（Ravenscroft）的一个贵族家庭，祖父约翰·罗素勋爵（Lord John Russell）在1840年代曾两次出任英国首相，父亲安伯雷子爵（Viscount Amberley）在当时是一名极端开放的无神论者，甚至允许自己的妻子与孩子的家庭教师发生关系。罗素的母亲也出生贵族，她在罗素2岁时便去世了，2年后，罗素的父亲也去世。罗素是这个辉格党家庭的第二个儿子，他的教父是哲学家约翰·斯图亚特·弥尔。 在双亲去世后，罗素和他的哥哥富兰克·罗素（未来的罗素勋爵二世）就由祖父母抚养长大。与当时其他上流社会的子女一样，罗素由家庭教师专门教授。罗素在17岁时认识了美国人阿莉丝·皮尔索尔·史密斯（Alys Pearsall Smith），很快便爱上了这位姑娘，两人在1894年结婚。这段婚姻在1911年宣告结束，主要是因为罗素的不专情：他和包括奥特林·莫瑞尔（Ottoline Morrell）夫人在内的多人都曾有过亲密的接触。 1890年罗素进入剑桥大学三一学院学习哲学、逻辑学和数学，1908年成为学院的研究员并获选为英国皇家学会成员。1920年罗素访问俄国和中国，并在北京讲学一年。1921年，罗素与前妻离婚后与荳拉·勃拉克（Dora Black）结婚，他们育有2个孩子。这期间罗素已经因为参与反战活动而被校方开除，他通过出版各种有关物理、伦理和教育方面的书籍谋生。1927年夫妇俩人共同建立了一所教育实验学校皮肯·希尔学校(Beacon Hill School)。 1931年罗素的哥哥去世，罗素继承爵位，成为罗素勋爵三世。但是他很少在公开场合这么称呼自己，或被别人这样称呼。 罗素和荳拉·勃拉克业很快因他与一个美国记者的一段婚外情而告终。1936年罗素再与一名牛津大学学生派屈西亚·斯彭斯（Patricia Spence）结婚，他们最初是在1930年认识的。两人也生有1个儿子康拉德（Conrad）。1939年罗素搬到美国，到加利福尼亚大学洛杉矶分校讲学，并很快被任命为纽约城市大学教授。但是当这个消息一曝光，地方法院就取消了他的教授资格，认为他在“道德上”无法胜任教授一职。他在1944年回到英国，并重新执教于三一学院。 1952年罗素再度离婚，和一名美国的英语教授结婚。1960年代罗素出版了自己的三卷自传，并曾参与了肯尼迪遇刺事件的调查。1970年去世，骨灰被撒在威尔士的群山之中。他的爵位由其与多拉的儿子约翰·康拉德·罗素继承，为罗素勋爵四世。罗素勋爵四世于1987年去世，爵位由罗素的小儿子康拉德·罗素继承，为罗素勋爵五世，这位罗素勋爵五世是位受尊敬的历史学家以及英国上议院成员。罗素勋爵五世于2004年10月去世，爵位由1968年出生的他的儿子，也就是罗素的孙子，尼古拉斯·罗素继承，为罗素勋爵六世。

哲学思想与贡献

罗素最早对数学产生兴趣，然后才逐渐转向哲学方面，因此他在数学方面也有很多重要的建树。在数理逻辑方面，罗素提出了罗素悖论。罗素在1900年便认识到，数学是逻辑学的一部分。1910年，他和他的老师阿尔弗雷德·诺斯·怀特海一起发表了三卷本的《数学原理》，在其中对这一概念做了初步的系统整理。 哲学上罗素最大的贡献是和G·E·摩尔一起创立了分析哲学，此外他还在认识论、形而上学、伦理学、政治哲学和哲学史方面做出过贡献。在剑桥大学时罗素信奉唯心主义和新黑格尔主义，但是在1898年在摩尔的影响下罗素放弃了唯心主义，转而研究现实主义，并很快成为“新现实主义”的倡导者。罗素此后始终强调现代逻辑学和科学的重要性，批判唯心论。 罗素的分析哲学由此诞生：通过将哲学问题转化为逻辑符号，哲学家们就能够更容易地推导出结果，而不会被不够严谨的语言所误导。罗素认为哲学和其他自然科学的不同只是在于其研究的方向（哲学研究更广泛的内容），但他们的研究方法应该是相同的。哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的一种理想的逻辑语言。 在伦理学和道德方面，罗素持的是开放态度，认为过多的道德束缚是人类不幸的根源，道德不应限制人类本能的快乐，因此提倡试婚、离婚从简和节育等，认为未婚男女在双方都愿意的情况下发生性关系并非是不道德的行为，这种观点使他在美国遭到激烈抗议，最终还导致他失去了纽约城市大学的教授职务。在教育方面罗素认为学生的言行举止不应受到约束与限制，在这一思想的影响下他和他的第二任妻子于1927年一起创立了一所试验学校。

