数学基础数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明理论，模型理论，和递归理论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?
目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上，所有现在的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在这个观点下，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们选择我们现在所用的而不是其他的公理，为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的，为什么"真"数学命题(例如，算数的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被Eugene Wigner在1960年叫做数学在自然科学中无理由的有效性(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。
上述的形式化真实性也可能完全没有意义：完全可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为歌德尔第二不完备定理的一个结果，我们永远不可能知道事情是不是就是这样。
在数学现实主义(有时也叫柏拉图主义)中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有同样的地位，而"有效性"不再"无理由"。不仅是我们的公理，而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么，明显的问题在于，我们如何接触这个世界？
一些数学哲学的现代理论不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于数学实践，把目标设定于描述和分析数学家作为社交群体的真实工作。其他的试图创造一个数学认知科学，聚焦于把人类的认知作为数学应用到"现实世界"时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。
参见
- 数学哲学
- 数学准经验主义
来源
- [http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences], Eugene Wigner, 1960;
- What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
- Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
- Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
- Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.
外部链接
- [http://www.math.psu.edu/simpson/hierarchy.html What is Foundations of Mathematics?]
- [http://www.math.psu.edu/simpson/papers/philmath/ Logic and Mathematics]
- [http://www.cs.nyu.edu/mailman/listinfo/fom/ Foundations of Mathematics mailing list]
Category:数学
Category:数理逻辑
数学
数学最早是研究量、结构、变化以及空间模型的学科。在现代，数学又是利用逻辑形式研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，尽管对某一特定结构的研究往往属于自然科学，特别是物理学的范畴。同时由于数学自身的发展，数学家也要研究纯粹属于数学内部的结构。
创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。
历史
:主页面：数学史
数学，起源于人类早期的生产活动，为古中国六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。
数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。
对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。
对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里德几何学和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里德几何学，在相对论中扮演着重要角色。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
数学不是……
数学不是占数术。数学的证明或反证明的意念都要在逻辑之中进行，占数术却非。
数学不是会计学。虽然会计师的工作就是算术运算，他们只需检查计算是否准确。证明和反证假设对数学家很重要，但对会计师毫不重要。如果高等抽象数学的发展不能改善簿记的精确性和效率，和会计学毫无关系。
数学不是物理，虽然历史和哲学上两者关系密切。
参考书目
- Davis, Philip J.; Hersh, Reuben: The Mathematical Experience. Birkhäuser, Boston, Mass., 1980. A gentle introduction to the world of mathematics.
