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命题逻辑

命题逻辑

在数理逻辑中命题演算或句子演算是一个形式演绎系统，其原子公式是命题变量。(相对于谓词逻辑，它是量化的并且它的原子公式是谓词函数；和模态逻辑，它可以是非真值泛函的。) 演算是用来证明有效的公式(就是说它的定理)和论证(argument)的逻辑系统。它是公理的集合(它可以为空或是可数无限集合)或公理模式(schemata)，和推导有效的推理的推导规则。形式文法(或语法)递归定义语言的表达式和合式(well-formed)公式(wff)。此外给出定义真值(truth)和求值(valuation)(或释义(interpretation))的语义。它允许我们确定哪个 wff 是有效的(也就是定理)。 在命题演算中语言由命题变量(或者叫占位符(placeholder))和句子算子(或者叫连结词)。wff 是任何原子公式或在句子操作符之上建造的公式。 在下文中我们描述一种标准命题演算。很多不同的公式系统存在，它们都或多或少等价但在下列方面不同：(1)它们的语言(就是说哪些操作符和变量是语言的一部分); (2) 它们有哪些(如果有的话)公理; (3)采用了哪些推理规则。

文法

语言的构成: # 字母表的大写字母，表示命题变量。它们是原子公式。惯例上，使用拉丁字母(A, B, C)或希腊字母(χ, φ, ψ)，但是不能混合使用。 # 表示连结词(connective)(或逻辑算子)的符号: ¬、∧、∨、→、↔。(我们可以使用更少的算子(和相应的符号)，因为一些算子是简写形式 — 例如，P → Q 等价于 ¬ P ∨ Q)。 # 左右圆括号: (，)。 合式公式(wff)的集合右如下规则递归的定义: # 基础: 字母表的字母(通常是大写的，如A、B、φ、χ 等)是 wff。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II 如果 φ 和 ψ 是 wff，则 (φ ∧ ψ)、(φ ∨ ψ)、(φ → ψ) 和 (φ ↔ ψ) 是 wff。 # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。 重复的应用这三个公式允许生成复杂的 wff。例如: # 通过规则 1，A 是 wff。 # 通过规则 2，¬ A 是 wff。 # 通过规则 1，B 是 wff。 # 通过规则 3，( ¬ A ∨ B ) 是 wff。

演算

为了简单化，我们使用自然演绎系统，它没有公理；或者等价的说，它有空的公理集合。 使用我们的演算的推导将用编号后的行的列表，在每行之上有一个单一的 wff 和一个断定(justification)的形式展示出来。任何前提(premise)都在定部，并带有 "p" 作为它们的断定。结论将在最后一行。推导将被看作完备的，条件是所有行都是通过正确的应用一个规则而从前面的行得出的。 (作为一种对比的方式，参见证明树)。

公理

我们的公理集合是空集。

推理规则

我们的命题演算有十个推理(inference)规则。这些规则允许我们从给定的一组假定为真的公式中推导出其他为真的公式。前八个简单的陈述我们可以从其他 wff 推论出(infer)特定的 wff。但是最后两个规则使用了假言(hypothetical)推理，这意味着在规则的前提中我们可以临时的假定一个(未证明的)假设(hypothesis)作为推导出的公式集合的一部分，来查看我们是否能推导出一个特定的其他公式。因为前八个规则不是这样而通常被描述为非假言规则，而最后两个就叫做假言规则。 ; 双重否定除去: 从 wff ¬ ¬ φ，我们可以推出 φ。 ; 合取介入: 从任何 wff φ 和任何 wff ψ，我们可以推出 ( φ ∧ ψ )。 ; 合取除去: 从任何 wff ( φ ∧ ψ )，我们可以推出 φ 和 ψ。 ; 析取介入: 从任何 wff φ，我们可以推出 (φ ∨ ψ) 和 (ψ ∨ φ)，这里的 ψ 是任何 wff。 ; 析取除去: 从 ( φ ∨ ψ )、( φ → χ ) 和 ( ψ → χ ) 形式的wff，我们可以推出 χ。 ; 双条件介入: 从 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ ) 形式的 wff，我们可以推出 ( φ ↔ ψ )。 ; 双条件除去: 从 wff ( φ ↔ ψ )，我们可以推出 ( φ → ψ ) 和 ( ψ → φ )。 ; 肯定前件: 从 φ 和 ( φ → ψ ) 形式的 wff，我们可以推出 ψ。 ; 条件证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ，我们可以推出 ( φ → ψ )。 ; 反证证明: 如果在假定假设 φ 的时候可以推导出 ψ 和 ¬ ψ，我们可以推出 ¬ φ。

证明的例子

下面是(语法上的)证明的一个例子:
要证明: A \rightarrow A
证明:
解释 A \vdash A 为 "假定 A，推导出 A"。读 \vdash A \rightarrow A 为 "不假定任何东西，推导出 A 蕴涵 A" ，或者 "A 蕴涵 A 是重言式" ，或者 "A 蕴涵 A 是永真的"。

规则的可靠性和完备性

这组规则的关键特性是它们是可靠的和完备的。非形式的，这意味着规则是正确的并且不再需要其他规则。这些要求可以如下这样正式的提出。 我们定义真值指派为把命题变量映射到真或假的函数。非形式的，这种真值指派可以被理解为对事件的可能状态(或可能性世界)的描述，在这里特定的陈述是真而其他为假。公式的语义因而可以被形式化，通过对它们把那些"事件状态"认定为真的定义。 我们通过如下规则定义这种真值 A 在什么时候满足特定 wff:
- A 满足命题变量 P 当且仅当 A(P) = 真
- A 满足 ¬ φ 当且仅当 A 不满足 φ
- A 满足 (φ ∧ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者
- A 满足 (φ ∨ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 和 ψ 中至少一个
- A 满足 (φ → ψ) 当且仅当没有 A 满足 φ 但不满足 ψ 的事例
- A 满足 (φ ↔ ψ) 当且仅当 A 满足 φ 与 ψ 二者，或则不满足它们中的任何一个 通过这个定义，我们现在可以形式化公式 φ 被特定公式集合 S 蕴涵的意义。非形式的，就是在使给定公式集合 S 成立的所有可能情况下公式 φ 也成立。这导引出了下面的形式化定义: 我们说 wff 的集合 S 语义蕴涵(蕴涵：entail 或 imply)特定的 wff φ，条件是满足在 S 中的公式的所有真值指派也满足 φ。 最后我们定义语法蕴涵，φ 被 S 语法蕴涵，当且仅当我们可以在有限步骤内使用我们提出的上述推理规则推导出它。这允许我们精确的公式化推理规则的可靠性和完备性的意义: ; 可靠性 : 如果 wff 集合 S 语法蕴涵 wff φ，则 S 语义蕴涵 φ ; 完备性 : 如果 wff 集合 S 语义蕴涵 wff φ，则 S 语法蕴涵 φ 对上述规则集合这些都成立。

