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布尔逻辑

布尔逻辑

布尔逻辑得名于 George Boole，他是 College Cork 大学的英国数学家，他在十九世纪中叶首次定义了逻辑的代数系统。现在，布尔逻辑在电子学、计算机硬件和软件中有很多应用。在 1937 年，Claude Shannon 展示了布尔逻辑如何在电子学中使用。

集合代数和文氏图

使用集合代数作为介绍布尔逻辑的一种方式。还使用文氏图来展示各种布尔逻辑陈述所描述的集合联系。

术语

文氏图 设 X 是一个集合:
- 元素是一个集合的成员。表示为 \in。如果它不是这个集合的元素，表示为 \notin。
- 全集是集合 X，有时表示为 1。注意使用全集这个词意味着"虑及的所有元素"，同"现有的所有元素"一样不是必然的。
- 空集或 null 集合是没有元素的集合，表示为 \varnothing，有时表示为 0。
- 一元算符应用于一个单一的集合。有一个一元算符叫做逻辑非(NOT)。它的作用是采用补集。
- 二元算符应用于两个集合。基本的二元算符是逻辑或(OR)和逻辑与(AND)。它们进行集合的交集和并集。还有其他衍生的二元算符，比如逻辑异或(XOR)(排他的或)。
- 子集表示为 A \subseteq B，意味这在集合 A 中所有元素都在集合 B 中。
- 真子集表示为 A \subset B，意味着在集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，并且两个集合不等同。
- 超集表示为 A \supseteq B，意味着在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中。
- 真超集 表示为 A \supset B，意味着在集合 B 中的所有元素都在集合 A 中，并且两个集合不等同。

例子

并集 设图像为集合 A 包含"全集"中所有偶数(二的倍数)，集合 B 包含"全集"中所有三的倍数。则两个集合的交集(在集合 A AND B 中所有的元素)将是"全集"中所有六的倍数。 集合 A 的补集(所有不在集合 A 中的元素)是"全集"中所有的奇数。

把运算连接起来

尽管在任何布尔运算中都最多有两个集合参与，从这个运算所形成的新集合可以接着与其他集合联合起来实现另外的布尔运算。使用前面的例子，我们可以定义一个新集合 C 作为"全集"中所有五的倍数的集合。所以 "集合 A AND B AND C" 将是"全集"中所有 30 的倍数。如果为了更方便，我们可以把集合 AB 当作集合 A 和 B 的交集，或者说"全集"中所有六的倍数的集合。那么我们可以称 "集合 AB AND C" 是"全集"中所有 30 的倍数的集合。我们接着进一步的把这个结果叫做集合 ABC。

使用圆括号

尽管任何数目的逻辑 AND(或任何数目的逻辑 OR)可以被连接在一起而没有歧义，AND 和 OR 和 NOT 的组合可以导致歧义的情况。在这种情况情况下，可以使用圆括号来分清运算的次序。永远是最内的括号内的运算先进行，随后是外层的括号以此类推，直到在所有的括号内运算都完成。接着进行括号外的运算。

性质

为两个主要的二元运算的符号定义为 \land / \cap (逻辑与/交集)和 \lor / \cup (逻辑或/并集)，把单一的一元运算的符号定义为 \lnot / ~ (逻辑非/补集)。我们还使用值 0 (逻辑假/空集)和 1 (逻辑真/全集)。下列性质适用于布尔代数和布尔逻辑二者: :

真值表

布尔逻辑只使用两个值 0 和 1，这两个值的交集和并集可以使用真值表定义如下:
- 也可以建立涉及多个输入和其他布尔运算的更复杂的真值表。
- 真值表应用在逻辑中，解释 0 为假，1 为真，\cap 为与，\cup 为或，而 ¬ 为非。

其他记号

可以使用各种样式的基本算符来表达布尔逻辑。AND(与)、OR(或)、NOT(非)是最直觉的。数学家、工程师和程序员经常使用 + 表示或，\cdot 表示与(因为在某些方面这些运算类似于在其他代数结构中的加法和乘法，并且这种记号使熟悉普通代数的人易于得到积之和范式)。非也表示为在要否定的表达式顶上的一个横线。 另一种记号使用"交"表示与使用"并"表示或。但是这会导致混淆，因为术语"并"也经常用于合并集合的另一个布尔运算，它包括了与和或二者。

布尔术语的基本数学使用


- 在联立方程的情况下，它们是用暗含的逻辑与连接的: ::x + y = 2 ::AND ::x - y = 2 同样适用于联立不等式: ::x + y < 2 ::AND ::x - y < 2
- 大于等于号(\ge)和小于等于号(\le)可以假定包含了一个逻辑或: ::X < 2 ::OR ::X = 2
- 加/减号(\pm)，在平方根的解的情况下，可以被看作是逻辑或: ::WIDTH = 3 ::OR ::WIDTH = -3

布尔术语的英语使用

在把英语句子转换成形式的布尔语句的时候要小心。很多英语词语有不精确的意义可能导致多种意思，例如词 NOT(非):
- "所有闪光的东西不是金子。" 它可以意味着 "没有闪光的东西是金子" 或者 "有些闪光的东西不是金子"。AND(与)和 OR(或)在英语中在特定情况下是可以互换使用的:
- "在下雨与下雪的时候我总是带伞。"
- "在下雨或下雪的时候我总是带伞。" 还要注意在英语中词 OR(或)可以对应于逻辑或异或逻辑异或，依赖于上下文:
- "我在潮湿或高温的时候出汗。" (逻辑或)
- "我午饭打算吃鸡肉或牛肉。" (逻辑异或) 在规定计算机程序或者电子电路时使用英语描述它们的功能的时候这是个重要问题。例如，语句"程序应该校验申请者已经选择取了男性或女性单选框"，应当被当作一个异或，并增加一个检查来确保其中一个且只有一个被选择了。在其他情况下，英语的解释可能更少确定性，规定的作者可能需要探讨它们的真正意图。

应用

数字电子电路设计

布尔逻辑还在电子工程中的电路设计中使用；这里的 0 和 1 表示在数字电路中某一个位的不同状态，典型的是高和低电压。使用包含变量的表达式描述电路，并且对于这些变量的所有的值两个这种表达式是等价的，当且仅当对应的电路有相同的输入-输入行为。进一步的说，每种可能的输入-输出行为都被建模为适合的布尔表达式。 基本的逻辑门比如与门、或门、非门可以单独使用，或者联合成与非门、或非门和异或门来控制数字电子和电路。这些门的串联或并联控制了运算的优先级。

数据库应用

关系数据库使用 SQL 语言，或者其他特定于数据库的语言，来进行查询，它可以包含布尔逻辑。对于这种应用，在表中每个记录都可以被当作"集合"的"元素"。例如，在 SQL 中，下列 SELECT 语句被用来从在数据库中的表格中检索数据:
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' AND FIRST_NAME = 'John' ;
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE LAST_NAME = 'Smith' OR FIRST_NAME = 'John' ;
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE NOT LAST_NAME = 'Smith' ; 在有多个运算出现的时候，可以使用圆括号来明确的指定布尔运算发生的次序:
- SELECT
- FROM EMPLOYEES WHERE (NOT LAST_NAME = 'Smith') AND (FIRST_NAME = 'John' OR FIRST_NAME = 'Mary') ; 在需要的时候可以使用嵌套的圆括号。 联合两个(或更多)表格的任何布尔运算在关系数据库术语中都被称为连接。

搜索引擎查询

对于这种应用，在互联网上的每个 web 页面都被当作是"集合"的"元素"。各种在线搜索引擎使用各自不同的语法。下面描述 Google 使用的语法。
- 逻辑与不使用符号。所以，它是连接两个搜索项的缺省方式: ::"搜索项1" "搜索项2"
- 使用关键字 OR 表示逻辑或: ::"搜索项1" OR "搜索项2"
- 使用减号表示逻辑非: ::-"搜索项1"
- 不支持使用圆括号来明确指定运算的次序。