- Gullberg, Jan: Mathematics-From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. An encyclopedic overview of mathematics presented in clear, simple language.
- Mathematical Society of Japan: Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed.. MIT Press, Cambridge, Mass., 1993. Definitions, theorems and references.
- Michiel Hazewinkel (ed.): Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. A translated and expanded version of a Soviet math encyclopedia, in ten (expensive) volumes, the most complete and authoritative work available. Also in paperback and on CD-ROM.
- 数学--它的内容,方法和意义
参考网址
- [http://www.11abc.com/science/maths.htm 数学网址]（数学网址） 。
- Rusin, Dave: [http://www.math-atlas.org/ The Mathematical Atlas]（英文版）现代数学漫游。
- Weisstein, Eric: [http://www.mathworld.com/ World of Mathematics]，一个在线的数学百科全书。
- [http://planetmath.org/ Planet Math]，另一个在线的数学百科全书，使用GFDL，允许和维基百科交换条目。
- [http://www.mathforge.net/ MathForge]，一个包含数学、物理、计算机科学和教育等范畴的新闻网志。
- [http://episte.math.ntu.edu.tw/ EpisteMath｜数学知识]。
- 香港科技大学:[http://www.edp.ust.hk/math/ 数学网]，一个以数学史为主的网站。
Category:数学
Category:自然科学
Category:科学
ja:数学
ko:수학
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zh-min-nan:Sò·-ha̍k
数理逻辑数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史
“数理逻辑”的名称由皮亚诺（Peano）首先给出，他又称其为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和兰伯特（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论据的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语形”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的里程碑式著作有哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）和伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）。
数理逻辑论的体系
数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归函数论。有时还包括公理集合论。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，这是因为许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，比如说象阿兰·图灵。
程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。
柯里－霍华德同构（Curry-Howard isomorphism）给出“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算以及其它演算和组合逻辑现在属于理想程序语言。
计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。
一些基本结果
一些重要结果是：
- 一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是哥德尔完备性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。
- 有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在检测普遍有效性的算法。尽管以下算法存在：对此算法输入一个一阶公式，如果这个一阶公式是普遍有效的，那么算法将在某一时刻停机，如果不是普遍有效的，那么算法将会永远不停地计算下去。然而，即使算法已经运行了亿万年，公式是否有效仍是未知数。换句话说，这一集合是“递归可数的”，用更通俗的话来讲，是“半可判定的”。
- 普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可数的。这是哥德尔不完备定理的一个结果。
- 勒文海姆-斯科伦定理（Löwenheim-Skolem theorem）。
- 相继式演算（sequent calculus）中的切割－消去法。
- 保罗·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。