可靠性证明的梗概

(对于多数逻辑系统，这是相当"简单的"证明方向) 符号约定: 设 "G" 是涉及语句集合的变量。设 "A"、"B" 和 "C" 是涉及句子的变量。我们把 "G 语法蕴涵 A" 写成 "G 证明 A"。我们把 "G 语义蕴涵 A" 写成 "G 蕴涵 A"。 我们要展示: (A)(G)(如果 G 证明 A，则 G 蕴涵 A) 我们注意到 "G 证明 A" 有一个归纳定义，这给予我们直接的办法来证实(demonstrate)"如果 G 证明 A，则 . . ."形式的断言。所以我们的证明是用归纳法进行的。
- I. 基础。展示: 如果 A 是 G 的成员则 G 蕴涵 A
- [II. 基础。展示: 如果 A 是公理，则 G 蕴涵 A
- III. 归纳步骤: (a) 假定对于任意的 G 和 A，如果 G 证明 A 则 G 蕴涵 A。(如果需要的话，对 B、C 等做同样的假定) ::(b) 对于针对 A 的推论的规则的，导出一个新的句子 B 的每个可能的应用，展示 G 蕴涵 B。 (N.B. 对于上述演算基础步骤 II 可以省略，它是自然演绎系统而没有公理。基本上，它涉及展示每个公理都是(语义上)逻辑真理。) 基础步骤证实了对于任何 G 来自 G 的最简单的可证明的语句都被 G 所蕴涵。(这是简单的，因为集合蕴涵它的任何一个成员是语义事实，这是平凡的(trivial))。归纳步骤将有系统的覆盖所有的进一步的可证明的句子--通过考虑我们能够使用推理规则达成逻辑结论的每种情况--并展示如果一个新句子是可证明的，它也是在逻辑上被蕴涵的。(例如，我们可能有一个告诉我们从 "A" 可以推导出 "A 或 B"。在 III.(a) 中我们假定如果 A 是可证明的则是被蕴涵的。我们也知道如果 A 是可证明的，则 "A 或 B" 是可证明的。我们必须展示接着 "A 或 B" 也是被蕴涵的。我们求助于语义定义和我们所做的假定来完成。我们假定了 A 从 G 是可证明出来的。所以它也被 G 所蕴涵。所以使 G 全部为真的任何语义求值也使 A 为真。此外通过"或"的语义定义，使 A 为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以使 G 的全部为真的任何求值都使 "A 或 B" 为真。所以 "A 或 B"被蕴涵了。)一般的，归纳步骤将由有一定长度的，却是推论的所有规则的简单的逐个例的分析组成的，它展示每个"保持的"语义蕴涵。 通过可证明性的定义，除了 G 的成员、公理、或从规则得出的句子之外没有是可证明的；所以如果所有这些都是语义上被蕴涵的，则演绎演算是可靠的。

完备性证明的梗概

(这通常是非常困难的证明方向。) 我们接受同上面一样的符号约定。 我们要展示: 如果 G 蕴涵 A，则 G 证明 A。我们通过反证法来进行: 我们转而展示如果 G 不证明 A，则 G 不蕴涵 A。
- I. G 不证明 A。(假定)
- II. 如果 G 不证明 A，则我们可以构造一个(有限的)"最大化的集合" G
- ，它是 G 的超集并且不证明 A。
  - (a)在这个语言的所有句子上加置一个"次序"。(比如，字母表次序)，并把它们编号为 E1, E2, . . .
  - (b)归纳的定义集合(G0, G1 . . . )的一个序列(series) Gn 为如下 (i)G0=G。 (ii) 如果 证明 A，则 G(k+1)=Gk。 (iii) 如果 不证明 A，则 G(k+1)=
  - (c)定义 G
- 为所有 Gn 的并集。(就是说，G
- 在任何 Gn 中的所有句子的集合)。
  - (d) 可以容易的展示 (i) G
- 包含(是其超集) G (通过 (b.i))；(ii) G
- 不证明 A (因为如果它证明 A 则某些句子被增加到某个 Gn 上而导致它证明了 A; 但是这被定义所排除)；和 (iii) G
- 是(关于 A) "最大化的集合": 如果任何更多的句子不管怎样的被增加到 G
- ，它就会证明 A。(因为如果有可能增加任何更多的句子，再次根据定义，在构造 Gn 期间被遇到的时候它们就应当已经被增加进去了。)
- III. 如果 G
- 是(关于 A)的最大化集合，则它是"类真理的"。这意味着它包含句子 "A"，只在它不包含非-A 的句子的条件下; 如果它包含 "A" 并且包含 "如果 A 则 B"，则它也包含 "B"；以此类推。
- IV. 如果 G
- 是类真理的，则有这个语言的 "G
- -规范"求值: 它使在 G
- 中每个句子为真而在 G
- 之外的所有句子为假，而仍然遵守在这个语言的语义合成(composition)的法则。
- V. G
- -规范求值将使我们最初的集合 G 全部为真，而使 A 为假。
- VI. 如果有在其上 G 是真而 A 是假的求值，则 G 不(语义上)蕴涵 A。 Q.E.D.

可供选择的演算

有可能定义其他版本的命题演算，它通过公理的方式定义了多数逻辑算子的语法，并且它只使用一个推理规则。

公理

设 φ、χ 和 ψ 表示合式公式。(wff 自身将不包含任何希腊字母，而只包含大写罗马字母、连结算子和圆括号)。公理有
- THEN-1: φ → (χ → φ)
- THEN-2: (φ → (χ → ψ)) → ((φ → χ) → (φ → ψ))
- AND-1: φ ∧ χ → φ
- AND-2: φ ∧ χ → χ
- AND-3: φ → (χ → (φ ∧ χ))
- OR-1: φ → φ ∨ χ
- OR-2: χ → φ ∨ χ
- OR-3: (φ → ψ) → ((χ → ψ) → (φ ∨ χ → ψ))
- NOT-1: (φ → χ) → ((φ → ¬ χ) → ¬ φ)
- NOT-2: φ → (¬ φ → χ)
- NOT-3: φ ∨ ¬ φ 公理 THEN-2 可以被看作是"关于蕴涵的蕴涵的分配特性"。公理 AND-1 和 AND-2 对应于"合取除去"。在 AND-1 和 AND-2 之间的关系反映了合取算子的交换性。公理 AND-3 对应于"合取介入"。公理 OR-1 和 OR-2 对应于"析取介入"。在 OR-1 和 OR-2 之间的关系反映了析取算子的交换性。公理 NOT-1 对应于"反证法"。公理 NOT-2 说明了"从矛盾中可以推导出任何东西"。公理 NOT-3 叫做"排中律" (拉丁语 tertium non datur: "排除第三者")并反映了命题公式的语义求值: 公式可以有的真值要么是真要么是假。至少在经典逻辑中，没有第三个真值。直觉逻辑不接受公理 NOT-3。

推理规则

推理规则是肯定前件:
- \phi, \ \phi \rightarrow \chi \vdash \chi . 如果还使用双箭头的等价算子的话，则要增加如下"自然"推理规则:
- IFF-1: \phi \leftrightarrow \chi \vdash \chi \rightarrow \phi
- IFF-2: \phi \rightarrow \chi, \ \chi \rightarrow \phi \vdash \phi \leftrightarrow \chi