参见


- 布尔代数主题列表
- 布尔代数
- 布尔三段论
- 逻辑代数
- 布尔函数
- 逻辑门
- 文氏图

外部链接


- [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Boole/CalcLogic/CalcLogic.html 逻辑的演算], George Boole 著, Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98. Category:逻辑 Category:布尔代数

乔治·布尔

乔治·布尔（George Boole，1815年～1864年）是皮匠的儿子，1815年11月生于英格兰的林肯。由于家境贫寒，布尔不得不在协助养家的同时为自己能受教育而奋斗，不管怎么说，他成了19世纪最重要的数学家之一。尽管他考虑过以牧师为业，但最终还是决定从教，而且不久就开办了自己的学校。在备课的时候，布尔不满意当时的数学课本，便决定阅读伟大数学家的论文。在阅读伟大的法国数学家拉格朗日的论文时，布尔有了变分方面的新发现。变分是数学分析的分支，它处理的是寻求优化某些参数的曲线和曲面。 1848年，布尔出版了《The Mathematical Analysis of Logic》，这是它对符号逻辑诸多贡献中的第一次。1849年。他被任命位于爱尔兰科克的皇后学院的数学教授。1854年，他出版了《The Laws of Thought》，这是他最著名的著作。在这本书中布尔介绍了现在以他的名字命名的布尔代数。布尔撰写了微分方程和差分方程的课本，这些课本在英国一直使用到19世纪末。布尔在1855年结婚，他的妻子使皇后校园一位希腊文教授的侄女。1864年，布尔死于肺炎，肺炎是他在暴风雨天气中尽管已经湿淋淋的了仍坚持上课引起的。

参考书目

1.Kenneth H·Rosen,袁崇义 屈婉玲 刘田 译，机械工业出版社，2002：2-2 ISBN 7-111-07577-3. Category:英国数学家 B B ja:ジョージ・ブール ko:조지 불

克劳德·艾尔伍德·香农

克劳德·艾尔伍德·香农（Claude Elwood Shannon ，1916年4月30日—2001年2月26日）美国数学家、信息论的创始人。

获奖与荣誉


- 美国Alfred Noble协会美国工程师奖 1940年
- Morris Liebmann 无线电工程师协会Memorial奖章 1949年
- 耶鲁大学 (首席科学家) 1954年
- Stuart Ballantine弗兰克林协会奖章 1955年
- 研究合作奖 1956年
- 密歇根大学, 荣誉博士 1961年
- 莱斯大学 荣誉奖章1962年
- 普林斯顿大学, 荣誉博士 1962年
- Marvin J. Kelly Award 1962年
- 爱丁堡大学 荣誉博士 1964年
- 匹兹堡大学 荣誉博士 1964年
- 电子电气工程师协会 荣誉奖章 1966年
- 美国国家科学奖章 1966年, 由前总统Lyndon B. 约翰逊颁发
- Golden Plate Award 1967年
- 美国西北大学, 荣誉博士 1970年
- Harvey Prize, the Technion of Haifa, 以色列 1972年
- 牛津大学 荣誉博士 1978年
- Joseph Jacquard奖 1978年
- Harold Pender奖 1978年
- 东英格伦大学, 荣誉博士 1982年
- 卡耐基-梅隆大学 荣誉博士 1984年
- 美国声频技术协会 金奖 1985年
- Kyoto Prize 1985年
- 塔夫斯大学 荣誉博士 1987年
- 宾西法尼亚大学 荣誉博士 1991年
- Eduard Rhein Prize 1991年

参看条目


- 香农-费诺编码
- 香农-哈特雷定律
- 奈奎斯特-香农采样定理
- 香农容量
- 香农对局
- Rate distortion theory
- 信息学原理
- 混淆和扩散
- 一次活页加密算法

相关文献


- 克劳德·艾尔伍德·香农: 《通讯的数学理论》 (The mathematical theory of communication) 贝尔系统技术月刊l,27卷,379-423,623-656页, 1948年7月,10月
- 克劳德·艾尔伍德·香农和Warren Weaver:《通讯的数学理论》 伊利诺斯大学出版社, Urbana, 伊利诺斯,1949年. ISBN 0252725484

外部链接


- [http://www.lucent.com/minds/infotheory/who.html 香农的生活和生涯]
- [http://www3.edgenet.net/dcowley/docs.html 保密系统通讯理论]
- [http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html 通讯数学论]
- [http://web.mit.edu/newsoffice/nr/2001/shannon.html 麻省理工讣告 ]
- [http://www.exp-math.uni-essen.de/~immink/pdf/levensbericht-shannon.pdf Obituary Royal Netherlands Academy of Sciences (in Dutch)]
- [http://www.engin.umich.edu/150th/alum-legends/shannon.html 在密歇根大学的回顾]
- [http://www.nightgarden.com/infosci.htm Notes on Computer-Generated Text]
- [http://www.nightgarden.com/shannon.htm 香农的贡献]
- [http://www2.bc.edu/~lewbel/Shannon.html 香农的判别理论和判别机器人]
- [http://www.pi.infn.it/%7Ecarosi/chess/shannon.txt 香农的关于计算机下象棋的论文，文本]
- [http://www.ascotti.org/programming/chess/Shannon%20-%20Programming%20a%20computer%20for%20playing%20chess.pdf 香农的关于计算机下象棋的论文,PDF]
- [http://www.dcc.uchile.cl/~cgutierr/cursos/IA/shannon.txt 香农的关于计算机下象棋的论文，文本, 原稿]
- [http://www.sytelecom.net/agora/read22.htm 信息论的奠基人—香农] S S S S S ja:クロード・シャノン ko:클로드 샤논

集合代数

集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。

导言

集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。 像普通算术的表达和计算一样，集合的表达和计算可能相当复杂。通过系统研究将有助于熟练使用和理解这些表达方式并进行计算。 在算术研究方面，是通过初等代数来研究算术的运算和关系的。 例如：加法和乘法运算遵循人们熟知的交换律、结合律和分配律；而"小于等于"关系满足自反性、反对称性和传递性。 这些规律提供了简化计算的工具，并描述了算术的本质、运算和关系。 集合代数相当于集合论中的算术代数。它是关于集合论运算如交集、并集、补集，和集合论关系如等于、包含等的代数：本文主要介绍这些内容。对集合的基本介绍请参见集合，更详尽的内容请参见朴素集合论。

集合代数的基本规律

集合的二元运算并集和交集满足许多恒等式。有些恒等式或"规律"有确定的名称。三组规律不加证明地罗列如下： 命题 1：对任意集合 A，B，C，下列恒等式成立： :交换律： ::
- A ∪B  =  B ∪A ::
- A ∩B  =  B ∩A :结合律： ::
- (A ∪B) ∪C  =  A ∪(B ∪C) ::
- (A ∩B) ∩C  =  A ∩(B ∩C) :分配律： ::
- A ∪(B ∩C)  =  (A ∪B) ∩(A ∪C) ::
- A ∩(B ∪C)  =  (A ∩B) ∪(A ∩C) 注意并集和交集同算术加法和乘法的相似性是非常明显的。同加法和乘法一样，并集和交集也是满足交换律和结合律的，而且，交集对并集满足分配律；但是，并集对交集也满足分配律，这同加法和乘法不一样。 下一个命题包含三种特殊集合：空集、全集、集合的补集，给出关于它们的两组规律。 命题 2：对全集 U 的任意子集 A，下列恒等式成立： :同一性： ::
- A ∪Ø  =  A ::
- A ∩U  =  A :补集律： ::
- A ∪AC  =  U ::
- A ∩AC  =  Ø 同一性（结合交换律）说明，就像 0 和 1 对于加法和乘法，Ø 和 U 是并集和交集的单位元。 同加法和乘法不同，并集和交集没有逆元。然而，补集律给出了类似逆运算的一元运算，集合的补集的基本性质。 上述五组性质：交换律、结合律、分配律、同一性和补集律，可以说包含了集合代数的所有内容，可以认为集合代数中所有正确的命题都是从它们得到的。