技术参考
一阶语言和结构
定义 一阶语言 是一组独特的印刷上的符号，分类如下:
# 等价符号 ；连结词 ，；全称量词 和圆括号 ，。
# 变量符号的可数集合 。
# 常量符号的集合 。
# 函数符号的集合 。
# 关系符号的集合 。
所以，要指定一个语言，通常只指定一组常量符号、函数符号和关系符号就足够了，因为第一组符号是标准的。圆括号只充当形成符号的群组的目的，在公式中书写函数和关系的时候被非形式的使用。
这些符号就是符号。它们不代表任何东西。他们不意味任何事物。加入语义和语言学要点对数学语言的形式化是没有用的。
因为确实需要在这些形式化之外获得某些意义。在语言之上的模型的概念就提供着这种语义。
定义 在语言 上的 -结构是由非空集合 构成的包(bundle)，它是结构的全集，包括了:
# 对于来自 的每个常量符号 ，有一个元素 。
# 对于来自 的每个 -元函数符号 ，有一个 -元函数 。
# 对于来自 的每个 -元关系符号 ，有一个在 上的 -元关系，就是说一个子集 。
在这个上下文中对这种结构使用模型这个词。但是理解它的动机或许是重要的，见下。
项、公式和句子
定义 -项是来自 的符号的非空有限字符串 ，如
- 是一个变量符号。
- 是一个常量符号。
- 是形如 的字符串，这里的 是 -元函数符号而 , ..., 是 的项。
定义 -公式是来自 的符号的非空有限字符串 ，如
- 是形如 的字符串，这里的 和 是 的项。
- 是形如 的字符串，这里的 是 -元关系符号而 , ..., 是 的项。
- 形如 ，这里的 是 -公式。
- 形如 ，这里的 和 二者是 -公式。
- 形如 ，这里的 是来自 的变量符号而 是 -公式。
定义 由要么第一个要么第二个子句来特征描述的 -公式被称为原子。
定义 设 是一个 -公式。来自 的变量符号 被称为在 中是自由的，如果
- 是原子，而 出现在 中。
- 形如 ，而 在 中是自由的。
- 形如 ，而 在 或 中是自由的。
- 形如 ，这里的 和 不是同一个变量符号而 在 中是自由的。
定义 句子是没有自由变量的公式。
指派函数
此后， 将指称一阶语言， 是 -结构，它下层的全集用 指称。每个公式都将被理解为 -公式。
定义 到 的变量指派函数(v.a.f.)是自 的变量集合到 的函数。
定义 设 是到 的 v.a.f.。我们定义项指派函数(t.a.f.) ，自 -项的集合到 ，如:
- 如果 是变量符号 ，则 。
- 如果 是常量符号 ，则 。
- 如果 形如 ，则 。
定义 设 是到 的 v.a.f.，假定 是一个变量而 。我们定义 v.a.f. ，指称为 -指派函数的修改 ，为
逻辑满足
定义 设 是公式，并假定 是到 的 v.a.f.。我们称 通过指派 满足 ，并写为 ，如果:
- 形如 ，而 。
- 形如 ，而 。
- 形如 ，而 。
- 形如 ，而 或者 。
- 形如 ，而对于每个元素 ，。
定义 设 是公式，并对到 的每个 v.a.f. 假定 。则我们称 建模 ，并写为 。
定义 设 是公式的集合，并对每个公式 假定 ，则我们称 建模 ，并写为 。
在 是句子的情况下，就是没有自由变量的公式，存在一个单一的 v.a.f.，对于它 ，直接的蕴涵了 。
定义 设 是一个句子，并假定 。则我们称 为在 中是真实的。
逻辑蕴含和真实
定义 设 和 是公式的集合。我们称 为逻辑蕴涵 ，并写为 ，如果对于所有结构 ， 蕴涵 。
作为简写，在处理单元素集合(singleton)的时候，我们经常写 替代 。
定义 设 是公式，并假定 。则我们称 是全集有效，或者简单有效，在这种情况下我们简单的写为 。
假如公式 是有效的，实际上意味着所有 -结构 建模 。
定义 设 是一个句子，并假定 。则我们称 为真实的。
变量代换
定义 设 是项，并假定 是变量，而 是另一个项。我们定义这个项 ，读做把 替换为 的 ，如下:
- 如果 是变量符号 ，则 被定义为是项 。
- 如果 是不是 的变量符号，则 被定义为项 。
- 如果 是常量符号，则 被定义为项 。
- 如果 形如 ，则 被定义为项 。
定义 设 是公式，并假定 是变量，而 是项。我们定义公式 ，读做把 替换为 的 ，如下:
- 如果 形如 ，则 被定义为公式 。
- 如果 形如 ，则 被定义为公式 。
- 如果 形如 ，则 被定义为公式 。
- 如果 形如 ，则 被定义为公式 。
- 如果 形如 ，则
- 如果 and 是同一个变量符号，则 被定义为公式 。
- 否则 被定义为公式 。
可代换性
定义 设 是公式，并假定 是变量，而 是项。我们称 对 在 中是可代换的，如果:
- 是原子。
- 形如 ，而 对 在 中是可代换的。
- 形如 ，而 对 在 和 二者中是可代换的。
- 形如 ，而
- 要么 在 中不是自由变量。
- 要么 在 中不出现，而 对 在 中是可代换的。
项于变量的可代换性的概念相应于在代换在项或公式中完成之后保持真实性的概念。严格的说，代换总是允许的，但可代换性将是强制的，以此生成意义不被代换所破坏的公式。
引用
- A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000). Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521779111.
- George Boolos & Richard Jeffrey (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521007585.
- Elliott Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.) Chapman & Hall.
- A. G. Hamilton (1988). Logic for Mathematicians Cambridge University Press.
外部链接