元推理规则

设示范被表示为相继式，假设在十字转门(turnstile)的左侧而结论在十字转门的右侧。则演绎定理可以被陈述如下: : 如果相继式 :: \phi_1, \ \phi_2, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi : 已经被证实了，则也有可能证实相继式 :: \phi_1, \ \phi_2, \ ..., \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi 。 这个演绎定理(DT)自身没有公式化为命题演算: 它不命题演算的定理，而是关于命题演算的一个定理。在这个意义上，它是元定理，相当于关于命题演算可靠性和完备性的定理。 在另一方面，DT 对与简化语法上的证明过程是如此的有用以至于它看作和用做推理规则，同肯定前件一起使用。在这个意义上，DT 对应于自然条件证明推理规则，它是在本文中提出的第一个版本的命题演算的一部分。 DT 的逆定理也是有效的: : 如果相继式 :: \phi_1, \ \phi_2, \ ..., \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi : 已经被证实了，则也有可能正式相继式 :: \phi_1, \ \phi_2, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi 实际上，DT 的逆定理的有效性相对于 DT 而言是平凡的: : 如果 :: \phi_1, \ ... , \ \phi_n \vdash \chi \rightarrow \psi : 则 :: 1: \phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \chi \rightarrow \psi :: 2: \phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \chi : 并且可以演绎自 (1) 和 (2) :: 3: \phi_1, \ ... , \ \phi_n, \ \chi \vdash \psi : 通过肯定前件的方式，Q.E.D. DT 的拟命题有着强有力的蕴涵: 它可以用来把公理转换成推理规则。例如，公理 AND-1, : \vdash \phi \wedge \chi \rightarrow \phi 可以通过演绎定理的逆定理的方式被转换成推理规则 : \phi \wedge \chi \vdash \phi 这是合取除去，是(在本文中)第一个版本的命题演算中使用的十个推理规则中的一个。

证明的例子

下面是(语法上)证明的一个例子，只涉及到公理 THEN-1 和 THEN-2:
要证明: A → A (蕴涵的自反性)。
证明: :1. (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A)) ::公理 THEN-2 通过 φ = A, χ = A → A, ψ = A :2. A → ((A → A) → A) ::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A → A :3. (A → (A → A)) → (A → A) ::得自 (1) 和 (2) 通过肯定前件。 :4. A → (A → A) ::公理 THEN-1 通过 φ = A, χ = A :5. A → A ::得自 (3) 和 (4) 通过肯定前件。

其他逻辑演算

命题演算大概是在所有当前使用的逻辑演算中最简单的一种。(亚里士多德的"三段论"演算，在现代逻辑中在很大程度上被替代了，它与命题逻辑相比在某些方面更简单--但在其他方面更加复杂)。它可以按很多方式来扩展。 最直接的方式是开发一个更加复杂的逻辑演算，介入对所用于的句子的更精细的细节敏感的规则。在命题逻辑中的"原子句子"被分解成项、变量、谓词和量词的时候，它们就生成了一阶逻辑，或者叫做一阶谓词逻辑，它保持命题逻辑的所有规则并增加了一些新规则。(例如，从"所有的狗都是动物"我们可以推出"如果 Rover 是狗，则 Rover 是动物")。 通过一阶逻辑的工具，有可能公式化一些理论，要么带有显式的公理要么通过推理规则，而把它们自身当作逻辑演算。算术是其中最周知的理论；其他的还包括集合论和 mereology。 模态逻辑也提供了一种推理的变体，它不能在命题演算中捕获。例如，从"必然性的 p" 我们可以推出 p。从 p 我们可以推出 "可能性的 p"。 多值逻辑是允许句子有除了真和假之外的值的逻辑。(例如，都不和都是是标准的"额外值"；"连续统逻辑"允许每个句子有任何的在真和假之间的表示"真实程度"的有限的数值)。这些逻辑经常要求与命题逻辑非常不同的运算设备。

参见


- 布尔代数主题列表
- 哥德尔、埃舍尔、巴赫
- 布尔逻辑
- 弗雷格的命题演算

外部链接


- [http://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm Article on Propositional logic] at the Internet Encyclopedia of Philosophy
- [http://www.ltn.lv/~podnieks/mlog/ml2.htm Introduction to Mathematical Logic] Category:离散数学 Category:数理逻辑 th:แคลคูลัสเชิงประพจน์

数理逻辑

数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。 数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。

历史

“数理逻辑”的名称由皮亚诺（Peano）首先给出，他又称其为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。 某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和兰伯特（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。 亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。 传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论据的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语形”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。 数理逻辑的里程碑式著作有哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）和伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）。

数理逻辑论的体系

数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归函数论。有时还包括公理集合论。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，这是因为许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，比如说象阿兰·图灵。 程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。 柯里－霍华德同构（Curry-Howard isomorphism）给出“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算以及其它演算和组合逻辑现在属于理想程序语言。 计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。

一些基本结果

一些重要结果是：
- 一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。用技术语言来说，证明集合是原始递归的。实质上，这就是哥德尔完备性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。
- 有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在检测普遍有效性的算法。尽管以下算法存在：对此算法输入一个一阶公式，如果这个一阶公式是普遍有效的，那么算法将在某一时刻停机，如果不是普遍有效的，那么算法将会永远不停地计算下去。然而，即使算法已经运行了亿万年，公式是否有效仍是未知数。换句话说，这一集合是“递归可数的”，用更通俗的话来讲，是“半可判定的”。
- 普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可数的。这是哥德尔不完备定理的一个结果。
- 勒文海姆-斯科伦定理（Löwenheim-Skolem theorem）。
- 相继式演算（sequent calculus）中的切割－消去法。
- 保罗·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。

技术参考

一阶语言和结构

定义 一阶语言 \mathfrak\, 是一组独特的印刷上的符号，分类如下: # 等价符号 =\,；连结词 \lor\,，\lnot\,；全称量词 \forall\, 和圆括号 (\,，)\,。 # 变量符号的可数集合 \_^\infty\,。 # 常量符号的集合 \_\,。 # 函数符号的集合 \_\,。 # 关系符号的集合 \_\,。
所以，要指定一个语言，通常只指定一组常量符号、函数符号和关系符号就足够了，因为第一组符号是标准的。圆括号只充当形成符号的群组的目的，在公式中书写函数和关系的时候被非形式的使用。 这些符号就是符号。它们不代表任何东西。他们不意味任何事物。加入语义和语言学要点对数学语言的形式化是没有用的。 因为确实需要在这些形式化之外获得某些意义。在语言之上的模型的概念就提供着这种语义。
定义 在语言 \mathfrak\, 上的 \mathfrak\,-结构是由非空集合 A\, 构成的包(bundle)，它是结构的全集，包括了: # 对于来自 \mathfrak\, 的每个常量符号 c\,，有一个元素 c^ \in A\,。 # 对于来自 \mathfrak\, 的每个 n\,-元函数符号 f\,，有一个 n\,-元函数 f^ : A^n \longrightarrow A\,。 # 对于来自 \mathfrak\, 的每个 n\,-元关系符号 R\,，有一个在 A\, 上的 n\,-元关系，就是说一个子集 R^ \subseteq A^n\,。
在这个上下文中对这种结构使用模型这个词。但是理解它的动机或许是重要的，见下。

