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数学结构

数学结构

在数学中，一个集合上的结构，或者更一般的讲类型，是由附加在该集合上的数学对象所组成，它们使得这个集合更易操作或赋予它们特殊的意义。部分可能的结构包括测度，代数结构，拓扑，度量结构(几何)，序，和等价关系等等。有时候，一个集合同时有几种结构；这使得可研究的属性更丰富。例如，序可以导出一种拓扑。又如，如果一个集合有个拓扑并是一个群，而且这两个结构满足一定关系，则该集合成为一个拓扑群。

例子：实数

实数集有几个标准结构：
- 序：任意一个数或者小于或者大于另外一个数。
- 代数结构：乘法和加法使其成为一个域。
- 测度：实直线上的区间有长度。
- 几何：它有一个度量，并且是平直的.
- 拓扑：数和另外一个数有远近关系. 这些关系互相关联：
- 序和度量分别导出它的拓扑。
- 序和代数结构使它成为有序域。
- 代数结构和拓扑使它成为李群(一种拓扑群)。结构 ja:数学的構造

数学

数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。

历史

:主页面：数学史数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。

数学不是……

数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。数学不是物理，虽然历史和哲学上两者关系密切。

参考书目

- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
- Gullberg, Jan: Mathematics-From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitions, theorems and references.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
- 数学--它的内容,方法和意义

参考网址

- [http://www.11abc.com/science/maths.htm 数学网址]（数学网址）。
- Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas]（英文版）现代数学漫游。
- Weisstein, Eric: [http://www.mathworld.com/ World of Mathematics]，一个在线的数学百科全书。
- [http://planetmath.org/ Planet Math]，另一个在线的数学百科全书，使用GFDL，允许和维基百科交换条目。
- [http://www.mathforge.net/ MathForge]，一个包含数学、物理、计算机科学和教育等范畴的新闻网志。
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/ EpisteMath｜数学知识]。
- 香港科技大学:[http://www.edp.ust.hk/math/ 数学网]，一个以数学史为主的网站。 Category:数学 Category:自然科学 Category:科学 ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

集合

集合（或簡稱集）是基本的数学概念，它是集合论的研究对象。最簡單的說法，即是在最原始的集合論─朴素集合論─中的定義，集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。集合是现代数学中一个重要的基本概念。集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，在小学时就开始学习了。这里对被数学家们称为"直观的"或"朴素的"集合论进行一个简短而基本的介绍；更详细的分析可见朴素集合论。对集合进行严格的公理推导可见公理集合论。

导言

非正式的，一个集合就是将几个对象适当归类而作为一个整体。集合中的对象称作元素或成员。集合中的元素可以是任何东西：数字，人，字母，别的集合，等等。集合通常表示为大写字母 A， B， C，等等。两个集合 A 和 B 相等，写作 A = B，如果它们有相同的元素。

集合的表示

- 集合可以用文字描述，比如： :A = 大于零的前三个自然数 :B = 红色、白色、蓝色和绿色
- 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，比如： :C = :D = 尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因为它们正好有相同的元素。元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都没有关系。比如：这三个集合，和是相同的，同样因为它们有相同的元素。
- 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。

集合的元素个数

上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素，而集合 B 有四个。集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用符号

\varnothing

表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它没有元素，则 A =

\varnothing

。就像数字零，看上去微不足道，而在数学上，空集非常重要。更多信息请看空集。集合也可以有无穷多个元素。比如：自然数的集合是无穷大的。关于无穷大和集合的大小的更多信息请见集合的势。

子集

如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A ⊆ B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，写作 A ⊂ B。势举例： :
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 :
- 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。 :
- ⊂ :
- ⊆ 空集是所有集合的子集，而所有集合都是其本身的子集： :
-

\varnothing

⊆ A :
- A ⊆ A 更多信息，请见子集。

并集

有多种方法通过现有集合来构造新的集合。两个集合可以相"加"。A 和 B 的并集，写作 A ∪ B，是或属于 A 的、或属于 B 的所有元素组成的集合。子集举例： :
- ∪ = :
- ∪ = :
- ∪ = 并集的一些基本性质 :
- A ∪ B   =   B ∪ A :
- A  ⊆  A ∪ B :
- A ∪ A   =  A :
- A ∪

\varnothing

= A 更多信息，请见并集.