- [http://www.uni-bonn.de/logic/world.html Mathematical Logic around the world]
- [http://home.swipnet.se/~w-33552/logic/home/index.htm Polyvalued logic]
- [http://www.cis.upenn.edu/~giorgi/cl.html Computability logic] 数理逻辑的新方向 - 从真理的理论到可计算性的理论。
参见条目
- 逻辑
- 可计算性逻辑
- 博弈语义学
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 相继式演算
- 直觉逻辑
- 谓词逻辑
Category:數理邏輯
ja:数理論理学
命题在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断的语义，而不是判断本身。当不同的判断具有相同的语义的时候，他们表达相同的命题。例如，雪是白的（汉语）和 Snow is white（英语）是不同的判断，但它们表达的命题是相同的。同一种语言的两个不同的判断也可能表达相同的命题。例如，刚才的命题也可以说成冰的小结晶是白的，当然，这种说法不如上一种说法好。
通常，命题是指闭判断，以区别于开判断，或谓词。在这种情况下，命题不是真的就是假的。哲学学派逻辑实证主义支持这一命题的概念。
一些哲学家，诸如约翰·希尔勒，认为其他形式的语言或行为也判定命题。是非疑问句是对命题真值的询问。道路交通标志不通过语言和文字也表达了命题。使用陈述句也可能给出一个命题而不判定它，例如，在当老师请学生对某个引用发表意见的时候，这个引用就是一个命题（即它有语义）而这个老师并没有判定它。在上一段中，只给出了命题雪是白的，但没有判定它。
Category: 语言学
Category: 數理邏輯
Category: 哲学
Category: 数学
ja:命題
1960年
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大事记
- 在这一年非洲一共有17国宣布独立，因而本年被称为“非洲独立年”。
- 1960年2月，中国自行设计，制造的试验型液体探空火箭，在上海南汇简易发射场首次发射成功，飞行高度8千米，迈出了中国探空火箭技术的第一步。
- 中国第一台大型通用电子计算机——１０７型通用电子数字计算机研制成功。
- 1960年元旦，中国自行研制的第一套1000门纵横自动电话交换机在上海吴淞电话局开通使用。该机定名为SAA型
- 1月1日：喀麦隆独立。
- 1月11日：乍得宣布独立。
- 2月9日：中国自行设计制造的试验型液体燃料探空火箭首次发射成功。这是中国研制航天运载火箭征程上的一次重大突破。
- 2月13日：核弹测试：法国测试本国的第一枚原子弹。
- 2月21日：古巴领导人卡斯特罗把古巴所有的商业国有化。
- 3月6日：越南战争：美国宣布将派3,500美军士兵前往越南。
- 4月1日：美国发射第一颗气象卫星TIROS-1。
- 4月27日：多哥脱离法国独立。
- 5月9日：美國批准出售避孕丸。
- 5月15日：Sputnik 4发射进入地球轨道。
- 5月21日：智利发生强烈地震后，地震时停时止延续一个多月，14万人死亡，方圆6百公里变成废墟。
- 6月20日：马里和塞内加尔独立。
- 6月30日：比属刚果成立独立的共和国，卡萨武布任总统，卢蒙巴托任总理，首都金沙萨，称刚果（金）。
- 7月14日：日本首相岸信介遇刺。
- 8月16日：塞浦路斯独立。
- 8月19日：苏联太空犬Belka和Strelka乘史波尼克五号太空船开始环绕地球。
- 9月10日：伊拉克、伊朗、科威特、委内瑞拉、沙特阿拉伯等第三世界产油国，为维护本国石油利益，在伊拉克首都巴格达开会，成立了石油输出国组织。
- 9月24日：美國企業號航空母艦完工下水。
- 10月1日：尼日利亚脱离英国独立。
- 10月2日：尼日利亚举行独立后首次国会。
- 11月5日：中国仿制的第一枚近程导弹发射成功。
- 11月8日：美国总统竞选；共和党理查德·尼克松输给了民主党约翰·肯尼迪。
- 12月1日：运载有动物、昆虫和植物的苏联卫星进入地球轨道。
- 雷震遭到逮捕，《自由中國》雜誌停刊。
出生
- 2月23日 - 德仁，日本皇太子
- 9月16日 - 戴蒙·希爾，英國賽車手，1996年F1世界冠軍。
- 10月7日 - 冰室京介，日本歌手
- 10月30日 - 马拉多纳，阿根廷足球明星
- 12月18日 - 植草一秀，日本经济学家
逝世
- 逝世公告
诺贝尔奖
- 物理：Donald Arthur Glaser
- 化学：Willard Frank Libby
- 生理和医学：Frank Macfarlane Burnet，Peter Brian Medawar
- 文学：Saint-John Perse
- 和平：Albert John Luthuli
（第33届，1961年颁发）
- 奥斯卡最佳影片奖——《桃色公寓》（The Apartment）
- 奥斯卡最佳导演奖——比利·怀尔德（Billy Wilder） 《桃色公寓》
- 奥斯卡最佳男主角奖——伯特·兰卡斯特（Burt Lancaster） 《埃尔默·甘特里》
- 奥斯卡最佳女主角奖——伊丽莎白·泰勒（Elizabeth Taylor） 《巴特菲尔德第八》
- 奥斯卡最佳男配角奖——彼得·乌斯蒂诺夫（Peter Ustinov） 《斯巴达克斯》
- 奥斯卡最佳女配角奖——雪莉·琼斯（Shirley Jones） 《埃尔默·甘特里》
（其他奖项参见奥斯卡金像奖获奖名单）
Category:1960年
ja:1960年
ko:1960년
nb:1960
simple:1960
th:พ.ศ. 2503
歌德尔不完备定理在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1930年证明并发表的两条定理。简单地说，第一条定理指出：