项、公式和句子

定义 \mathfrak\,-项是来自 \mathfrak\, 的符号的非空有限字符串 t\,，如
- t\, 是一个变量符号。
- t\, 是一个常量符号。
- t\, 是形如 f t_1 ... t_n\, 的字符串，这里的 f\, 是 n\,-元函数符号而 t_1\,, ..., t_n\, 是 \mathfrak\, 的项。
定义 \mathfrak\,-公式是来自 \mathfrak\, 的符号的非空有限字符串 \phi\,，如
- \phi\, 是形如 t_1 = t_2\, 的字符串，这里的 t_1\, 和 t_2\, 是 \mathfrak\, 的项。
- \phi\, 是形如 R t_1 ... t_n\, 的字符串，这里的 R\, 是 n\,-元关系符号而 t_1\,, ..., t_n\, 是 \mathfrak\, 的项。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，这里的 \alpha\, 是 \mathfrak\,-公式。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，这里的 \alpha\, 和 \beta\, 二者是 \mathfrak\,-公式。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，这里的 y\, 是来自 \mathfrak\, 的变量符号而 \alpha\, 是 \mathfrak\,-公式。
定义 由要么第一个要么第二个子句来特征描述的 \mathfrak\,-公式被称为原子。
定义 设 \phi\, 是一个 \mathfrak\,-公式。来自 \mathfrak\, 的变量符号 x\, 被称为在 \phi\, 中是自由的，如果
- \phi\, 是原子，而 x\, 出现在 \phi\, 中。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 x\, 在 \alpha\, 中是自由的。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 x\, 在 \alpha\, 或 \beta\, 中是自由的。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，这里的 x\, 和 y\, 不是同一个变量符号而 x\, 在 \alpha\, 中是自由的。
定义 句子是没有自由变量的公式。

指派函数

此后，\mathfrak\, 将指称一阶语言，\mathfrak\, 是 \mathfrak\,-结构，它下层的全集用 A\, 指称。每个公式都将被理解为 \mathfrak\,-公式。
定义 到 \mathfrak\, 的变量指派函数(v.a.f.)是自 \mathfrak\, 的变量集合到 A\, 的函数。
定义 设 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.。我们定义项指派函数(t.a.f.) \overline\,，自 \mathfrak\,-项的集合到 A\,，如:
- 如果 t\, 是变量符号 x\,，则 \overline(t) = s(x)\,。
- 如果 t\, 是常量符号 c\,，则 \overline(t) = c^\,。
- 如果 t\, 形如 f t_1 ... t_n\,，则 \overline(t) = f^(\overline(t_1), ..., \overline(t_n))\,。
定义 设 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.，假定 x\, 是一个变量而 a \in A\,。我们定义 v.a.f. s[x|a]\,，指称为 x\,-指派函数的修改 s\,，为
s[x|a](v) = \begin s(v) & \mbox v \ne x \\ a & \mbox v = x \end \,

逻辑满足

定义 设 \phi\, 是公式，并假定 s\, 是到 \mathfrak\, 的 v.a.f.。我们称 \mathfrak\, 通过指派 s\, 满足 \phi\, ，并写为 \mathfrak \models \phi[s]\,，如果:
- \phi\, 形如 t_1 = t_2\,，而 \overline(t_1) = \overline(t_2)\,。
- \phi\, 形如 R t_1 ... t_n\,，而 (\overline(t_1), ..., \overline(t_n)) \in R^\,。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 \mathfrak\mbox\not\models\mbox\alpha[s]\,。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 \mathfrak \models \alpha[s]\, 或者 \mathfrak \models \beta[s]\,。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，而对于每个元素 a \in A\,，\mathfrak \models \alpha[s[y|a]]\,。
定义 设 \phi\, 是公式，并对到 \mathfrak\, 的每个 v.a.f. s\, 假定 \mathfrak \models \phi[s]\,。则我们称 \mathfrak\, 建模 \phi\,，并写为 \mathfrak \models \phi\,。
定义 设 \Phi\, 是公式的集合，并对每个公式 \phi \in \Phi\, 假定 \mathfrak \models \phi\,，则我们称 \mathfrak\, 建模 \Phi\,，并写为 \mathfrak \models \Phi\,。
在 \phi\, 是句子的情况下，就是没有自由变量的公式，存在一个单一的 v.a.f.，对于它 \mathfrak \models \phi[s]\,，直接的蕴涵了 \mathfrak \models \phi\,。
定义 设 \phi\, 是一个句子，并假定 \mathfrak \models \phi\,。则我们称 \phi\, 为在 \mathfrak\, 中是真实的。

逻辑蕴含和真实

定义 设 \Psi\, 和 \Phi\, 是公式的集合。我们称 \Psi\, 为逻辑蕴涵 \Phi\,，并写为 \Psi \models \Phi\,，如果对于所有结构 \mathfrak\,， \mathfrak \models \Psi\, 蕴涵 \mathfrak \models \Phi\,。
作为简写，在处理单元素集合(singleton)的时候，我们经常写 \Psi \models \phi\, 替代 \Psi \models \\,。
定义 设\phi\, 是公式，并假定 \varnothing \models \phi\,。则我们称 \phi\, 是全集有效，或者简单有效，在这种情况下我们简单的写为 \models \phi\,。
假如公式 \phi\, 是有效的，实际上意味着所有 \mathfrak\,-结构 \mathfrak\, 建模 \phi\,。
定义 设 \phi\, 是一个句子，并假定 \models \phi\,。则我们称 \phi\, 为真实的。

变量代换

定义 设 u\, 是项，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是另一个项。我们定义这个项 u_t^x\,，读做把 x\, 替换为 t\, 的 u\,，如下:
- 如果 u\, 是变量符号 x\,，则 u_t^x\, 被定义为是项 t\,。
- 如果 u\, 是不是 x\, 的变量符号，则 u_t^x\, 被定义为项 u\,。
- 如果 u\, 是常量符号，则 u_t^x\, 被定义为项 u\,。
- 如果 u\, 形如 f t_1 ... t_n\,，则 u_t^x\, 被定义为项 f _t^x ... _t^x\,。
定义 设 \phi\, 是公式，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是项。我们定义公式 \phi_t^x\,，读做把 x\, 替换为 t\, 的 \phi\,，如下:
- 如果 \phi\, 形如 t_1 = t_2\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 _t^x = _t^x\,。
- 如果 \phi\, 形如 R t_1 ... t_n\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 R _t^x, ..., _t^x\,。
- 如果 \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 \lnot(\alpha_t^x)\,。
- 如果 \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 (\alpha_t^x \lor \beta_t^x)\,。
- 如果 \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，则
  - 如果 x\, and y\, 是同一个变量符号，则 \phi_t^x\, 被定义为公式 \phi\,。
  - 否则 \phi_t^x\, 被定义为公式 (\forall y)(\alpha_t^x)\,。

可代换性

定义 设 \phi\, 是公式，并假定 x\, 是变量，而 t\, 是项。我们称 t\, 对 x\, 在 \phi\, 中是可代换的，如果:
- \phi\, 是原子。
- \phi\, 形如 \lnot(\alpha)\,，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 中是可代换的。
- \phi\, 形如 (\alpha \lor \beta)\,，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 和 \beta\, 二者中是可代换的。
- \phi\, 形如 (\forall y)(\alpha)\,，而
  - 要么 x\, 在 \phi\, 中不是自由变量。
  - 要么 y\, 在 t\, 中不出现，而 t\, 对 x\, 在 \alpha\, 中是可代换的。
项于变量的可代换性的概念相应于在代换在项或公式中完成之后保持真实性的概念。严格的说，代换总是允许的，但可代换性将是强制的，以此生成意义不被代换所破坏的公式。

引用


- A. S. Troelstra & H. Schwichtenberg (2000). Basic Proof Theory (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521779111.
- George Boolos & Richard Jeffrey (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521007585.
- Elliott Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.) Chapman & Hall.
- A. G. Hamilton (1988). Logic for Mathematicians Cambridge University Press.