交集

一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。A 和 B 的交集，写作 A ∩ B，是既属于 A 的、又属于 B 的所有元素组成的集合。若 A ∩ B =

\varnothing

，则 A 和 B 称作不相交。并集举例： :
- ∩ =

\varnothing

:
- ∩ = :
- ∩ = 交集的一些基本性质 :
- A ∩ B   =   B ∩ A :
- A ∩ B   ⊆   A :
- A ∩ A   =   A :
- A ∩

\varnothing

\varnothing

更多信息，请见交集。

补集

两个集合也可以相"减"。A 在 B 中的相对补集，写作 B − A，是属于 B 的、但不属于 A 的所有元素组成的集合。在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U 的子集。这样， U − A 称作 A 的绝对补集，或简称补集，写作 A′。全集补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。举例： :
- − = :
- − = :
- − =

\varnothing

:
- 若 U 是整数集，则奇数的补集是偶数补集的基本性质： :
- A ∪ A′ = U :
- A ∩ A′ =

\varnothing

:
- (A′)′ = A :
- A − B = A ∩ B′ 更多信息，请见补集。

公理集合論

把集合看作“一堆東西”會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理集合論。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。

類

在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，我们把这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算是并不都能进行的。定义类A如果满足条件“

\exists B(A\in B)

”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为

Set(A)

。否则称为本性类。这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。参见：公理化数学 -- 类的理论 -- 罗素公理体系 -- 集合代数 category:集合论 category:数据结构 ja:集合 ko:집합

拓扑

- 一般所说的拓扑指的是数学的一个分支，参见拓扑学。
- 拓扑也是拓扑学中定义的一个数学概念，参见拓扑空间。
- 拓扑一词也应用于计算机通信和网络等领域，参见网络拓扑。

几何

几何学是研究空间关系的数学分支，有时简称为几何。中文“几何”一词，为明代徐光启所创，希腊语原意为“测地术”。

簡史

几何学有悠久的历史。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构做出一系列的命题。可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。一千年后，笛卡儿在《方法论》的附錄《几何》中，将坐标引入几何，帶來革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。实际上，几何问题的代数化在中国数学史上是显著的方法。笛卡儿的创造，是否有东方数学的影响在里面，由于东西方数学交流史研究的欠缺，尚不得而知。欧几里得几何学的第五公设，由于并不自明，引起了历代数学家的关注。最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何。几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。

分支学科

- 平面几何
- 立体几何
- 非欧几何
- 罗氏几何
- 黎曼几何
- 解析几何
- 射影几何
- 仿射几何
- 代数几何
- 微分几何
- 计算几何
- 拓扑学 Category:几何学 ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

实数

数学上，实数直观地定义为和数线上的点一一对应的数。本來實數只喚作數，後來引入了虚数概念，原本的數稱作“實數”——意義是“實在的數”。实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或

\Bbb

表示。而 Rⁿ 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

历史

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

定义

從有理數构造實數

實數可以不同方式從有理數构造出來。这里给出其中一种，其他方法请詳見實數的构造。

公理的方法

设 R 是所有实数的集合，则：
- 集合 R 是一个域：可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
- 域 R 是个有序域，即存在全序关系 ≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
- 若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z；
- 若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
- 集合 R 满足戴德金完备性，即任意 R 的非空子集 S (

S \in R, S\ne\emptyset

)，若 S 在 R 内有上界，那么 S 在 R 内有上确界。最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在有理数上确界（因为

\sqrt2

不是有理数）。實數通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个戴德金完备的有序域 R₁ 和 R₂，存在从 R₁ 到 R₂ 的唯一的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