任何一个相容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。
这条定理是在数学界以外最著名的定理之一，也是误解最多的定理之一。形式逻辑中有一条定理也同样容易被错误表述。有许多命题听起来很像是哥德尔不完备定理，但事实上是错误的。稍后我们可以看到一些对哥德尔定理的误解。
把第一条定理的证明过程在体系内部形式化后，哥德尔证明了他的第二条定理。该定理指出：
任何相容的形式体系不能用于证明它本身的相容性。
这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。大卫·希尔伯特(David Hilbert)提出，象实分析那样较为复杂的体系的相容性，可以用较为简单的体系中的手段来证明。最终，全部数学的相容性可以归结为基本算术的相容性。但哥德尔的第二条定理证明了基本算术的相容性不能在自身内部证明，因此当然就不能用来证明比它更强的系统的相容性了。
哥德尔不完备定理的意义
哥德尔定理是一阶逻辑的定理，故最终只能在这个框架内理解。在形式逻辑中，数学命题及其证明都是用一种符号语言描述的，在这里我们可以机械地检查每个证明的合法性，于是便可以从一组公理开始无可辩驳地证明一条定理。理论上，这样的证明可以在电脑上检查，事实上这样的合法性检查程序也已经有了。
为了这个过程得以进行，我们需要知道手头有什么样的公理。我们可以从一组有限的公理集开始，例如欧几里德几何。或者更一般地，我们可以允许无穷的公理列表，只要能机械地判断给定的命题是否一条公理就行。在计算机科学里面，这被称为公理的递归集。尽管无穷的公理列表听起来有些奇怪，实际上自然数的的通常理论中，称为皮亚诺公理的就是这么一样东西。
哥德尔的第一条不完备定理表明任何一个允许定义自然数的体系必定是不完全的：它包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
存在不完备的体系这一事实本身并不使人感到特别惊讶。例如，在欧几里德几何中，如果把平行公设去掉，就得到一个不完备的体系。不完备的体系可能只意味着尚未找出所有必须的公理而已。
但哥德尔揭示的是在多数情况下，例如在数论或者实分析中，你永远不能找出公理的完整集合。每一次你将一个命题作为公理加入，将总有另一个命题出现在你的研究范围之外。
你可以加入无穷条公理（例如，所有真命题）到公理列表中，但你得到的公理列表将不再是递归集。给出任意一条命题，将没有机械的方法判定它是否是系统的一条公理。如果给出一个证明，一般来说也无法检查它是否正确。
在计算机科学的语言中，哥德尔定理有另一种表述方式。在一阶逻辑中，定理是递归可枚举的：你可以编写一个可以枚举出其所有合法证明的程序。你可以问是否可以将结论加强为递归的：你可以编写一个在有限时间内判定命题真假的程序吗？根据哥德尔定理，答案是一般来说不能。
這理論用在人工智慧上，則指出有些道理可能是我們能夠判別，但機器單純用logic推斷卻無法得知的道理。
不确定命题的例子
在形式系统中出现不确定命题本身不是了不得的事。
之后哥德尔和保尔·科恩得出的一些结果结合起来就给出了不确定命题（既不能证明也不能否证的命题）的一个实际例子：选择公理和连续统假设都是集合论的标准公理系统内的不确定命题。这个结果与不完全性定理无关。
在1973年，群论中的怀特海问题被证明是集合论中的不确定命题。
1977年，Kirby、Paris和Harrington证明了组合论中的一个命题，拉姆赛理论的某个版本，在皮阿诺公理给出的算术公理系统中是不确定的，但可以在集合论的一个更大体系中证明为真。
在计算机科学中用到的Kruskal的树问题，也是在皮亚诺公理中不确定而在集合论中可证明的。
Goodstein定理是一个关于自然数的相对简单的命题，它在皮亚诺算术中是不确定的。
Gregory Chaitin在算法信息论中构造了一个不确定命题，但事实上他只是证明了他自己理论的不完备性。
对哥德尔定理的一些误解
由于哥德尔的第一条定理太有名了，对它的误解越来越多。我们举出一些例子：
# 该定理并不意味着任何有趣的公理系统都是不完备的。例如，欧几里德几何可以被公理化为一个完备的系统。（事实上，欧几里德的原创公理集已经非常接近于完备的系统。所缺少的公理是非常直观的，以至于直到出现了形式化证明之后才注意到需要它们）
# 该定理仅假设公理系统允许你定义自然数的集合。系统仅仅包含自然数是不够的。你也要能在系统中用公理和一阶逻辑表达“x是自然数”这样的概念。有许多系统包含自然数，却是完备的。例如，实数和复数都有完备的公理化系统。
讨论和推论
不完备性的结论影响了数学哲学以及形式化主义（使用形式符号描述原理）中的一些观点。我们可以将第一定理解释为“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误”
以下对第二定理的另一种说法甚至更令人不安：
如果一个公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。
于是，为了确立系统 S 的相容性，就要构建另一个系统 T ，但是 T 中的证明并不是完全可信的，除非不使用 S 就能确立 T 的相容性。举个例子，自然数上的皮亚诺公理的相容性可以在集合论中证明，但不能单独在自然数理论范围内证明。这对大卫·希尔伯特的著名的未解决的23个数学问题中的第二个给出了一个否定回答。
理论上，哥德尔理论仍留下了一线希望：也许可以给出一个算法判定一个给定的命题是否是不确定的，让数学家可以忽略掉这些不确定的命题。然而，对可判定性问题的否定回答表明不存在这样的算法。
要注意哥德尔理论只适用于较强的公理系统。“较强”意味着该理论包含了足够的算术以便承载对第一不完备定理证明过程的编码。基本上，这就要求系统能将一些基本操作例如加法和乘法形式化，例如在鲁宾逊算术Q中那样。有一些更弱的公理系统是相容而且完备的，例如Presburger算术，它包括所有的一阶逻辑的真命题和关于加法的真命题。