外部链接


- [http://www.uni-bonn.de/logic/world.html Mathematical Logic around the world]
- [http://home.swipnet.se/~w-33552/logic/home/index.htm Polyvalued logic]
- [http://www.cis.upenn.edu/~giorgi/cl.html Computability logic] 数理逻辑的新方向 - 从真理的理论到可计算性的理论。

参见条目


- 逻辑
- 可计算性逻辑
- 博弈语义学
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 相继式演算
- 直觉逻辑
- 谓词逻辑 Category:數理邏輯 ja:数理論理学

模态逻辑

模态逻辑，或者叫(不很常见)内涵逻辑，是处理用模态如可能、或许、可以、一定、必然等限定的句子的逻辑分支。使用模态算子如可能或必然的任何逻辑系统因此就叫做模态逻辑。模态逻辑可以用语义的内涵性来描述其特征: 非模态逻辑都有复杂句子的真值由子句子的真值决定的特征。所以它们是外延性的。相反在模态逻辑中，这不成立: "George W. Bush 是美国总统" 和 "2 + 2 = 4" 是真的，但是 "George W. Bush 必然是美国总统" 是假的，而"2 + 2 = 4 是必然的" 是真的。 形式模态逻辑使用模态判决算子表示模态。模态算子的基本集合通常被指定为 \Box 和 \Diamond。在真势模态逻辑(就是说必然性和可能性的逻辑)中 \Box 表示必然性，而 \Diamond 表示可能性。句子被认定为
- 可能的 如果它可能为真(不管实际上是真是假);
- 必然的 如果它不可能为假;
- 偶然的 如果它不是必然为真，就是说，可能为真可能为假。偶然的真理是实际上为真，但可能曾经不是的真理。

形而上学和其他模态

真势和认识

模态逻辑最经常用来谈论所谓的真势模态: "...是必然的" 或者 "....是可能的" ，这些模态(包括形而上学模态和逻辑模态)最容易混淆于认识模态(来自希腊语 episteme, 知识): "...确实是真的" 和 "...(对给定的可获得的信息)或许是真的"。在普通的话语中这两种模态经常用类似的词来表达；下列对比可能有所帮助: 一个人 Jones 可以合理的同时说出: (1) "我确信 Bigfoot 不可能存在"，还有(2) "Bigfoot 存在的确是可能的"。Jones 通过(1)表达的意思是，对于给定的所有可获得的信息，Bigfoot 存在与否是没有疑问的。这是一个认识上的断言。通过(2)表达的意思是这个事物可能曾是其它样子的。他的意思不是 "就我所知而言，Bigfoot 可能存在" 。(所以这不矛盾于(1))。而是，他做了一个形而上学上的断定，即使他不知道，Bigfoot 存在仍是可能的。 在其他方面，Jones 可以说 (3) "哥德巴赫猜想可能为真，并也可能为假，还有(4) 如果它是真的，则它必然是真的，而不可能是假的。" 这里 Jones 的意思是，就他所知而言，它为真为假都是在认识上可能的(哥德巴赫猜想仍未被证明是真还是假)。但是如果有这么一个证明(至今仍未发现)，则哥德巴赫猜想为假在逻辑上是不可能的 -- 不会有一组数违背它。逻辑上的可能性是一种真势(alethic)可能性；(4)做了对这个数学论断已经为假是否可能的一个断言，而(3)只做了对就 Jones 所知而言这个论断被证实为假是否可能的一个断言，所以 Jones 还是不自相矛盾。 认识上的可能性还以一种非形而上学的方式关注真实世界。形而上学的可能性以可能曾是的方式关注世界，而认识上的可能性以(就我所知而言)可能正是的方式关注世界。比如，我想知道在离开前是否要带把伞。如果你告诉我 "外面可能在下雨" -- 在一种认识上可能的意义上--那么这会影响我是否带伞的决定。但是如果你告诉我 "外面下雨是可能的" -- 在一种形而上学上可能的意义上--那么我从这种大道理中没有得到任何启示。 大量的哲学文献关心真势而非认识模态。(实际上，其中大多数关心一种最广泛的真势模态，就是逻辑可能性)。这不是说真势可能性比我们日常用的认识可能性更重要(考虑上面决定是否带伞的例子)。只是说在哲学研究中的优先权不是日常生活中的重要性带来的。

道义和时态

言语中有一些类似的模式，尽管不大可能与真势模态混淆但仍密切的相关。其一是有关时间的谈论。明天可能会下雨，但也可能不下好像是合理的；在另一方面，如果昨天下雨了，如果实际上已经下了，则说"昨天可能没有下雨"就不是完全正确的。过去好像"固定的"或必然的，而将来在某种程度上不是。很多哲学家和逻辑学家认为这种推理不是很好；但是我们经常以这种方式谈话，所以最好有一种逻辑能捕获它的结构。类似的有关道德的谈论，或者说义务和规范一般好像也有模态结构。在 "你必须这么做" 和 "你可以这么做" 之间的区别看起来很像在"这是必然的和这是可能的"之间的区别。这种逻辑叫做道义逻辑，道义来自希腊语 "duty"。 值得注意的是，模态逻辑可以开发出实现多数这种方言；它们有公共逻辑机构的事实(使用"内涵"或非真值泛函的句子算子)使它们都是同一个东西的变体。认识逻辑被证实捕获于系统"S4"；道义逻辑捕获于系统"D"，时态逻辑捕获于"t"(小写的)，而真势逻辑被证实为"S5"

模态逻辑的释义

在模态逻辑的最常见解释中，你要考虑"所有逻辑上可能的世界"。如果一个陈述在所有可能的世界中是真的，则它是必然的真理。如果一个陈述碰巧在我们的世界中是真的，但不是在所有可能的世界中是真的，则它是偶然的真理。在某些(不是必须在我们自己的)可能的世界中是真的陈述叫做可能的真理。 这种"可能的世界"是否是解释模态逻辑的最佳方式，怎样在文字上接受这种方言，是形而上学的鲜活的问题。例如，可能的世界的方言可以把关于 Bigfoot 的断言翻译为"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在"。要主张 Bigfoot 的存在性是可能的，但不是现实的，你可以说"有某个可能的世界，在其中 Bigfoot 存在；但是在现实世界中，Bigfoot 不存在"。但是对使模态断言对我们负责的那个东西是什么仍是不清楚的。我们真的要宣称可能的世界的存在性吗？它在每一点都同我们的现实世界一样真实，却惟独不是现实的。David Lewis 强硬的说就是这样，可能的世界同我们自己的世界一样真实。这种立场叫做"模态现实主义"。不足为奇的，多数哲学家不愿意接受这种特别的学说，在搜寻一种可替代的方式来释义我们的模态断言所蕴含的本体论承诺。