例子

- 15 (整数)
- 2.121 (有限小数)
- 1.3333333... (无限循环小数)
- π = 3.1415926... (无限不循环小数)
-

\sqrt3

(无理数)
-

\frac1 3

(分数)

性质

完備性

作为度量空間或一致空間，實數集合是个完备空间，它有以下性质： :所有實數的柯西序列都有一個實數極限。有理數集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。实际上，它有個實數極限

\sqrt 2

。實數是有理數的完备化——這亦是构造實數集合的一种方法。極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於欧几里德几何的直線沒有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。
- 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。
- 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。
- 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。
- “完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

- 实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于自然数的个数（尽管两者都是无穷大）。这一点，可以通过康托尔对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2^ω（请参见连续统的势），即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数，绝大多数实数是超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确，这是因为它和集合论的公理不相关。
- 实数集构成了一个度量空间：x 和 y 间的距离定义为绝对值 |x - y|。作为一个全序集，它也具有序拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑是一样的。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。
- 所有非负实数的平方根属于 R，但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且，所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。
- 实数集拥有一个规范的测度，即勒贝格测度。
- 实数集的上确界公理用到了实数集的子集，这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim-Skolem 定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题；2. 超实数的集合远远大于 R，但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在 R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在 R 中也成立。

扩展与一般化

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：
- 最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。
- 实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
- 有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。
- 希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集：它们可以是有序的（尽管不一定全序）、完备的；它们所有的特征值都是实数；它们构成一个实结合代数。

请参阅

- 有理数
- 无理数
- 虚数
- 复数 Category:實數 ja:実数 ko:실수 th:จำนวนจริง

长度

长度是一维空间的度量。

单位

参阅

- 距离
- 曲线
- 面积
- 体积 Category:物理量 ja:長さ ko:길이

埃赫那吞

左对齐

阿蒙霍特普四世(Amenhotep IV，1377-公元前1360年），古埃及第十八王朝法老（公元前1379年-公元前1362年在位）。全名尼费尔萨普鲁拉
- 阿蒙霍泰普（阿蒙若非斯）。阿蒙霍特普三世之子，最初三年是与父亲共治。伟大的宗教改革家。在位时进行宗教改革，立阿顿（或译阿吞）为新主神。将自己的名字由阿蒙霍特普（意为阿蒙的仆人）改为埃赫那顿（意为阿顿的仆人），迁都至新建的埃赫塔顿(Akhetaton,意为阿顿光辉普照之地，其址在今日之泰尔.埃尔—阿马尔那）。编阿顿颂诗。因埃及阿蒙祭司的强大阻力，死后不久改革即遭废止。由于他的改革，这一时期的埃及艺术呈现出一种新的特点，常被称为阿马尔那风格。其风格为取法自然，着重写实。在他统治时期，埃及在叙利亚和巴勒斯坦的领地逐渐丧失。有关他的重要文物有阿马尔那文书。他死后其弟斯门卡拉继承王位娶埃赫塔吞第一女美丽塔吞为王后，其后政局混乱政府各职能均一定程度的衰退，斯门卡拉执政3年后不明原因的死亡，其弟图坦卡蒙继位娶了埃赫塔吞的第三女安凯塞帕吞。其后十年坦卡蒙大约被谋杀，艾伊继位，艾伊死后才由尼列姆赫布继位——埃及几十年的政治风波才算结束。值得一提的是他的王后那费尔提蒂——米坦尼人，15岁时嫁给阿蒙霍泰普三世，原名塔杜萨巴，后来由转嫁埃赫塔吞，关于阿马尔那风格的艺术品——多是描绘国王与王后的幸福生活为主题，但是在他们的长女13岁的时候，艾赫塔吞将“伟大的王后”一衔转授给他的女儿，尼费尔提蒂失宠回到了第比斯，并导致的王室改革派的分裂，国王失去了他最宝贵的改革支持者。最后阿尔玛那风格的所有艺术品中，所有的盛赞都落到了这位绝色佳人的雕像上，虽然那是图坦卡蒙时期的作品。 Category:法老 ja:アメンホテプ4世

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