对偶性原理

上述命题有一个有趣的形式，就是每一组恒等式都是成对出现的。将 ∪ 和 ∩，或者 Ø 和 U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。 这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。它对集合的所有真命题都有效。真命题通过相互交换 ∪ 和 ∩，Ø 和 U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。

更多关于并集和交集的定律

下列命题给出六条关于并集和交集的重要定律。 命题 3：对任意全集 U 的子集 A 和 B，下列恒等式成立： :幂等律： ::
- A ∪A  =  A ::
- A ∩A  =  A :支配律： ::
- A ∪U  =  U ::
- A ∩Ø  =  Ø :吸收律： ::
- A ∪(A ∩B)  =  A ::
- A ∩(A ∪B)  =  A 如前所述，命题 3 里的每条定律都可以从命题 1 和命题 2 的五组基本定律推导出来。作为说明，下面给出并集的幂等律的证明。 证明： 下列证明说明，上述证明的对偶是对并集的幂等律的对偶，即交集的幂等律的证明。 证明：

更多关于补集的定律

下列命题给出五条关于补集的重要定律。 命题 4：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则： :德·摩根律： ::
- (A ∪B)C  =  AC ∩BC ::
- (A ∩B)C  =  AC ∪BC :重补集或回旋律： ::
- ACC  =  A :全集和空集的补集律： ::
- ØC  =  U ::
- UC  =  Ø 注意，重补集律是自对偶的。 下一个命题也是自对偶的，说明集合的补集是唯一满足补集律的集合。也就是说，互补的特征通过补集律体现。 命题 5：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则： :补集的唯一性： ::
- 若 A ∪B  =  U 且 A ∩B  =  Ø 则 B = AC。

包含的代数

下列命题说明包含是种偏序关系。 命题 6：若 A，B，C 为集合，则下述成立： :自反性： ::
- A ⊆ A :反对称性: ::
- A ⊆ B and B ⊆ A if and only if A = B :传递性: ::
- If A ⊆ B and B ⊆ C then A ⊆ C 下列命题说明对任意集合 S，S 的幂集按照包含来排列是个有界格；因此，结合上述的分配律和补集律，它是一个布尔代数。 命题 7：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则下述成立： :存在最小元和最大元： ::
- Ø ⊆ A ⊆ S :存在并运算: ::
- A ⊆ A ∪B ::
- 若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A ∪B ⊆ C :存在交运算: ::
- A ∩B ⊆ A ::
- 若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A ∩B 下列命题说明，"A ⊆ B " 与各种采用并集、交集、补集的表示方法等价。 命题 8：对任意两个集合 A 和 B，下述等价： :
- A ⊆ B :
- A ∩B  =  A :
- A ∪B  =  B :
- A − B  =  Ø :
- BC ⊆ AC 上述命题说明，集合的包含关系可以采用并集运算或交集运算来表示，即包含关系在公理体系中是多余的。

相对补集的代数

下列命题给出一些关于相对补集或集合论差的恒等式。 命题 9：对任意全集 U 和 U 的子集 A，B，C，下列恒等式成立： :
- C − (A ∩B)  =  (C − A) ∪(C − B) :
- C − (A ∪B)  =  (C − A) ∩(C − B) :
- C − (B − A)  =  (A ∩C) ∪(C − B) :
- (B − A) ∩C  =  (B ∩C) − A  =  B ∩(C − A) :
- (B − A) ∪C  =  (B ∪C) − (A − C) :
- A − A  =  Ø :
- Ø − A  =  Ø :
- A − Ø  =  A :
- B − A  =  AC ∩B :
- (B − A)C  =  A ∪BC :
- U − A  =  AC :
- A − U  =  Ø

参考


- 集合
- 朴素集合论
- 公理集合论 Category:集合论

补集

在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。 补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

相对补集

集合论 若 A 和 B 是集合，则 A 在 B 中的相对补集，或叫做 B 和 A 的集合论差，是这样一个集合，其元素属于 B，但不属于 A。 A 在 B 中的相对补集通常写作 B − A （或 B \ A）。 形式上： :B - A = \ 例如： :
-  −    =    :
-  −    =    :
- 若 \mathbb 是实数集合，\mathbb 是有理数集合，则 \mathbb-\mathbb 为无理数集合。 下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。 命题 1：若 A，B，C 是集合，则下列恒等式成立： :
- C − (A ∩B)  =  (C − A) ∪(C − B) :
- C − (A ∪B)  =  (C − A) ∩(C − B) :
- C − (B − A)  =  (A ∩C) ∪(C − B) :
- (B − A) ∩C  =  (B ∩C) − A  =  B ∩(C − A) :
- (B − A) ∪C  =  (B ∪C) − (A − C) :
- A − A  =  Ø :
- Ø − A  =  Ø :
- A − Ø  =  A

绝对补集

若给定全集 U，则 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集（或简称补集），写作 AC，即： :AC  =  U − A （注意：根据ISO与国家标准，A中子集B的补集记作\complement_AB。） 例如，若全集为自然数集合，则奇数集合的补集为偶数集合。 下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。 命题 2：若 A 和 B 是全集 U 的子集，则下列恒等式成立： :德·摩根律： ::
- (A ∪B)C  =  AC ∩BC ::
- (A ∩B)C  =  AC ∪BC :补集律： ::
- A ∪AC   =  U ::
- A ∩AC  =  Ø ::
- ØC  =  U ::
- UC  =  Ø :回旋律（重补集律）： ::
- ACC  =  A. :相对补集和绝对补集的关系： ::
- A − B = A ∩ BC ::
- (A − B)C = AC ∪ B 上述表明，若 A 为 U 的非空子集，则 是 U 的一个分割。

参考


- 集合代数
- 朴素集合论
- 对称差 Category:抽象代数 Category:代数 Category:集合论 ko:여집합

并集

在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集(聯集)是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。 本文采用数学符号。

基本定义

若 A 和 B 是集合，则 A 和 B 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素，而没有其他元素的集合。 A 和 B 的并集通常写作 "A ∪B"。 形式上： : x 是 A ∪B 的元素，当且仅当 :
- x 是 A 的元素，或 :
- x 是 B 的元素。 举例： 集合 和 的并集是 。 数 9 不 属于素数集合 和偶数集合 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合的并集可以这样定义： 例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。 形式上： : x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x 属于 A 或 x 属于 B 或 x 属于 C。

代数性质

二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即
A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。 事实上，A ∪B ∪C 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。 即 ∪A = A，对任意集合 A。 可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。 例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。 若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。

无限并集

最普遍的概念是：任意集合的并集。 若 M 是一个集合的集合，则 x 是 M 的并集的元素，当且仅当存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。即： : x \in \bigcup\mathbf \iff \exists A\mathbf, x \in A. 无论集合 M 本身是什么，M 的并集是一个集合，这就是公理集合论中的并集公理。 例如： A ∪ B ∪ C 是集合 的并集。 同时，若 M 是空集， M 的并集也是空集。 有限并集的概念可以推广到无限并集。 上述概念有多种表示方法： 集合论科学家简单地写 : \bigcup \mathbf ， 而大多数人会这样写 : \bigcup_ A 。 后一种写法可以推广为 : \bigcup_ A_ ， 表示集合 的并集。 这里 I 是一个集合，Ai 是一个 i 属于 I 的集合。 在索引集合 I 是自然数集合的情况下，上述表示和求和类似： : \bigcup_^ A_ 。 同样，也可以写作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". （这是一个可数的集合的并集的例子，在数学分析中非常普遍；参见σ-代数）。 最后，要注意的是，当符号 "∪" 放在其他符号之前，而不是之间的时候，要写的大一些。 交集在无限并集中满足分配律，即 : \bigcup_ (A \cap B_) = A \cap \bigcup_ B_ 。 结合无限并集和无限交集的概念，可得 : \bigcup_ (\bigcap_ A_) \subseteq \bigcap_ (\bigcup_ A_).