形式化规则

有很多有不同性质的模态逻辑。在其中很多必然性和可能性的概念满足下列 de Morgan 定律的联系: :"X 是非必然的" 等价于 "非 X 是可能的"。 :"X 是非可能的" 等价于 "非 X 是必然的"。 尽管模态逻辑教科书比如 Hughes 和 Cresswell 的 "A New Introduction to Modal Logic" 覆盖了这个定律不成立的一些系统。 模态逻辑向命题逻辑的合式公式增加上必然性和偶然性。在一些记号中 "必然的 p" 使用"方块"( \Box p )表示，而"可能的 p" 使用"菱形"(\Diamond p)表示。无论是什么样的记号，两个算子是以相互定义的方式定义的:
- \Box p (必然的 p) 等价于 \neg \Diamond \neg p (非可能的非-p)
- \Diamond p (可能的 p) 等价于 \neg \Box \neg p (非必然的非-p) 因此，\Box 和 \Diamond 叫做对偶算子。 要建立模态逻辑的可用系统，必须向命题逻辑的增加什么公理是非常有争议的主题。得名于 Saul Kripke 的 K，只向经典命题逻辑公理体系增加了如下规则:
- 必然性规则: 如果 p 是 K 的定理，则 \Box p 也是。
- 分配律公理: 如果 \Box (p \rightarrow q) 则 (\Box p \rightarrow \Box q) (这也叫做公理 K) 这些规则缺乏从 p 的必然性到 p 的实际情况的公理，所以通常要补充上下列"自反性"公理，这就生成经常叫做 T 的一个系统。
- \Box p \rightarrow p (如果 p 是必然的，则 p 是事实) 这是多数但不是全部模态逻辑系统的规则。Jay Zeman 的书 "Modal Logic" 覆盖了没有这个规则的系统如 S1^0。 但 K 是一个弱模态逻辑。特别是留下了一个公开的问题，命题是必然的但只偶尔是必然的。如果 \Box p 是真的则 \Box \Box p 是真的不是 K 的定理，它是说，必然的真理必然是必然的。这可能不是 K 的大缺陷，因为这些好像是十分奇怪的问题，而试图解答它们的任何尝试都把我们卷入混乱的难题中。无论如何，对这种问题的不同解决方式生成了不同的模态逻辑系统。 今天最常见的系统是模态逻辑 S5，它通过增加使所有模态真理是必然的公理来粗壮的解答了这个问题: 例如，如果 p 是可能的，则 p 必然是可能的，如果 p 是必然的，则它必然是必然的。很多人认为它正当的根据是，它是在我们需要每个可能的世界相对于每个其他世界都是可能的时候所获得的系统。不过，模态逻辑的其他系统已经被公式化了，部分的因为 S5 不能很好的适合我们感兴趣的所有种类的形而上学模态。(若此则意味着可能的世界的谈论不能很好的适合这些种类的模态)。

模态逻辑的发展

尽管亚里士多德的逻辑几乎全部都关注直言三段论的理论，他的著作还包含在模态逻辑要点上的一些延伸讨论(比如他著名的在解释篇 § 9 中海战悖论)，并且它们与潜在性和时间有关连。遵从他的著作，经院学者为模态逻辑的严格理论开发出了根基，大多在关于本质和偶然的陈述的逻辑的注释的上下文中。在中世纪的作家中，在 William of Ockham 和 John Duns Scotus 的著作中找到了关于模态逻辑的一些最重要的工作。 形式模态逻辑的缔造者是 C. I. Lewis，他在专著 A Survey of Symbolic Logic (1918) 中介入了一个系统(后来叫做 S3)，并(同 C. H. Langford 一起)在书 Symbolic Logic (1932)中介入了系统 S1-S5。J. C. C. McKinsey 在 1941 年使用代数方法(带有算子的布尔代数)来证明 Lewis 的 S2 和 S4 的可判定性。Saul Kripke 从 1959 年开始为模态逻辑设计了关系语义或可能的世界语义。Vaughan Pratt 在 1976 年介入了动态逻辑。Amir Pnueli 在 1977 年提出使用时态逻辑来公式化频繁操作并发程序的行为。 时态逻辑，在 1957 年由 A. N. Prior 发明，与模态逻辑有密切的关联，因为增加了模态算子 [F] 和 [P]，分别意味着今后和至今，导致了时态逻辑的一个系统。 模态逻辑的风味包括: 命题动态逻辑(PDL)，命题线性时态逻辑(PLTL)，线性时态逻辑(LTL)，计算树逻辑(CTL)， Hennessy-Milner 逻辑，S1-S5 和 T。

引用


- M. Fitting and R.L. Mendelsohn (1998) First Order Modal Logic. Kluwer Academic Publishers.
- James Garson (2003) [http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal Modal logic]. Entry in the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Rod Girlie (2000) Modal Logics and Philosophy. Acumen (UK). The proof theory employs refutation trees (semantic tableaux). A good introduction to the varied interpretations of modal logic.
- Robert Goldblatt (1992) "Logics of Time and Computation", CSLI Lecture Notes No. 7, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University, 2nd ed. (distributed by University of Chicago Press).
- Robert Goldblatt (1993) "Mathematics of Modality", CSLI Lecture Notes No. 43, Centre for the Study of Language and Information, Stanford University. (distributed by University of Chicago Press).
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1968) An Introduction to Modal Logic, Methuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1984) A Companion to Modal Logic, Medhuen.
- G.E. Hughes and M.J. Cresswell (1996) A New Introduction to Modal Logic, Routledge.
- E.J. Lemmon (with Dana Scott), 1977, An Introduction to Modal Logic, American Philosophical Quarterly Monograph Series, no. 11 (ed. by Krister Segerberg), Basil Blackwell, Oxford.
- J. Jay Zeeman (1973) [http://www.clas.ufl.edu/users/jzeman/modallogic/ Modal Logic]. D. Reidel Publishing Company.

参见


- De dicto and de re
- 混合逻辑
- 内部代数
- 可解释性逻辑
- 可证明性逻辑
- Kripke语义

外部链接


- [http://www-formal.stanford.edu/jmc/mcchay69/node22.html A discussion of modal logic] by John McCarthy
- [http://www.earlham.edu/~peters/courses/logsys/nonstbib.htm Bibliography of Non-Standard Logics] by Peter Suber
- [http://www.cc.utah.edu/~nahaj/logic/structures/systems/index.html List of Logic Systems] List of most of the more popular modal logics.
- [http://aiml.net/ Advances in Modal Logic] (bi-annual international conference and book series in Modal Logic)
- [http://www.cass.net.cn/chinese/s14_zxs/facu/liuxinwen/02.htm 模态逻辑]，[新西兰] M·J·克雷斯韦尔，《哲学逻辑指南》，第7章，中国人民大学出版社，2005年

致谢

本文包含最初来自Free On-line Dictionary of Computing的一些材料，经过授权在 GFDL 下。 Category:逻辑 ja:様相論理学

连结词

在逻辑运算中，逻辑运算符或逻辑连接符把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。 一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或符合命题。 基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双重条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。 注意，符号“与”（∧）和交集(∩)，“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这是不一致的：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。 这些连接符的真值表:
P Q ¬P P ∧ Q P ∨ Q P → Q P ↔ Q
T T F T T T T
T F F F T F F
F T T F T T F
F F T F F T T
为了减少需要的括号的数量，由以下的优先规则：¬ 高于 ∧ ，∧ 高于 ∨ ，∨ 高于 → 。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S 是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S 的简便写法。 Category:布尔代数 ja:論理演算 th:ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์