公理系统可能含有无穷条公理（例如皮亚诺算术就是这样），但要哥德尔定理生效，必须存在检验证明是否正确的有效算法。例如，可以将关于自然数的所有在标准模型中为真的一阶语句组成一个集合。这个公理系统是完备的；哥德尔定理之所以无效是因为不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。
另一个哥德尔定理不适用的特殊情况是：将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表，如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。这样得到的系统是完备的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举的。
哥德尔本人只证明了以上定理的一个较弱版本；以上定理的第一个证明是罗素于1936年给出的。
基本上，第一定理的证明是通过在形式公理系统中构造如下命题
:p = “此命题是不可证明的”
来完成的。这样，它可以看成是说谎者悖论的一个现代变种。
如果公理系统是相容的，哥德尔证明了p（及其否定）不能在系统内证明。因此p是真命题（p声称它不可证明，而它确实不能），尽管其证明不能在系统内形式化。请注意将p作为公理加入系统并不能解决问题：扩大了的系统中会有另一个哥德尔语句出现。
罗杰·彭罗斯声称“可被机械地证明的”和“对人类来说看起来是真的”的这一区别表明人类智能不同于自然的无意识过程。这一观点未被普遍接受，因为正如Marvin Minsky
所指出的，人类智能有犯错误和理解不相容和谬误句子的能力。但Marvin Minsky透露说库尔特·哥德尔私下告诉他，他相信人类有一种到达真理的直觉方法，但因为跟计算机式的方法不同，人类可以知道为真的事情并不受他的定理限制。
对以上认为该定理揭示了人类具有超出形式逻辑之能力的这种观点也可以作如下评论：我们其实不知道p是真是假，因为我们并不（也无法）知道系统是否是相容的。因此实际上我们并不知道系统之外的任何真理。我们所确知的只有这样一个命题：
:要么p在系统内部无法证明，要么该系统是不相容的。
这样的命题之前已经在系统内部被证明。实际上，这样的证明已经给出。
第一不完备定理的证明要点
要充实对证明要点的描述，主要的问题在于：为了构造相当于“p是不可证明的”这样的命题p，p就必须包含有自身的引用，而这很容易陷入无穷循环。将要介绍的哥德尔巧妙的把戏，后来被艾伦·图灵用于解决可判定性问题。
开始的时候，每个公式或者说可形式化的命题都被我们的系统赋予一个唯一的数字，称为哥德尔数。这要通过一种可以方便地在哥德尔数和公式之间（机械地）来回转换的方式来完成。因为系统足以表述“数字”的概念，因此也就足以表述公式的概念了。
象F(x)这样的公式含有一个自由变量x，它们称为命题形式。一旦x被一个特定的数字代替，它就马上变成一个真正的特定命题，于是它要么是在系统中可证明的，要么不。命题形式自身并不是命题，因此不能被证明也不能能被否证。但每一个命题形式F(x)都有一个哥德尔数，可用G(F)表示。无论自由变量取什么值，G(F)的取值都不会改变。
通过小心地分析系统的公理和推理规则，可以写下一个命题形式P(x)，它表示x是系统中一个可以证明的命题的哥德尔数。形式描述如下：如果x是一个可证明命题对应的哥德尔数，P(x)就可被证明，而其否定~P(x)则不能。（尽管这对于一个证明要点来说已经足够，但在数学上却不太严格。请参见哥德尔和罗素的有关论文，关键字是“omega-consistency”。
现在，哥德尔的把戏来了：一个命题形式F(x)称为不可自证的，当且仅当把命题形式F的哥德尔数G(F)代入F中所得的命题F(G(F))是不可证明的。这个定义可以形式化，于是可以构造一个命题形式SU(z)，表示z是某个不可自证命题形式的哥德尔数。SU(z)的形式描述如下：
:对某个命题形式F(x)有z = G(F)，而且设y是命题F(G(F))的哥德尔数，则有~P(y)成立。
现在我们所要的语句p就可以如下定义：
:p = SU(G(SU))
直观上，当问到p是否为真的时候，我们是在问：“不可自证这个特性本身是不可自证的吗？”这很容易让人联想到理发师悖论，那个理发师只替那些不自己理发的人理发：他替自己理发吗？
现在让我们假定公理系统是相容的。
如果p可以证明，于是SU(G(SU))为真，根据SU的定义，z = G(SU)就是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是SU就是不可自证的，根据不可自证的定义，SU(G(SU))是不可证明的。这一矛盾说明p是不可证明的。
如果p = SU(G(SU))的否定是可以证明的，则根据SU的定义，z = G(SU)就不是不可自证命题形式的哥德尔数。这意味着SU不是不可自证的。根据不可自证的定义，我们断定SU(G(SU))是可以证明的，同样得到矛盾。这说明p的否定也是不可证明的。
因此，p既不可证明也不可否证。
第二不完备定理的证明要点
令p是如上构造的不确定命题，且假定系统的相容性可以在系统内部证明。我们已经看到，如果系统是相容的，则p是不可自证的。这个证明过程可以在系统内部形式化，因此命题“p是不可证明的”或者“~P(p)”可以在系统内证明。
但是最后一个命题就等价于p自己（而且这种等价性可以在系统内部证明），从而p就可以在系统内证明。这一矛盾说明系统是不相容的。
参见
- 相容性
- 自我引用
- 逻辑主义
外部连接和参考资料
- K. Gödel: [http://home.ddc.net/ygg/etext/godel/ Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I.] Monatshefte für Mathematik und Physik, 38 (1931), pp. 173-198. Translated in van Heijenoort: From Frege to Gödel. Harvard University Press, 1971.