参考


- 朴素集合论
- 交集
- 补集
- 对称差 Category:抽象代數 Category:代数 Category:集合论 ja:和集合 ko:합집합

布尔代数

在数学中，布尔代数(有时叫布尔格)是一个代数结构(就是说，叫做元素的对象的一个集合，和与之在一起的在这些元素上的运算，它们接受一个或两个元素并返回另一个元素)。可以按各种方式去认为元素是什么；最常见的是把它们当作一般化的真值。作为一个简单的例子，假设有三个条件是独立的为真或为假。布尔代数的元素可以接着精确指定那些为真；那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集，和与之在一起的组合它们的方式。 有时也被称为布尔代数的一个相关主题是布尔逻辑，它可以被定义为是所有布尔代数所公有的东西。它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成，而不管你具体的那个布尔代数。因为逻辑门和某些电子电路的代数在形式上也是这样的，所以同在数理逻辑中一样，布尔逻辑也在工程和计算机科学中研究。 在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。代数结构要是布尔代数，这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假))。 布尔代数得名于 George Boole，他是College Cork 大学的英国数学家。Boole 所公式化的逻辑的代数系统与本文所描述的代数结构在一些小但重要的方面是有不同之处的。 __TOC__

形式定义

布尔代数是一个集合 A，提供了两个二元运算 \land (逻辑与)、\lor (逻辑或)，一个一元运算 \lnot / ~ (逻辑非)和两个元素 0(逻辑假)和 1(逻辑真)，此外，对于集合 A 的所有元素 a、b 和 c，下列公理成立: : 上面的前三对公理: 结合律、交换律和吸收律，意味着 (A, \land, \lor) 是一个格。所以布尔代数也可以定义为一个分配有补格。 从这些公理，你可以展示出最小元素 0、最大元素 1 和任何元素 a 的补 ¬a 都是唯一确定的。对于 A 中的所有的 a 和 b，下列恒等式也成立: :

例子


- 最简单的布尔代数只有两个元素 0 和 1，并通过如下规则定义: :
- 它应用于逻辑中，解释 0 为假，1 为真，∧ 为与，∨ 为或，¬ 为非。 涉及变量和布尔运算的表达式代表了陈述形式，两个这样的表达式可以使用上面的公理证实为等价的，当且仅当对应的陈述形式是逻辑等价的。 :
- 两元素的布尔代数也是在电子工程中用于电路设计；这里的 0 和 1 代表数字电路中一个位的两种不同状态，典型的是高和低电压。电路通过包含变量的表达式来描述，两个这种表达式对这些变量的所有的值是等价的，当且仅当对应的电路有相同的输入-输出行为。此外，所有可能的输入-输出行为都可以使用合适的布尔表达式来建摸。 :
- 两元素布尔代数在布尔代数的一般理论中也是重要的，因为涉及多个变量的等式是在所有布尔代数中普遍真实的，当且仅当它在两个元素的布尔代数中是真实的(这总是可以通过平凡的蛮力算法证实)。比如证实下列定律(合意(Consensus)定理)在所有布尔代数中是普遍有效的: :
  - (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) :
  - (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)
- 任何给定集合 S 的幂集(子集的集合)形成有两个运算 ∨ := ∪ (并)和 ∧ := ∩ (交)的布尔代数。最小的元素 0 是空集而最大元素 1 是集合 S 自身。
- 有限的或者 cofinite 的集合 S 的所有子集的集合是布尔代数。
- 对于任何自然数 n，n 的所有正约数的集合形成一个分配格，如果我们对 a | b 写 a ≤ b。这个格是布尔代数当且仅当 n 是无平方因子的。这个布尔代数的最小的元素 0 是自然数 1；这个布尔代数的最大元素 1 是自然数 n。
- 布尔代数的另一个例子来自拓扑空间: 如果 X 是一个拓扑空间，它既是开放的又是闭合的，X 的所有子集的搜集形成有两个运算 ∨ := ∪ (并)和 ∧ := ∩ (交)的布尔代数。
- 如果 R 是一个任意的环，并且我们定义中心等幂元(central idempotent)的集合为
A =
则集合 A 成为有两个运算 e ∨ f := e + f − ef 和 e ∧ f := ef 的布尔代数。

次序论的性质

环 同任何格一样，布尔代数 (A, \land, \lor) 可以引出偏序集 (A, ≤)，通过定义 : a ≤ b 当且仅当 a = a \land b (它也等价于 b = a \lor b)。 事实上你还可以把布尔代数定义为有最小元素 0 和最大元素 1 的分配格 (A, ≤) (考虑为偏序集合)，在其中所有的元素 x 都有补 ¬x 满足 : x \land ¬x = 0 并且 x \lor ¬x = 1 这里的 \land 和 \lor 用来指示两个元素的下确界(交)和上确界(并)。还有，如果上述意义上的补存在，则它们是可唯一确定的。 代数的和次序论的观点通常可以交替的使用，并且二者都是有重要用处的，可从泛代数和次序论引入结果和概念。在很多实际例子中次序关系、合取(逻辑与)、析取(逻辑或)和否定(逻辑非)都是自然的可获得的，所以可直接利用这种联系。

对偶原理

你还可以把来自次序论的对偶性的普遍认识应用于布尔代数。特别是，所有的布尔代数的次序对偶，或者等价的说通过对换 \land 与 \lor 所获得的代数，也是布尔代数。一般的说，布尔代数的任何有效的规律都可以变换成另一个有效的对偶规律，通过对换 0 与 1，\land 与 \lor，和 ≤ 与 ≥。

其他记号

布尔代数的运算符可以用各种方式表示。它们经常简单写成 AND、OR 和 NOT。在描述电路时，还可以使用 NAND (NOT AND)、NOR (NOT OR) 和 XOR (排斥的 OR)。数学家、工程师和程序员经常使用 + 表示 OR 和 · 表示 AND (因为在某些方面这些运算类似于在其他代数结构中的加法和乘法，并且这种运算易于对普通代数熟悉的人得到积之和范式)，和把 NOT 表示为在要否定的表达式顶上画一条横线。 这里我们使用另一种常见记号，"交" \land 表示 AND，"并" \lor 表示 OR，和 ¬ 表示 NOT。(使用只有文本的浏览器的读者将见到 LaTeX 代码而不是他们表示的楔形符号。)

同态和同构

在布尔代数 A 和 B 之间的同态是一个函数 f : A → B，对于在 A 中所有的 a, b 都有: : f(a \lor b) = f(a) \lor f(b) : f(a \land b) = f(a) \land f(b) : f(0) = 0 : f(1) = 1 接着对于在 A 中所有的 a，f(¬a) = ¬f(a) 同样成立。所有布尔代数的类，和与之在一起的态射(morphism)的概念，形成了一个范畴。从 A 到 B 的同构是双射的从 A 到 B 的同态。同态的逆也是同态，我们称两个布尔代数 A 和 B 为同态的。从布尔代数理论的立场上，它们是不能区分的；它们只在它们的元素的符号上有所不同。

布尔的环、理想和过滤

每个布尔代数 (A, \land, \lor) 都引出一个环 (A, +,
- )，通过定义 a + b = (a \land ¬b) \lor (b \land ¬a) (这个运算在集合论中叫做"对称差集"在逻辑中叫做XOR(异或)) 和 a
- b = a \land b。这个环的零元素符合布尔代数的 0；环的乘法单位元素是布尔代数的 1。这个环有对于 A 中的所有的 a 保持 a
- a = a 的性质；有这种性质的环叫做布尔环。 反过来，如果给出布尔环 A，我们可以把它转换成布尔代数，通过定义 x \lor y = x + y − xy 和 x \land y = xy。因为这两个运算是互逆的，我们可以说每个布尔环引发一个布尔代数，或反之。此外，映射 f : A → B 是布尔代数的同态，当且仅当它是布尔环的同态。布尔环和代数的范畴是等价的。 布尔代数 A 的理想是一个子集 I，对于在 I 中的所有 x, y 我们有 x \lor y 在 I 中，并且对于在 A 中的所有 a 我们有 a \land x 在 I 中。理想的概念符合在布尔环 A 中环理想的概念。A 的理想 I 叫做素理想，如果 I ≠ A；并且如果 a \land b 在 I 中总是蕴涵 a 在 I 中或 b 在 I 中。A 的理想 I 叫做极大理想，如果 I ≠ A 并且如果正确的包含 I 的唯一的理想是 A 自身。这些概念符合布尔环 A 中的素理想和极大理想的环理论概念。 理想的对偶是过滤。 布尔代数 A 的过滤是子集 p，对于在 p 中的所有 x, y 我们有 x \land y 在 p 中，并且对于在 A 中的所有 a，如果 a \lor x = a 则 a 在 p 中。