逻辑非

逻辑非是布尔代数中一种一元运算。它的运算结果是将运算元的真值取反。 命题 p的非可以有几种写法：
- p (p 上加一横)
- ~p
- ¬p
- NOT p
- !p 以上可以读做 " p不成立"或者 "非 p"。 ~p 为真 当且仅当 p为假。 例如，如果p代表命题“今天星期六”，则它的非~p代表命题“今天不是星期六”。 category:布尔代数 ja:否定 th:นิเสธ

递归

在计算机编程里，递归指的是，一个函数不断引用自身，直到引用的为一已知对象时止的过程。 使用递归解决问题，思路清晰，代码少。 河内塔问题，是已知的，在编程方面只能用递归解决的问题。 其它可能用到递归解决的问题有菲波纳契数列。 以下为求河内塔问题的Pascal程序： procedure Hanoi(n:integer;x,y,z:char); begin if n<>1 then begin Hanoi(n-1,x,z,y); writeln(x,n,z); Hanoi(n-1,y,x,z); else writeln(x,n,z); end; end; Category:程序設計

反证法

:
「欧几里德最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵或其他棋，但數學家用的卻是整個遊戲。」《一個數學家的辯解》，英國數學家高飛·哈洛德·哈代。
反證法（又稱歸謬法、背理法）是使用反例來證明正面命題的真確性的一種數學證明方式。 反證法常稱作Reductio ad absurdum，是拉丁語中的「轉化到不可能」，源自希臘語中的「ἡ εις το αδυνατον παγωγη」，阿基米德經常使用它。

理據

在命題p和命題\bar（非p）之中，根據排中律，除了真和假之外並無其他的情況，所以若果其中一個是假的，另一個就必然是真。反證法在要證明p時，透過顯示出若\bar成立時出現的矛盾，即\bar為假，從而證明p為真。

例子


- \sqrt是無理數的證明（古希臘人）
- 存在無限個質數（歐幾理德） Category:數學推理 ja:背理法

当且仅当

当且仅当(英文：If and only if, 或者：Iff)，或称若且唯若，在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在，并且仅仅在这些条件成立的时候”的缩写，在英语中的对应标记为Iff。虽然“P当且仅当Q”是一个标准用法，但是公认的其他同样说法还有“P是Q的充分必要条件为”，或者“P成立，正当Q”。

当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是\leftrightarrow和\Leftrightarrow。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

在证明“P当且仅当Q”时，这相当于去同时证明陈述“如果P成立，则Q成立”和“如果Q成立，则P成立”。另外，也可以证明“如果P成立，则Q成立”和“如果P不成立，则Q不成立”，后者作为对偶，等价于“如果Q成立，则P成立”。

有关英语缩写Iff的开端

在出版物中，英语Iff的表示标记最早出现在约翰·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明他只是借用了。

当与当且仅当的不同

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同： # 小王会吃冰激凌，如果它是香草口味的。（这等于说：如果冰激凌是香草口味的，那么小王会吃。） #小王会吃冰激凌，当且仅当它是香草口味的。 第1句只是说小王会吃香草口味的冰激凌。但是这没有并没有排除他还会吃草莓口味冰激凌的可能性。可能他会吃，可能不会。这个句子并没有告诉我们。我们所能够肯定的是他不会拒绝香草口味的冰激凌。 但是第2句阐述的非常明确，就是小王会吃并且只吃香草口味的。他不会吃任何其它口味的冰激凌。

进一步的思考

用"当且仅当"连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。双条件句“A”当且仅当“B”用“A”和“B”来陈述A和B所描述的事件状况之间的关系。相对照的，“‘A’逻辑等价于‘B’”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。 这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，这里“A”逻辑等价于“B”，“A”当且仅当“B”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：
- 小王今天要吃冰激凌当且仅当它是香草口味的。 很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑》(Mathematical Logic), 第5节。 在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是Universal quantified的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：
- 一个人是单身男性当且仅当他是一个未婚的而且是可结婚的男人。
- x+1=2当且仅当x=1。
- 对于任意的p, q, 和 r：(p & q) & r 当且仅当p & (q & r)。（因为这句句子是用变量和&的形式来写得，陈述也通常会使用“\leftrightarrow”，或者其它用来写双条件句的符号，来代替“当且仅当”）

更一般的用法

“当且仅当”在逻辑领域以外,如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。（即使如此，相比起“当且仅当”，“如果”一般多出现在定义的陈述中。） category:逻辑 category:数学术语 ja:同値

拉丁语

拉丁语（）與希臘語同為影響歐美學術與宗教最深的語言，屬於印歐語系義大利語族。 拉丁语字母如下： :拉丁语并不使用 W 。而在中世纪之前，拉丁语并不区分 I 和 J、U 和 V，亦未有小写字母。

历史

拉丁語原本是義大利中部拉提姆地方（Latium，義大利語為Lazio）的方言，後來則因為發源於此地的羅馬帝國勢力擴張而將拉丁語廣泛流傳於帝國境內，並定拉丁文為官方語言。而基督教普遍流傳於歐洲後，拉丁語更加深其影響力，從歐洲中世紀至20世紀初葉的羅馬天主教為公用語，學術上論文也大多數由拉丁語寫成。現在雖然只有梵蒂冈尚在使用拉丁語，但是一些學術的詞彙或文章例如生物分類法的命名規則等尚使用拉丁語。 羅馬帝國的奧古斯都皇帝時期使用的文言文稱為「古典拉丁語」，而2~6世紀民眾所使用的白話文則稱為「通俗拉丁語」。而通俗拉丁文在中世紀又衍生出一些「羅曼語族」，包括中部羅曼語（法語、義大利語、薩丁島（Sardinia）方言、加泰罗尼亚（Catalonia）語等）、西部羅曼語（西班牙語、葡萄牙語等）與東部羅曼語（羅馬尼亞語等）。十六世紀後西班牙與葡萄牙勢力擴張到整個中南美洲，因此中南美洲又稱「拉丁美洲」。 罗曼语和拉丁语的区别在于，罗曼语都失去了很多单词的语法变化词尾、特别是名词的变格词尾，已经完全丧失（一些代词除外）。（名词变格在罗马尼亚语中仍然有所保留）。

特色

拉丁语是个综合语，复杂的屈折变化体系构成了拉丁语语法的主要部分。这些变化通常使用在词尾添加后缀构成（外部屈折）或者变化词干的辅音或元音（内部屈折）。对于名词、形容词和代词，这种变化叫做“格”，对于动词，叫做“变位”（conjugation）。

名詞

名词有六个格的区别，动词则有四种不同的变位法。名词的这六种形式是：
- “主格”（表示主语或表语）
- “属格”（表示所有关系，同英语的所有格）
- “与格”（表示间接宾语或者其他间接语法意义）
- “宾格”（表示直接宾语，也叫受格或对格）
- “夺格”（与一些前置词连用，或者独用以表示工具、手段）
- “呼格”（用于对某人称呼） 因为格变化已经表达了拉丁语的名词动词之间的语法关系，因此拉丁语的词序高度自由，并不遵守主-谓-宾的格式。 例如：父亲爱儿子，这句话在中文、英文、法文裡，都只能有一种语序，即主语-谓语-宾语。 但在拉丁文裡，可以有六种语序，分别是： Pater amat filium. Filium amat pater. Pater filium amat. Filium pater amat. Amat pater filium. Amat filium pater. 这六句话意思一样。如果要表达“儿子爱父亲”，则需要进行格变化。同样有6种语序表达这句话： Filius patrum amat. 其他语序从略。 拉丁语名词有5种、形容词有两种变格法，每种变格法用不同的变格方式来区别上述六个格。名詞通過單數屬格詞尾確定變格法。 以下列表列示最常見的一些變格法： 第四、第五變格法名詞數量較少，從略。