- B. Rosser: Extensions of some theorems of Gödel and Church. Journal of Symbolic Logic, 1 (1936), N1, pp. 87-91
- Karl Podnieks: Around Goedel's Theorem, http://www.ltn.lv/~podnieks/gt.html
- D. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, 1979, ISBN 0465026850. (1999 reprint: ISBN 0465026567).
- Ernest Nagel, James Roy Newman, Douglas R. Hofstadter: Gödel's Proof, revised edition (2002). ISBN 0814758169.
- [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob2 Hilbert's second problem] (English translation)
- Norbert Domeisen, Logik der Antinomien. Bern etc.: Peter Lang. 142 S. 1990. (ISBN 3-261-04214-1), [http://www.emis.de/cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?first=1&maxdocs=3&type=html&an=0724.03003&format=complete Zentralblatt MATH]
- [http://takaosuda.hp.infoseek.co.jp/homepage/incomplete/ 鹿鳴館大学・理学部講座ゲーデルの不完全性定理と証明][http://takaosuda.hp.infoseek.co.jp/homepage/incomplete/index_e.html (English translation)]
category:定理
Category:數學書籍
ja:ゲーデルの不完全性定理
ko:불완전성 정리
柏拉图主义柏拉图主义（Platonism），美国传统辞典解释为：The philosophy of Plato, especially insofar as it asserts ideal forms as an absolute and eternal reality of which the phenomena of the world are an imperfect and transitory reflection.
（中文翻译：柏拉图哲学或柏拉图的哲学，尤指宣称理念形式是绝对的和永恒的实在，而世界中实在的现象却是不完美的和暂时的反映。)
宣称信仰柏拉图主义并非意味着接受柏拉图的所有见解，而往往只是对如下特定思想的认同，即理念形式是存在的、永恒的，并比世界中的现象更实在、更完美，甚至是唯一真正实在和完美的实体。这个体系还包括认为理念形式只能由灵魂所认识等。
对柏拉图主义的辩护有：语言对象的抽象描述的一般性和其所描述对象的特殊性的对比；数学对象的抽象和毫无疑问的精确性等。
柏拉图主义中的理念形式在不同的情形下往往具有不同的意义。如：一类事物的名称；数学对象；自然定律等。
柏拉圖關於靈魂的思想：靈魂是單純不能加以分解的，有生命和自發性，是精神世界的、理性的、純粹的，因他有追求世界的慾望，而墮落到地上，被圈入於肉體中，注定要經過一個淨化的階段。
理想的靈魂是一個有條理的靈魂，其中較高的功能駕馭較低的功能，他有聰明（sofi,a）勇敢（andrei,a）、克己（sofros,unh）和正直（dikaiosu,nh）四種德行。有理性的生活是至善的，物質是不完善的，靈魂要從這種障礙物中解脫出來。
柏拉圖將心靈「存有」（Being）的高層世界當作是不變的，和肉體的感官變異（Beccoming）做對比。柏拉圖的形式（Forms）或理念(Ideas)，也就是永恆的絕對者（eternal absolutes）。對柏拉圖主義者而言，普遍概念要比個別事例更真實。
影響
柏拉图主义其後由基督教教父奧古斯丁改造，成為基督教的哲學論證，服務於神學教義。
參考書目
《奧古斯丁》，Henry Chadwick，黃秀慧譯，台北市，聯經出版社，1987
Category:主义
simple:Platonism
理论學說(或稱“理論”、“學說理論”)，指人類對自然、社會現象，按照已有的知識和認知進行合乎邏輯的推理性總結。接近真理的学说是科学的，反之则是违背科学的或者说伪科学；任何自然科学的产生源自对自然现象观察，任何理论在未经社会实践或科学试验证明以前，只能属于假说。
著名理论
- 数学：集合论、混沌理论、图论、数论和概率论；
- 统计学：极值理论（Extreme value theory）；
- 物理学：相对论、弦理论、超弦理论、大统一理论、M理论、声学理论（Acoustic theory）、天线理论（Antenna theory）、万物理论（Theory of everything）、卡鲁扎-克莱恩理论（KK理论，Kaluza-Klein theory） 、圈量子引力理论（Loop quantum gravity）；
- 行星科学与地球科学
- 生物学：進化论；
- 地理学：大陆漂移学说、板块构造学说；
- 气象学：全球暖化理论（全球变暖理论，Global warming）；
- 人类学：批判理论；
- 社会学：批判社会理论（Critical social theory）、价值论（Value theory）
- 性科学：梯子理论（Ladder theory）；
- 生物学：思辨理性（Speculative reason）；
- 文学：文学原理（Literary theory）；
- 音乐：乐理（Music theory）；
- 计算机科学：算法信息论、计算机理论 ；
- 运动学：博弈论、理性选择理论（Rational choice theory）；
- 其他理论：燃素说
Category:理论
Category:科学
ja:理論
数学哲学哲学的一个分支，研究数学中的哲学问题的学科。从毕达哥拉斯到康德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想，但作为专门学科直到19世纪中叶以后才逐渐建立起来。着重研究：
- 数学的对象、性质、特点、地位与作用；
- 数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；
- 著名数学家和数学流派的数学和哲学思想；
- 数学方法和数学基础等问题。
现代数学哲学的研究内容包括：
- 数学基础的研究，形成罗素的逻辑主义、布劳维的直觉主义和希尔伯特的形式主义等流派；
- 数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；
- 数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在；数学真理性的研究等。
-
category:哲学
Category:数学
参看Wikipedia:数学首页。
Category:自然科学