表示布尔代数

可以证实所有的有限的布尔代数都同构于这个有限集合的所有子集的布尔代数。此外，所有的有限的布尔代数的元素数目都是二的幂。 Stone 的著名的布尔代数的表示定理陈述了所有的布尔代数 A 都在某个(紧凑的完全不连通的 Hausdorff)拓扑空间中同构于所有闭开集的布尔代数。

公理化布尔代数

在 1933 年，美国数学家 Edward Vermilye Huntington (1874-1952) 展示了对布尔代数的如下公理化: # 交换律: x + y = y + x。 # 结合律: (x + y) + z = x + (y + z)。 # Huntington 等式: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x。 一元函数符号 n 可以读做'补'。 Herbert Robbins 接着摆出下列问题: Huntington 等式能否缩短为下述的等式，并且这个新等式与结合律和交换律一起成为布尔代数的基础? 通过一组叫做 Robbins 代数的公理，问题就变成了: 是否所有的 Robbins 代数都是布尔代数? Robbins 代数的公理化: # 交换律: x + y = y + x。 # 结合律: (x + y) + z = x + (y + z)。 # Robbins 等式: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x。 这个问题自从 1930 年代一直是公开的，并成为 Alfred Tarski 和他的学生最喜好的问题。 在 1996 年，William McCune 在 Argonne 国家实验室，建造在 Larry Wos、Steve Winker 和 Bob Veroff 的工作之上，肯定的回答了这个长期存在的问题: 所有的 Robbins 代数都是布尔代数。这项工作是使用 McCune 的自动推理程序 EQP 完成的。

参见


- 布尔函数
- 布尔逻辑
- 规范形式 (布尔代数)
- 完全布尔代数
- 形式系统
- 力迫 (数学)
- Heyting代数
- 卡诺图
- 布尔代数主题列表
- 逻辑门
- 文氏图
- 格
- 有补格
- 分配格
- 逻辑代数

外部链接


- [http://plato.stanford.edu/entries/boolalg-math/ Article on The Mathematics of Boolean Algebra] at the Stanford Encyclopedia of Philosophy Category:布尔代数 category:代数 ja:ブール代数 th:พีชคณิตแบบบูล

逻辑

逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。

詞源

逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。

分支


- 经典逻辑
  - 传统逻辑(项逻辑)
  - 布尔逻辑
  - 命题逻辑
  - 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
  - 二阶逻辑
  - 相继式演算
  - 可计算性逻辑
- 多值逻辑
  - 三值逻辑
  - 模糊逻辑
  - 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
  - 中间逻辑
- 非单调逻辑
  - 缺省逻辑
  - 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
  - 线性逻辑
  - 相干逻辑
- 模态逻辑
  - 真势模态逻辑
  - 认识逻辑
  - 道义逻辑
  - 时态逻辑
  - 可证明性逻辑
  - 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
  - 次协调逻辑(弗协调逻辑)
    - 雙面真理逻辑
    - 相干逻辑
  - 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
  - 演绎推理(三段论)
    - 直言推理
    - 假言推理
    - 选言推理
  - 归纳推理
  - 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
  - 工具论(古希腊)亚里士多德
  - 正理经(古印度)足目·乔答摩
  - 墨经(古中国)墨子
  - 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
  - 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
  - 数学基础
  - 量子逻辑
  - 分析哲学
  - 计算机逻辑
  - 法律逻辑学 Category:邏輯 ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

程序员

程序员是从事程序开发、维护的专业人员。一般我们将程序员分为程序设计人员和程序编码员，但两者的界限并不非常清楚，特别是在中国。 英国著名诗人拜伦的女儿Ada Lovelace曾设计了巴贝奇分析机上解伯努利方程的一个程序。她甚至还建立了循环和子程序的概念。由于她在程序设计上的开创性工作，Ada Lovelace被称为世界上第一位程序员。 作为中国最早一批计算数学专业学生的王选院士在他回忆早年生活的文章中认为，董铁宝是“中国第一个程序员”。董铁宝1945年赴美国学习，在伊利诺伊大学学习、研究时，参与了第一代电子计算机伊利亚克机的设计、编程和使用。董铁宝于1956年回到中国并任教于北京大学，成为王选的老师。董铁宝在1968年文化大革命期间自杀身亡。

参考资料


- 王选《回忆北大数学力学系的大学生活》，自《北京大学数学学院九十年》纪念文集。 Category:程序设计 Category:職業 ja:プログラマ ko:프로그래머 th:โปรแกรมเมอร์

数字电路

处理数字信号的电路就称作数字电路，如各种门电路、触发器以及由它们构成的各种组合逻辑电路和时序逻辑电路。

电路研究

数字电路中研究的主要问题是输出信号的状态（“0”或“1”）和输入信号（“0”或“1”）之间的逻辑关系，既电路的逻辑功能。 数字电路的研究方法是逻辑分析和逻辑设计，所需要的工具是逻辑代数。

优点


- 电子设备从以模拟方式处理信息转到以数字方式处理信息的原因主要在以下几个方面：
- 稳定性好。数字电路不像模拟电路那样易受噪声的干扰。
- 可靠性高。数字电路中只需分辨出信号的有无，故电路的元件参数可以允许有较大的变化（漂移）范围。
- 能长期存储。数字信息可以利用某种媒介，如磁带、磁盘、光盘等进行长时期的存储。
- 便于计算机处理。数字信号的输出除了具有直观、准确的优点外，最主要的还是便于利用电子计算机来进行信息的处理。
- 便于高度集成化。由于数字电路中基本单元电路的结构比较简单，而且又允许元件有较大的分散性，这就使我们不仅可把众多的基本单元做在同一块硅片上，同时又能达到大批量生产所需要的成品率。

参见


- 数字逻辑 category:信號處理 category:电子工程 ja:デジタル回路

逻辑门

邏輯門是在集成電路上的基本組件。 ja:論理回路

SQL

SQL全称是「结构化查询语言（Structured Query Language）」，是数据库中使用的标准--查询语言，IBM公司最早使用在其开发的数据库系统中，1986年10月，美国ANSI对SQL进行规范后作为关系数据库管理系统的标准语言(ANSI X3. 135-1986)，1987年得到國際標準化組織的支持成为国际标准。不过各种通行的数据库系统在实现过程中都对SQL规范作了某些扩充，所以实际上不同的数据库系统的SQL语言不能完全相互通用。 SQL是高级的非過程化編程語言，允许用户在高层数据结构上工作。他不要求用户指定对数据的存放方法，也不需要用户了解具体的数据存放方式，所以具有完全不同底层结构的不同数据库系统可以使用相同的SQL语言作为数据输入与管理的接口。它以记录集合作为操纵对象，所有SQL语句接受集合作为输入，返回集合作为输出，这种集合特性允许一条SQL语句的输出作为另一条SQL语句的输入，所以SQL语言可以嵌套，这使他具有极大的灵活性和强大的功能，在多数情况下，在其他语言中需要一大段--实现的一个单独事件只需要一个SQL语句就可以达到目的，这也意味着用SQL语言可以写出非常复杂的语句。 SQL同時也是数据库文件格式的扩展名。 SQL语言包含4个部分：
- 数据查询语言（SELECT语句）
- 数据操纵语言（INSERT, UPDATE, DELETE语句）
- 数据定义语言（如CREATE, DROP等语句）
- 数据控制语言（如COMMIT, ROLLBACK等语句）

