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传统逻辑

传统逻辑

传统逻辑，也叫做项逻辑，是关于亚里士多德所开创的传统逻辑学的宽松的术语，并有幸的没有经历广泛的改变，直到十九世纪末出现了谓词逻辑。有时很难理解在弗雷格和罗素之前的哲学，原因是对他们之前的所有哲学家们所共识的术语和观念没有基本的掌握。本文提供对传统系统的基本介绍，和对进一步阅读的建议。

亚里士多德系统

亚里士多德的六篇逻辑学著作被收录在工具论(Organon)中。特别是其中叫做前分析篇和解释篇的两篇包含了亚里士多德对断定和形式推理的处理的核心，并且是亚里士多德的著作中与项逻辑有关的主要部分。

基础

在理论背后的基本假定是命题由两项组成 - 这是名称"二项理论"或"项逻辑"的来源 – 而推理过程依次建造自命题:
- 项是表达某个事物的词类(part of speech)，不论及它们自身的真或假，比如"人"或"必死的"。
- 命题由"主词"(subject)和"谓词"两项组成，主词"确认"或"否认"谓词，命题可以是真实的或虚假的。
- 三段论是在其中一个命题(结论)必然性的从另两个命题(前提)得出的一种推理。命题可以是全称的(universal)或特称的(particular)，并且可以是肯定的或否定的。所以有四种命题:
- A 型: 全称的和肯定的("所有人都是必死的")
- I 型: 特称的和肯定的("有些人是哲学家")
- E 型: 全称的和否定的("没有哲学家是富裕的")
- O 型: 特称的和否定的("有些人不是哲学家") 这叫做命题的四重方案。(字母 A、I、E 和 O 的起源请见下面的三段论格言)。亚里士多德用对立四边形总结了这四种命题之间的联系。三段论是解释那些真前提的组合产生真结论的形式理论。

项

项(希腊语 horos)是命题的基本构件。希腊语 horos 还有拉丁语 terminus 的最初意思是"极端"或"边界"。两个项加之于命题的外面，由确认或否认的动作连结在一起。对于亚里士多德，项简单的就是一个"事物"，作为命题的一部分。对于早期的现代逻辑学家如 Arnauld(他的 Port Royal 逻辑在过去某个时期是最周知的教科书)是一个认知实体如"观念"或"概念"。Mill 认为它是一个词。这些解释都不是令人非常满意的。在断言某个事物是独角兽的时候，我们根本就没有断言任何事物。"所有希腊人都是人"表示的既不是希腊人的概念是人的概念，也不是"希腊人"这个词是"人"这个词。命题不能建造自真实事物或观念，但是它也不只是无意义的词。这是关于语言的意义的仍未完全解决的问题。(关于这个问题极佳的讨论请参见下面列出的 Prior 的书)。

命题

在项逻辑中，"命题"(proposition)简单的是一种语言的形式: 一种特定类型的判决/句子(sentence)，主词和谓词合并在一起，以此断言某事物为真或假。它不是思想、或抽象实体或任何事物。"propositio" 这个词出自拉丁文，意味着三段论的第一个前提。亚里士多德使用前提(protasis)这个词作为一个事物确认或否认另一个事物的一个判决(AP 1. 1 24a 16)，所以前提也是一种词的形式。但是，在现代哲学逻辑中，命题现在意味着作为发表判决的结果而断言的那个东西，并被当作有独特的精神或意图的某种事物。在 Frege-Russell 之前的作家比如 Bradley，有时把"判断"(judgment)说成不同于判决的某种事物，而这不是完全相同的。作为进一步的混淆，起源于拉丁语的"判决"(sentence)这个词，意味着一个评判或判断，所以等同于"命题"。命题的性质是它是肯定的(主词确认谓词)还是否定的(主词否认谓词)。所以"所有人都是必死的"是肯定的，因为"人"确认了"必死的"；"没有人是不死的"是否定的，因为"人"否认了"不死的"。命题的数量是它是全称的("全部"主词确认或否认谓词)还是特称的("部分"主词确认或否认谓词)。