動詞

动词有人称、数、时态、语气（直陈、虚拟、命令）和态（主动、被动）的区别。 拉丁语动词有四种不同的变位法，另外还包括一些不规则动词。 兹举一例，演示拉丁语动词的主动态直陈式的变位（也就是用的最多的动词的变化） amare (爱） （属于第一变位法） 主动语态： 被动語態：

拉丁語和英語的關係

英語與拉丁語屬於同語系（印歐語系）但不同語族（英語屬於日爾曼語族，而拉丁語屬於義大利語族），因此文法上不盡相同。英國近代文學家試圖把拉丁語的語法適用於英語，例如強行規定禁止在to和動詞之間使用副詞的法則，並不能成功的應用於日常用語中。雖然如此，還是有超過一半的英語辭彙來源自於拉丁語。很多英語詞彙演變自羅曼斯諸語如法語或義大利語等，而這些羅曼斯諸語又從拉丁語演變而來（例如：Latin: mercēs → French: merci → English: mercy），有些則是直接由拉丁語演變而來（例如：Latin: serēnus → English: serene），有些則是未經變化而直接採用（例如：Latin: lārva → English: larva），由此可見，相當多數的英語詞彙由拉丁語演變而來。另外，有些拉丁語是由希臘語演變而來（例如：Greek: schǒlē → Latin: schǒla → Old Einglish: scōl → Modern English: school）。英語採用如此多數的外來語後，確實豐富了原本單調的英語詞彙世界。 很多人習慣將A~Z稱為「英語字母」，事實上應該稱為「拉丁字母」或「羅馬字母」。因為英語的A~Z二十六個字母是採自於拉丁語的拉丁字母。
- 拉丁语发音
- 拉丁语单词变位
- 拉丁语短语
- 拉丁语文学 - 拉丁语谚语 - 罗马帝国 - 新拉丁语

外部链接


- [http://www.sprachprofi.de.vu/latin 拉丁语网上免费教程]
- [http://www.jambell.com/latin.html Latin Phrases for after dinner conversation (Thanks to Elaine Poole)]
- [http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=lat Ethnologue report for Latin]
- [http://forumromanum.org/literature/index.html Corpus Scriptorum Latinorum] is a comprehensive webography of Latin texts and their translations.
- [http://www.perseus.tufts.edu/ The Perseus Project] has many useful pages for the study of classical languages and literatures, including [http://www.perseus.tufts.edu/cgi-bin/resolveform?lang=Latin an interactive Latin dictionary].
- [http://lysy2.archives.nd.edu/cgi-bin/words.exe words by William whitaker] is a dictionary program online capable of looking up various word forms.
- [http://retiarius.org/ Retiarius.Org] includes a Latin text search engine.
- [http://www.nd.edu/~archives/latgramm.htm Latin-English dictionary and Latin grammar from U of Notre Dame]
- [http://latin-language.co.uk/ Latin language] History of Latin language, Latin texts with English translation and a collection of dictionaries.
- [http://augustinus.eresmas.net/scl/ Societas Circulorum Latinorum] gathers together Latin Circles all over the world.
- [http://www.learnlatin.tk LearnLatin.tk] - Free online course in Latin
- [http://www.latintests.net/ LatinTests.net] - Lets Latin learners test their grammar and vocabulary with self-checking quizzes.
- [http://thelatinlibrary.com/ The Latin Library] contains many Latin etexts
- [http://www.textkit.com/ Textkit] has Latin textbooks and etexts.
- [http://www.websters-online-dictionary.org/definition/Latin-english/ Latin–English Dictionary]: from Webster's Rosetta Edition.
- [http://www.language-reference.com/ Language reference] Cross-foreign-language lexicon powered by its own search engine. All cross combinations between Latin and French, German, Italian, Spanish.
- [http://comp.uark.edu/~mreynold/rhetor.html Rhetor by Gabriel Harvey] was originally published in 1577 and never again reprinted.
- [http://freewebs.com/omniamundamundis omniamundamundis] Latin hypertexts from fourteen ancient Roman authors.
- [http://www.saltspring.com/capewest/pron.htm Pronunciation of Biological Latin, Including Taxonomic Names of Plants and Animals]
- [http://www.yleradio1.fi/nuntii Nuntii Latini (News in Latin)], written and spoken (RealAudio) news in latin. Weekly review of world news in Classical Latin, the only international broadcast of its kind in the world, produced by YLE, the Finnish Broadcasting Company.
- [http://www.tranexp.com:2000/InterTran?url=http%3A%2F%2F&type=text&text=Replace%20Me&from=eng&to=ltt InterTran Latin], Translate from Latin to ENGLISH or vice versa.
- [http://www.latinvulgate.com Latin Vulgate] The Latin and English of the Old & New Testaments in parallel, along with the Complete Sayings of Jesus in parallel Latin and English. Category:義大利語族 als:Latein ja:ラテン語 ko:라틴어 simple:Latin language th:ภาษาละติน zh-min-nan:Latin-gí

Mogadiŝo

Mogadiŝo (somale: Muqdisho) estas ĉefurbo de Somalio. Ĝi estas la tria plej granda urbo de la lando kaj kuŝas ĉe la Hinda Oceano. Laŭ taksoj de UNO, la urbo havis en 1990 ĉ. 1,2 mio. loĝantoj.

Historio

La urbo jam estis loĝata en la 10-a jc., kiam tie estis konvena klimato, akvo por agrikulturado. En la 16-a jarcento Mogadiŝo venis sub portugalan potencon. En 1871 okupis la landon la Sultano de Zanzibaro kaj luigis ĝin en 1892 al Italio. La 26-an de novembro estis tie murdita la itala ĝenerala konzulo Antonio CECCHI far somaloj. La urbon aĉetis en 1905 la italoj kaj igis ĉefurbo de la nova kolonio Itala Somalilando. Dum la dua mondmilito okupis ĝin britaj trupoj enpenetrantaj el la direkto de Kenjo. En 1977, la germana sekretservo liberigis pasaĝerojn de forrabita flugmaŝino sur la flughaveno de la urbo. La 3-an de oktobro en 1993, okazis gravaj bataloj ĉe la urbo inter la UNO-soldatoj kaj la indiĝenaj armitoj, kiuj sukceis forpeli la usonajn soldatojn per siaj atakoj, fiagoj. Hodiaŭ, la urbo estas la plej danĝera loko de la mondo, karakterizita per grupaj kampoj kaj politikaj disputoj.

Ekonomio kaj infrastrukturo

Mogadiŝo posedas marhavenon kaj estas ekonomia kaj financa centro de Somalio. La plej gravaj industribranĉoj estas la nutraĵ-, trinkaĵ- kaj teksaĵindustrio. La urbo estas kunligita per vojoj al Kenjo kaj Etiopio. Ĝi havas ankaŭ etan flugtrafikon. Kategorio:Somalio Kategorio:Ĉefurboj ja:モガディシュ ko:모가디슈

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