以SQL為基礎的其他延伸語言


- T-SQL :微軟SQL Server系列資料庫所用的SQL語言
- PL-SQL :Oracle資料庫所使用的SQL語言

教学


- [http://sql.1keydata.com/cn/sql.php SQL语言教学] Category:程序设计语言 Category:ISO Category:文件格式 ja:SQL th:ภาษาสอบถามเชิงโครงสร้าง

Google

本页是关于搜索引擎 Google 的, 若想了解 Google 公司的相关内容, 请参见条目 Google公司 Google公司 Google是一个位于美国的互聯網搜索引擎，它是互聯網上最大的搜尋器。，它是由Larry Page和Sergey Brin共同创建的。现在，他们正分别担任Google公司的产品总裁和技术总裁。該公司的戰略計劃，是組織全世界的資訊和普遍地將Google 容易接近與及有用。Google 每日透過不同的服務，處理超過2億條查詢。其公司总部位于美国加州圣克拉拉县的山景城（被称为“Googleplex”）。 除了搜尋網頁外，Google亦提供搜尋圖像、新聞組、新聞網頁、影片的服務。2005年6月，Google已儲存超過80億的網頁，1億3千萬張圖片，與及超過1億的新聞組訊息 - 總計大概10億4千萬個項目。它也缓存了编入索引中的绝大多数网页的内容。 因为Google的名声，“Google”一个事物做动词表示的是“在Google上寻找某事”。它有宽泛的“搜索网路”的意思。Google官方并不鼓励这种滥用他们公司名字的习惯，因为它可能导致Google变成一个通用商标名。

历史

Google 搜尋器在1996年由Larry Page 和Sergey Brin 開始展開研究計劃。他們是史丹福大學的畢業生。他們開發論說，提出搜尋器與網站是基於數學上分析的關係，比基礎技術製造更好的效果。這個計劃被命名為「BackRub」，因為該系統檢查外來網站連結來估計該網站的重要性。 他們相信，其他與該網頁相關性較高，而連結最多到該網頁，必定是最相關之一。Larry Page 和 Sergey Brin 決定去測試他們的論點，並安排基金給這搜尋器。這網站名為 Google! 存放於網域名稱 google.com. 他們於1998年9月7日，加洲門洛帕克的朋友車房，正式創立相同名稱的公司 - Google Inc.。Sergey Brin 因為不懂編寫HTML碼用來設計網頁，所以最初Google的頁面只是最基本的介面。 Google於2000年引入廣告，賣出一些關鍵詞，令到廣告更能與用家相關，另外因文字廣告是順序編排，減少了載入的時間和令頁面保持整齊。2001年9月，Google排名機構PageRank給予了美國專利權。專利權由史丹福大學和Lawrence Page授予給發明者。於2004年較早的高峰期，Google 掌管整個互聯網所有搜尋器如 Yahoo、AOL和CNN等的80%以上的搜索查詢。而Yahoo! 放棄了Google的搜尋技術的支持，Google亦沒有再提供分享其網頁搜尋。 Google搜尋有著幽默的特色，例如Google標誌在較重要時刻被卡通化修改(稱為 Google Doodles)，選擇去虛構和幽默的語言顯示Google，如Klingon 和 Leet，以及於四月的愚人節上造出一些關於公司的笑話。 這推測著Google未來是個人化的搜尋器，收集使用的資料由Google的Orkut、Gmail和Froogle 去給取搜尋結果基於個別之前所做的動作。其實，在Google Labs裡已經有一個試驗性的個人化搜尋。

Google 名稱

詞源

Google的名字是在偶然地拼錯的 googol。Googol 是一個數學上的術語，表示 1 後面接著 100 個 0。此術語是由美國數學家 Edward Kasner 的侄子 Milton Sirotta 所創造，出現在 Kasner 和 James Newman 所寫的《Mathematics and the Imagination》一書中而普及。Google 使用此術語來反映出公司的任務：組織網路上無窮無盡的資訊。

註冊商標 及 網域名稱

"To google" 是一個動詞，意思是使用Google搜尋一些東西。這是因為Google的大眾化 (在2005年1月, 擁有所有搜尋器的52%巿場，但其實是高於80%) 它亦一般地意味著於網絡上搜尋。Google官方沮喪地害怕使用公司名稱的用途，對於註冊商標的稀釋。 為了避免第3者的網域騎劫，Google已經購買轉向版權去保護一些發音相近的網域名稱，如 gogle.com 和 googel.com 等。註冊了的網域名稱能夠避免騎劫和一些對Google 無意思的幽默目的。

搜索引擎

索引大小


- ~ 1998年：25萬
- 2000年8月：10億6千萬
- 2002年1月：20億7千3百萬
- 2003年2月：30億8千3百萬
- 2004年9月：42億8千5百萬
- 2004年11月：80億5千8百萬個網頁，8億8千萬張圖片，8億4千5百萬個新聞組訊息，4千5百個新聞訊息
- 2005年6月：80億5千8百萬個網頁，11億8千7百萬張圖片，10億個新聞組訊息，6千6百個打印目錄，4千5百個新聞訊息 (來源：[http://archive.org Internet Archive]，GoogleBlog，Google Groups，Google Catalogs)

物理構造

Google於全球數個地方，僱用伺服器中心來存放較低成本的普通電腦，運行Red Hat Linux作業系統來回應搜索要求和索引網頁。這個於伺服器中心建立的「伺服器園地」以Shared nothing architecture (分佈式資料庫結構) 建造。索引是由程序Googlebot執行，它會定期地請求訪問已知的索引建立新頁面。頁面更新愈快，Googlebot訪問亦會愈多。再通過在這些已索引網頁上的連結來發現新頁面，並加入到資料庫。索引資料庫和網頁緩存大小是以兆兆位元組(terabyte)來衡量的。Google發展了一套檔案系統名為Google 檔案系統 ，儲存這些資料。 Google使用的这些机器的精确大小和位于何处至今未知，Google官方刻意含糊其词。在John Hennessy和David A. Patterson所著的《计算机建筑：走进大数》中，推测Google的服务器场中群集计算机群形成的“搜寻场”在2000年大约应该有6000个処理器,12000个普通IDE硬盘（即每个机器2个硬盘1个处理器），他们位于四个地方：二个在 矽谷和二个在 维吉尼亚。每个都以OC 48的线路（2488 Mbit/s，参见带宽）连接着因特网并且有一个OC 12（622 Mbit/s）线路连接着其他3个Google分站点。这些连接使用思科12000网关，用二个Foundry Networks BigIron 8000的以太网交换器分流成4 x 1 Gbit/s的线路连接到64个服务器夹，里面前后各是40台电脑和1台惠普以太网交换机，所以一个架子共有80个机器和2个惠普交换机。 Google在2004年4月发布的IPO S-1表单后，大财政公司的英特网开发单位副总裁Tristan Louis估计了现在的服务器场包含下列各项[http://www.tnl.net/blog/entry/How_many_Google_machines]：
- 719个服务器架
- 63,272台机器
- 126,544个處理器
- 253,088 GHz的處理能力
- 126,544 GB内存
- 5,062 TB的硬盘空间 依照这一估计，Google服务器场组成了全球最强大的超级计算机，每秒运行速度至少三倍于地球模拟器。