单称项

单称和全称之间的区别是亚里士多德的形而上学的基础，而不只是在文法上。对于亚里士多德而言单称项是带有只能称谓一个事物的本性的项，比如 "Callias"。(De Int 7)。它不能称谓多于一个事物: "苏格拉底不能称谓多于一个主词，所以我们不能象说所有人那样说所有苏格拉底"。(Metaphysics D 9, 1018 a4)。它可以被刻画为文法上的谓词，比如在句子"从这条路过来的人是 Callias"。但是它仍是逻辑上的主词。他把它对比于"全称"(katholou - "全部")。全称项是亚里士多德逻辑的基本素材，包含单称项的命题根本就不构成它的一部分。它们在解释篇中被简要的提及了。后在在前分析篇的章节中，亚里士多德有系统的陈述了他的三段论理论，它们被完全忽略了。这种忽略的原因是很清楚的。项逻辑的根本特征是，在两个前提中的四个项中，有一项必须出现两次。比如 :所有希腊人都是人 :所有人都是必死的。在一个前提中是主词，在另一个前提中是谓词，所以必须从逻辑中排除掉不能充当主词和谓词二者的任何项。单称项不能以这种方式运用，所以它们被从亚里士多德的逻辑中忽略掉了。在三段论的后来版本中，单称项被当作全称的来处理。参见Port Royal 逻辑的第3章第2部分中的例子(这被陈述为标准的观点)。比如 :所有人都是必死的 :所有苏格拉底都是人 :所有苏格拉底都是必死的这是明显的蠢笨的，是 Frege 用以破坏性攻击这个系统的缺点(它最终从未被修复过)。参见概念和对象。著名的三段论"苏格拉底是人 ..."，经常被作为亚里士多德的想法来引用。参见 Kapp 的传统逻辑的希腊基础 New York 1942, p.17，Copleston 的哲学史 Vol. I. P. 277，罗素的西方哲学史 London 1946 p. 218 中的例子。实际上它在工具论中没有出现过。它首次被提及是在 Sextus Empiricus (Hyp. Pyrrh. ii. 164)中。

三段论

在三段论中只有三项，因为在结论中的两项已经在前提中了，而有一项是两个前提所公共的。这导致了下列定义:
- 在结论中的谓词叫做大项, "P"
- 在结论中的主词叫做小项, "S"
- 公共项叫做中项, "M"
- 包含大项的前提叫做大前提
- 包含小项的前提叫做小前提三段论总是写成大前提，小前提，结论。所以 AII 形式的三段论写成 :A M-P 所有猫都是食肉的 :I S-M 有些动物是猫 :I S-P 有些动物是食肉的

语气和格

三段论的语气(mood)由两个前提的性质和数量来区别。有八种有效的语气: AA，AI，AE，AO，IA，EA，EI，OA。三段论的格(figure)由中项的位置来确定。在第1格中，亚里士多德认为它是最重要的，因为它最接近的反映了我们的推理过程，中项是大前提中的主词，小前提中的谓词。在第2格中，它是两个前提中的谓词。在第3格中，它是两个前提中的主词。在第4格(但是亚里士多德没有讨论它)中，它是大前提中的谓词，小前提中的主词。所以

转换和简约

变换是通过重新安排项来简单的把命题变更成另一个的过程。简单转换是保持命题的意思的改变。例如
- "有些 S 是 P"转换成"有些 P 是 S"
- "没有 S 是 P"转换成"没有 P 是 S" 偶然性(per accidens)转换涉及到把命题变更成它所蕴涵的另一个命题，但不是相同的。例如
- "所有 S 是 P"转换成"有些 S 是 P" (注意为了使偶然性转换有效，"所有 S 是 P"中涉及到了一个存在性的假定) 按亚里士多德的解释，他认为只有第一或完美的格是完全透明的推理过程。不完美的三段论的有效性，只在经过对它的前提的转换，把它转变成第一格的某个语气的时候才是明显的。这被经院哲学家叫做简约。解说简约的规则是最容易的，使用 William of Shyreswood(1190-1249)在十三世纪上半叶写一本手册中首次介入的所谓的助记韵文。 :Barbara, Celarent, Darii, Ferioque, prioris :Cesare, Camestres, Festino, Baroco, secundae :Tertia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton, Bocardo, Ferison, habet :Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison. 每个词表示一个有效的语气公式并依据下列规则来解释:
- 前三个元音指示三个命题的性质和数量，所以 Barbara: AAA, Celarent: EAE 并以此类推
- 在前四个公式之后的每个公式的开端辅音指示这个语气要简约到前四个语气中的哪一个有相同开端辅音的语气
- "s" 紧随在元音之后指示对应的命题在简约期间要被简单转换
- "p" 紧随在元音之后指示对应的命题要被部分的或偶然性的转换
- "m" 在公式的前两个元音之间指示两个前提要被调换
- "c" 在前两个元音之后出现指示这个前提要被结论的否定所替换，而做不可能性简约。有一些与三段论有关的格言和韵文。它们的作者不得而知。例如字母 A、I、E 和 O 是来自拉丁文 Affirmo 和 Nego 的元音。 :Asserit A, negat E, sed universaliter ambae :Asserit I, negat O, sed particulariter ambo Shyreswood 版本的 "Barbara" 韵文如下: :Barbara celarent darii ferio baralipton :Celantes dabitis fapesmo frisesomorum; :Cesare campestres festino baroco; darapti :Felapton disamis datisi bocardo ferison. 还有常见的: :Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris :Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae :Tertia grande sonans recitat Darapti, Felapton :Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison. :Quartae Sunt Bamalip, Calames, Dimatis, Fesapo, Fresison.