和平运动

罗素是一名和平主义者，他曾反对英国参与第一次世界大战，并因此被罚款并丧失了三一学院的教职。1918年他还因反战活动而判刑6个月。在第二次世界大战之前，他曾支持过绥靖政策，但是后来又支持与纳粹德国作战，因为他意识到希特勒必须被消灭，否则将给人类文明带来灾难。罗素始终认为，任何战争都是罪恶的，但是在一些特殊的情况下，战争是在很多种罪恶中较轻的一种。 1948年11月20日，在对威斯敏斯特学校学生的一篇演说中，罗素惊人地指出，美国应该先发制人，用核武器彻底摧毁苏联，因为这样的后果要比苏联研制出核武器后爆发核战争好得多。但是之后罗素改变了看法，认为核武器裁军是最好的解决办法，并从此致力于核裁军运动。1954年氢弹爆破成功，罗素进一步意识到核武器将可能给人类带来的灾难。1954年4月，罗素发表了著名的《罗素—爱因斯坦宣言》，“号召世界各政府体会并公开宣布它们的目的不能发展成世界大战，而我们号召它们，因此在解决它们之间的任何争执应该用和平手段”。除了爱因斯坦在临终前签字外，汤川秀树和萊納斯·鮑林等多位科学家都在宣言上签字。1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成立了一个民间法庭（后來称为“罗素法庭”），揭露美国的战争罪行。 在肯尼迪遇刺事件发生后，罗素是最早几个对官方的事件版本提出异议的人之一，并罗列出了案件的16个疑点。 在宗教上罗素相信上帝不存在，但是无法证明；政治上罗素的立场接近于民主社会主义：他支持政府为穷人提供基本的生活保障，但是反对共产政权的极权统治。

著作


- 《哲学问题》
- 《西方哲学史》，1954年
- 《幸福之路》1930
- 《我的哲学发展》1959
- 《婚姻与道德》1929（因书获得诺贝尔奖）
- 《教育與社會秩序》1932
- 《權威與個人》
- 《科學的未來》
- 《我們對外在世界的認識》
- 《權力:一種新的社會分析》
- 《數學原論》
- 《中國問題》
- 《宗教與科學》
- 《工業文明的前景》
- 《自由之路》
- 《文明之路》
- 《我為什麼不是基督徙》
- 《人類為什麼戰鬥》

外部連結


- [http://www.chineseliterature.com.cn/zongjiao/index1/010.htm 哲学宗教--作者总览--罗素] 罗素 Category:分析哲學 R R R ja:バートランド・ラッセル ko:버트런드 러셀 th:เบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์

计算机科学

计算机科学是一门包含各种各样与计算和信息处理相关主题的系统学科，从抽象的算法分析、形式化语法等等，到更具体的主题如编程语言、程序设计、软件和硬件等。作为一门学科，它与数学、计算机程序设计、软件工程和计算机工程有显著的不同，却通常被混淆，尽管这些学科之间存在不同程度的交叉和覆盖。 计算机科学研究的课题是：
- 计算机程序能做什么和不能做什么（可计算性）；
- 如何使程序更高效的執行特定任務（算法和复杂性理论）；
- 程序如何存取不同类型的数据（数据结构和数据库）；
- 程序如何显得更具有智能（人工智能）；
- 人类如何与程序沟通（人机互动和人机界面）。 计算机科学的大部分研究是基于“冯·诺依曼计算机”和“图灵机”的，它们是絕大多數实际机器的计算模型。作为此模型的开山鼻祖，邱奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）表明，尽管在计算的时间，空间效率上可能有所差异，现有的各种计算设备在计算的能力上是等同的。尽管这个理论通常被认为是计算机科学的基础，可是科学家也研究其它种类的机器，如在实际层面上的并行计算机和在理论层面上概率计算机、oracle 计算机和量子计算机。在这个意义上来讲，计算机只是一种计算的工具：著名的计算机科学家 Dijkstra 有一句名言“计算机科学并不只是关于计算机的，正如天文学并不只是关于望远镜一样”。 计算机科学根植于电子工程、数学和语言学，是科学、工程和艺术的结晶。它在20世纪最后的三十年间兴起成为一门独立的学科，并发展出自己的方法与术语。 早期，虽然英国的剑桥大学和其他大学已经开始教授计算机科学课程，但它只被视为数学或工程学的一个分支，并非独立的学科。剑桥大学声称有世界上第一个传授计算的资格。世界上第一个计算机科学系是由美国的普渡大学在1962年设立，第一个计算机学院於1980年由美国的东北大学设立。现在，多数大学都把计算机科学系列为独立的部门，一部分将它与工程系、应用数学系或其他学科联合。 计算机科学领域的最高荣誉是ACM设立的图灵奖，被誉为是计算机科学的诺贝尔奖。它的获得者都是本领域最为出色的科学家和先驱。华人中首获图灵奖的是姚期智先生.他于2000年以其对计算理论做出的诸多“根本性的、意义重大的”贡献而获得这一崇高荣誉。

计算机系统

计算机系统可划分为软件系统与硬件系统两大类。

硬件


- 结构控制和指令系统
- 算法和逻辑结构
- 存