PageRank™ 和 索引

参见PageRank™ Google使用一種名為PageRank™的演算法，配合搜尋字串來排名網頁。PageRank™演算法根據加權繫數，推斷該其他連結到網頁的價值來處理。PageRank™如此取得由人所建立的連結，與及與人關聯的重要性。先前的排名搜尋方法，採用了許多搜尋器，以搜尋的關鍵詞和何時搜尋來排名頁面，或有多相關地關聯該搜尋。 另外，Google亦採用其他秘密準則，決定排名網頁的結果。 Google不止索引和緩衝HTML檔案，亦索引13種其他檔案類型，例如PDF、Word文件、[Excel]]試算表，以及純文字檔案。Google创新的搜索技术和典雅的用户界面设计使Google从第一代搜索引擎中脱颖而出。Google并非只使用关键词或代理搜索技术，它将自身建立在高级 PageRank™ （网页级别）技术基础之上。这项专利技术可确保始终将最重要的搜索结果首先呈现给用户。网页级别可对网页的重要性进行客观的分析。用于计算网页级别的公式包含5亿个变量和20多亿个项。网页级别利用巨大的网络链接结构对网页进行组织整理。当从网页A链接到网页B时，Google就认为“网页A投了网页B一票”。Google还对投票的网页进行分析。Google复杂的自动搜索方法和结构设计被认为可以避免任何人为感情因素提供公正的搜索结果。随着搜索引擎优化（SEO）和各种针对PageRank的交换链接的行为的流行，Google的PageRank™及公正性也越来越受到人们的质疑。 Google不但索引并缓存HTML文件, 而且还索引其他12种文件类型, 包括 .PDF，.txt，.doc和.xls。除了文本文件，其他文件的是先转换为HTML版本后缓存的。 所以借助Google可以不需要有这些文件的相应程序就可以看见这些非网页文件，如Word或是Excel。 使用者能自定义搜寻引擎。他们能设定一个缺省语言或使用 "SafeSearch" 过滤技术，设定在每页上被显示的结果多少。Google受争议的放置永久cookie在用户的机器上以储存这些信息，这使他们能够了解过去用户的搜索内容。任何一次搜索请求(只有头10个关键字被查询),每次最多查询头 1000 个结果(以每一页最多100个结果的方式显示)。 尽管它有极大的索引数目，仍然有相当多数量的数据库的数据只能是从网站访问到，而不是藉由连接。这所谓的深网暂时不能被Google数据库所覆盖，举例来说包含了图书馆的目录，官方的法定(政府)公文，电话簿等。 （关于 PageRank™ 的介绍，参见[http://www.google.com/technology/pigeonrank.html Google的PigeonRank™页]）

“Google跳舞”和SEO

Google跳舞是一种经常被讨论的现象，Google跳舞指的是Google月底大量更新数据库和算法的几天时间，因为可以发现，这几天对Google搜索关键字如www.yahoo.com得到的结果数是不一样的. 在跳舞期间，一个站点的等级可能在短时间里戏剧般的改变，而且不同的Google服务器（举例来说，www.google.com，www2.google.com，www3.google.com，www.google.co.uk，www.google.com.tw等）可能为相同的关键字提供不同的结果。跳舞似乎当是googlebot机器人抓取网页期间随即发生的。快速更新的网站，高级别的网页和新闻网站是最经常被检查的，虽然新闻不一定如此。小的调节在每月里持续进行以确定网页级别。在一些情况下，可能需要二到三个月让新建页面出现在搜索结果里。 从2003年的夏季开始，每月的搜索，索引和等级更新被不间断的持续更新所取代。这种改变大大减少了Google搜索结果的不稳定性。2003年11月15日，Google似乎进行了有史以来最重要的一次算法升级，后来被称为“佛罗里达更新”。在这次更新中，几乎所有商业领域的关键词都受到了影响，尤其是一些热门的关键词，Google搜索的结果页完全变了个样儿，很多头一天还排在首位的网站被远远甩到了500名之后。 Google目前的主要挑战之一是，它的算法和结果越是得到网路使用者的信赖，商业网站为了利益而暗中破坏结果的风险就越戏剧般的增加。一些搜索引擎优化公司已经开始尝试使用各种不同的技巧提升Google网页评级，以使他们客户的网站更多的被搜索到。Google已经设法减少了一些已知的使用这种方法的网站的Google页面评级。 SEO（Search Engine Optimization），即“搜索引擎优化”。由于Google实际上已经成为最流行的搜索引擎之一，很多网站管理员十分热衷于跟踪他们网站在Google上的左侧排名，并试图解释他们排名变化的原因。现在已有不少网站提供排名Google搜索引擎优化服務，如在一些高流量的讨论区内刻意加入商业网站的链接，从而使该网站在Google的排名提高。这种“发明”虽然的确有一定成效，但这种收取客户金钱，在第三者的讨论区上大卖广告，一方面对讨论区的读者造成困扰，也侵害了讨论区的商业利益；这种做法也明显违反了商业道德。 还有一种被普遍采用的技术是很多网站使用一个相同的关键字连接到某一个特定的网站，以使用户在Google搜索这个关键字的时候，这个网站的排名会出现在结果的较前面。这种方法被称为Google炸弹。现在Google算法更新的频率非常快，距猜测，现在算法公式中涉及的变量有300多个，PageRank™在整个Google算法中的影响力已经下降到20%左右，最终平衡的算法中最重要的变量所占的比例不会超过10%，单纯靠技术手段提升排名的网站已经禁不住时间的考验。 Google发布了一系列的[http://www.google.com/webmasters/guidelines.html 文章]以指导站长们提升他们网站的页面评级。

其他的Google服务

对于其他Google公司提供的服务，请参见：Google公司#公司产品和服务一节 以下是Google网站上提供的服务。

Google网上论坛(新闻组)和Google图片搜索服务

Google维护着一个重要的新闻组存档，它被叫做Google网上论坛（即从前一个叫做DejaNews的独立网站）和一个 图像搜索服务（被叫做“Google图像”）。前者保存了几十年内几乎所有的新闻组帖子，后者的搜索则是以与图片相关的网页的文本，图片的标题为基础进行的，图片被以合理使用原则缓存进了Google服务器。 Google现在正在尝试一个新版的网上论坛服务(Google Group-beta)，它除了增加新闻组投递功能外还有邮件列表功能，可以使用如类似Gmail这类的接口完成操作。（见下） Google Group-beta 目前还存在[http://groups-beta.google.com/group/google-labs-groups2/msg/b54c12517c75eb24 一些未解决的缺陷]。

Google新闻

Google有一个测试版的自动化新闻服务，2004年9月“Google新闻”包括有美国版，英国版，德国版，法国版，西班牙版，意大利版，新西兰版，印度版，澳洲版，台湾版，韩国版，日本版，中国版和香港版。为了公正客观没有偏见地报道任何新闻，Google新闻的产生是完全由电脑算法决定的，没有人类编辑参与其中。 该服务包括在过去30天内所含语言新闻网站上出现新闻的存档，不同的国家有不同数量的新闻来源；对于英语它包括大约4,500个新闻源，其他语言比较少一些。并且提供新闻的大约头200个字和一个指向全文的连接。一些需要先订阅才能阅读的网站;Google新闻标题中还会有明显的提示信息。 Google新闻提供搜索服务，结果可以以新闻发生日期（这样就不会再对新闻发生的时间感到困扰了）或相关性成类排序（也可以直接分类查看）。在英语版中，有一个可以选择对应国家的选项。 还可以使用关键字订阅Google新闻警报。这样，当与关键字相关的新闻发生时，Google新闻会发出一封电子邮件通知订阅者。 2005年3月10日Google新闻增加了自定义功能，用户可以自己随意定义自己喜欢看的新闻，甚至不同语言的新闻也可以混和在一页内。这是网络新闻提供方式的一个重大革新。 Google新闻服务也可以按来自国家分别查看（跳转至#Google新闻地区连接）

Google网页目录

Google网页目录是一个包括了世界多种语言网页的目录集。在网页目录里面的网页内容一般不会被翻译为其他语言，而总是包括其语言在万维网中的内容的。 网页目录功能与网页搜索是集成的，当搜索网页时，相关网页在目录中的内容会以链接的形式在搜索结果中显现。点击链接就可以找到在同一个目录下相似网页或其它类似分类,这当你不确定到底要找什么时是非常有用的。当搜索范围涵括太广，使用网页目录可缩小搜索于指定范围。例如察看“中文／新闻／杂志”分类子目录，则可知道有哪些中文杂志有网页。网页目录可略去类似但无关的网页。如检索“大学”，将搜索范围设定“教学机构”分类，即可略去像“大学书城”、古书里“大学”、论语的內容.网页目录只包括经编辑群审核过网站。因为网页目录是在开放式目录（Open Directory）工程下运作的。网页重要性排列是网页级别技术及人工的结合。Google還可辨出常用重要网站，排放在目录前面（用粗体字标出）提升网页搜索效率并藉由绿线长短表明网页评級。（参见 PageRank™）

Google Answer

2002年4月,Google啓動了名为"Google Answers"的新服务.Google Answers是传统搜索功能的扩展－用户不用自己搜索内容,他们请专家搜索然后付费.顾客问问题,并为问题提供一个相应的价钱,然后研究者们回答他们的问题.研究者们经过程序的筛选以测试他们的水平和交际能力.问题的价格从$2到$200不等;Google从中提取25%回扣,剩下的归研究者所有,他们还要付$0.50的列出费.一旦一个问题被回答了,它的答案对所有人就都可以免费浏览了.这个服务在2003年5月开始公共测试.现在大约一天会有100个问题被回答.