Category:抽象
Category:学科
ja:Category:数学
ko:분류:수학
ms:Category:Matematik
simple:Category:Mathematics
th:Category:คณิตศาสตร์
Struts
Apache Struts è un framework open source per lo sviluppo di applicazioni web su piattaforma J2EE. Il progetto era inizialmente sviluppato come sotto-progetto di Apache Jakarta ma ora è divenuto un progetto a sé. Struts estende le Java Servlet, incoraggiando gli sviluppatori all'utilizzo del pattern MVC. Il suo ideatore è Craig McClanahan ed è stato donato alla Apache Software Foundation nel maggio del 2000.
L'utilizzo di Struts permette lo sviluppo di web application di notevoli dimensioni; inoltre agevola la suddivisione dello sviluppo del progetto fra vari sotto-team. In altre parole, i designers, e i vari gruppi di sviluppatori possono gestire in parallelo e autonomamente la loro parte del progetto.
Tra le funzionalità offerte c'è la I18N , ossia l'internazionalizzazione, una potente tag library e la validazione dei form.
Descrizione del Framework
Struts concentra la sua attenzione nella divisione dei compiti fra le varie entità che gestisce. In prima battuta possiamo dire che data una successione di pagine che bisogna visionare, Struts vincola l'ordine in cui queste devono essere visitate. Ad esempio, se un utente cerca di accedere ad una pagina che richiede un'autenticazione senza aver preventivamente fatto il log in, il framework lo ridirige verso il form di autenticazione. Inoltre Struts mette a disposizione dei metodi che agevolano la validazione dei dati; si assume anche il compito di verificare se un utente ha inserito tutti i campi in un form: se tutti i campi richiesti sono validi, l'azione prosegue altrimenti avverrà un reindirizzamento alla pagina di inserimento dei dati a cui verranno aggiunti dei messaggi (configurati dallo sviluppatore) che descrivono perché l'azione non è andata a buon fine.
Per quanto riguarda il livello presentazione (la view del pattern MVC), Struts supporta diverse tecnologie, inclusi JSP, XML/XSLT, Java Server Faces (JSF), Cocoon e Velocity.
Struts permette la gestione della internazionalizzazione (in breve I18N) dei contenuti, in pratica permette la gestione centralizzata dei file contenenti le stringhe testuali da visualizzare in dipendenza alla lingua dichiarata dal browser.
Un'altra caratteristica è la gestione automatica del pool delle connessioni al database, sollevando lo sviluppatore da tale incarico; ogni volta che bisogna accedere al database, si dichiara che è necessaria una connessione e il framework restituisce un handler alla connessione.
Per quanto riguarda il livello di modellazione dei dati sono supportati i JavaBean e EJB.
Struts lega i suoi componenti in base alle direttive contenute in un file XML, il file struts-config.xml. In questo file vengono configurati i componenti e le interazioni fra gli stessi.
Altri framework MVC
Anche se Struts è molto ben documentato, affidabile e diffuso, di recente vede la concorrenza di altri framework MVC più leggeri, come Spring e Tapestry.
Link esterni
- [http://struts.apache.org Homepage del progetto]
categoria:Java
Categoria:Software libero
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