Froogle

2003年12月,Google发布了Froogle,一个搜索网页目录上特定产品的副产品.这个站点活跃测试了几个月.现在它也提供无线可标记语言(WML)格式以使得电话或其他支持WML的无线设备可以访问它.

Google Web API

Google Web API(网络应用程序接口或网络服务)是Google为注册的开发者提供的公共介面.使用Simple Object Access Protocol(SOAP,简单对象访问协议),程序员可以依据Google搜索结果开发搜索服务和进行数据挖掘.同样的,网虫们也可以访问页面缓存然后对页面提出建议. 缺省的,一个开发者每天只能有1,000次搜索请求.这个程序仍然処于测试中.Google是很少的几个把其结果通过公共网络应用程序接口公开给大众的搜索引擎;Technorati是另外一个这样做的公司. Google这项服务的一些流行应用包括, Google Alert最新资料快报[http://www.findforward.com FindForward],它同时也是一个调查Google跳舞情况的工具,它监视着Google蜘蛛在万维网上的活动情况.

Google Print

2004年8月, Google开始提供一项名为Google Print的新服务. 该工具可以在搜索页面提供由内容出版商提供的书本内容的搜索结果. 并提供连向购买书本的网页以及内容相关广告. Google会限制可查阅书本的页数. [http://www.gregduffy.com/2005/03/04/1109964561920.html], 不过有人已经发现破解方法. 至2005年5月, 该服务仍然処于β阶段. 这个服务与A9.com提供的很类似. 2004年12月, Google扩展了Google Print的功能. [http://www.google.com/googleblog/2004/12/all-booked-up.html] 其书本包括了一些著名大学和一些公共图书馆, 包括密歇根大学, 哈佛大学的Widener图书馆, 斯坦福大学的格林图书馆), 牛津大学的牛津大学图书馆以及纽约公共图书馆. 根据这些大学图书馆和图书的出版状况, Google计画十年内将有约1500万本位于公共领域的书上线. [http://www.nytimes.com/2004/12/14/technology/14google.html?hp&ex=1103086800&en=9d5c79b92752adff&ei=5094&partner=homepage] [http://www.google.com/press/pressrel/print_library.html] [http://print.google.com/googleprint/library.html] [http://www.webmasterworld.com/forum3/27080.htm] 参见: 数字图书馆
- [http://print.google.com Google Print首页]

Google Maps

[http://maps.google.com/ Google Maps]提供各種地圖服務，包括局部詳細的衛星照片。2005年6月20日，Google Maps的覆蓋範圍從原先的美國、英國及加拿大擴大為全球。 注意: 該軟件仍然處於β狀態, 這意味著軟件本身可能存在需要進一步修復的缺陷與改進。

Google Earth

參看Google Earth Google推出的电子地图服务，使用者通过下载一个客户端，便可以查看全世界的卫星地图。 注意: 該軟件仍然處於β狀態, 這意味著軟件本身可能存在需要進一步修復的缺陷與改進。

Google Moon

2005年7月20日，Google公司發佈了稱為[http://moon.google.com/ Google Moon]的網上服務，紀念阿波羅11號於1969年7月20日登月35周年。此服務以之前發佈的[http://maps.google.com/ Google Maps]作基礎，衛星數據則來自NASA。用家可使用Google Moon觀看月球凹凸不平的表面地形，當把地圖放到最大時，月球表面會變成一片芝士。

Google Local

2005年9月5日，Google公司在中国推出本地搜索服务，连地址也本地化bendi，[http://bendi.google.com Google 本地搜索]：查找本地公司与服务。英文版是[http://local.google.com/ Google Local]，到目前为止,Google Local已经在美国、英国、日本和加拿大开始运行,中国是GOOGLE开启这项服务的第五个国家。为中国版google本地搜索提供地图的是一家国内的公司：[http://www.mapabc.com mapabc] 9月5日

其他

Google Scholar

:2004年11月,Google发布"Google Scholar",这是一个学术文献资源搜寻引擎. 搜索结果根据"相关性"排列, 这与Google网站使用的PageRank非常类似.

Google Special

:这个搜索服务提供了包括美国政府,Linux,BSD, 麦金塔和微软四个特别领域的搜索服务

Google University

:集中搜尋大學的網頁。

Google Wireless

:Google 无线 可以让用户通过无线设备例如手机或者掌上电脑来搜索。

Google Video

:2005年1月25日，Google公司推出[http://video.google.com/ Google Video]服务，该服务可以通过Google网站搜索最近播出的电视节目。目前该服务仍处于β测试阶段，且仅能搜索美国播出的电视节目。

Google Search History

:Google搜索历史，记录用户的每一个搜索关键词以及相关网页的点击情况，还可以显示出每天的搜索频率。需要用Google帐户登陆才能使用这项服务。

Google Personalized Homepage

:2005年5月19日，Google在Google实验室的网页上推出了[http://www.google.com/ig Google Personalized Homepage](自定义主页)服务。该项服务允许有帐号的用户自定义首页内容。这些内容包括Gmail信件, BBC新闻, 股票行情等等。用户也可以自定义首页布局. 对这项服务的评价不一, 有人认为这是Google向传统门户网站靠近的一步行动。无论如何, 这只是一项在Google实验室提供的服务, 因此也意味着Google随时都有可能改进或取消它。

Google SiteMap

:Google为网站所有者提供的服务，由网站所有者提供一份XML格式的网站网页地址列表，Google将通过此文件对文件中地址进行抓取。

Google Base

:2005年11月17日, Google开放了先前传闻的Google Base服务, 用户可以使用Google帐号登入和他人分享任何信息.

其他工具


- Google提供一个点击付费的广告服务叫做AdWords，它允许广告商们在Google搜索结果页和参与使用AdSense项目的网站上显示他们的广告条。
- AdSense允许站长们显示Google广告在他们的站点上并以访问者点击获得收益。这项服务使用Google的相关文本技术以使广告内容与页面内容一致。
- Google提供几种语言间实验性的机器翻译服务。
- Google内置一个计算器和单位转换，见下。
- 2002年5月，Google在Google实验室里启动Google术语测试版。它可以对给定的词提供其不同网站上的定义。测试之后，Google现在将其与Google搜索合并；现在它称作Google Definitions。
- 2003年9月，Google启动地点搜索测试版，其类似与普通搜索，但它允许用户限制搜索美国境内的州，城市或邮政编码。它还提供用户相关地区的地图，估计距离，方位信息。这项服务最近重命名为Google Local。
- 2004年3月，Google实验室启动了两个测试。一个是个性化网页搜索，这是一个依赖于用户特征或兴趣的搜索引擎。另一个是Google网页提醒，这个工具会当网页上有用户定义的相关搜索新信息时会给用户发送提醒电子邮件。

Google工具软件

欲了解Google Desktop Search :请参见Google Desktop Search 欲了解Google Web Accelerator :请参见Google Web Accelerator 欲了解Google Earth :请参见Google Earth 以下只列出与Google网站相关的核心服务。

Google工具栏

:Google工具栏是一个免费的IE插件。功能包括：在不打开Google网页的情况下随时搜索并查看相关页面信息；查看Google对网页的PageRank；阻止自动弹出窗口；自动填写表单；用不同颜色标识关键字。 :有人指称使用它会带来安全风险，因为它会在无用户干预的情况下自动更新。 :