项逻辑的衰落

项逻辑在它历史上的大多数时期统治着逻辑学，直到一个世纪前出现了现代或谓词逻辑，在十九世纪晚期和二十世纪早期导致了它的衰落。衰落的最终原因是新逻辑在数学推理上的优势，它就是为此设计的。例如，项逻辑不能解说从"所有轿车都是交通工具"到"所有轿车的主人都是交通工具的主人"的推理，而这对于谓词逻辑是很基本的事情。它被限制于三段论论证，并且不能解说涉及到多重普遍性的推理。关系和同一性必须被作为主词-谓词关系来处理，这使得数学的同一性陈述难于处理，当然还有单称项和单称命题，它们对于现代谓词逻辑是基本性的，根本就不能适当的描述。但是要注意，衰落是缓慢的过程。它不是在1890年-1910年的 "Frege Russell" 时代一夜之间消失的。这个过程持续了大约 70 年。Even Quine 的逻辑方法为三段论投入了很大的篇幅，而 Joyce 的 1949 年最终版本的手册根本就没有提及 Frege 或罗素。

修正后的逻辑

谓词逻辑的革新导致对传统系统的几乎完全的舍弃。它在标准课本的介绍中被辱骂和诋毁。但是，它也不是彻底的被废弃的。项逻辑仍是天主教学校的课程的一部分直到二十世纪后半叶，即使是在今天在有的地方仍被教授着。最近，一些哲学家开始做修正工作来恢复某些项逻辑的基本思想。他们对现代逻辑主要抱怨是
- 谓词逻辑给人不自然的感觉，它的语法不服从在日常推理采用的句子语法。按 Quine 的说法，它是"粗暴的"采用了函数、参数、量词和约束变量的人工语言。
- 谓词逻辑仍需要面对一些困窘的理论问题。其中最严重的可能是空名字和同一性陈述的问题。甚至正统的和完全主流的哲学家比如 Gareth Evans 已经表示了不满: :"我达成了对喜好主音(homophonic)理论的语义调查；这种理论尝试严肃考虑语言中实际存在的语法和语义设施 ... 我更喜好[这种]理论 ... 超过只能通过"发现"隐藏的逻辑永恒来处理[形如"所有 A 都是 B"的句子]的理论 ... 反对的理由不是这种 [Frege 的]真理条件不正确，而是在我们越发深爱有更严密的解说的东西的意义上，句子的语法形态被处理成同令人误解的表面结构一样多了" (Evans 1977) Fred Sommers 已经设计了一种形式逻辑，他声称它由我们天生的逻辑能力构成，并解决了哲学上的困难。详见他的开创性著作自然语言的逻辑。Sommers 说，问题是"旧的项逻辑不被教授，而现代的谓词逻辑又太难于教授了"。一百年前上学的孩子被教授了一种可用形式的形式逻辑，而今天 – 在信息时代 – 他们没有被教授任何东西。

引用

- I. M. Bocheński, I. M., 1951. Ancient Formal Logic. North-Holland, Amsterdam.
- Louis Couturat, 1961. La Logique de Leibniz. Georg Olms Verlagsbuchhandlung, Hildesheim.
- Gareth Evans, 1977. 'Pronouns, Quantifiers and Relative Clauses'. Canadian Journal of Philosophy.
- Hammond and Scullard, 1992. The Oxford Classical Dictionary. Oxford University Press, ISBN 0198691173.
- Joyce, G.H., 1949. [http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/joyce/principlesoflogic.htm Principles of Logic. London, 3rd edition. A manual written for Catholic schools, probably in the early 1910s. It is spendidly out of date, there being no hint even of the existence of modern logic, yet it is completely authoritative within its own subject area. There are also many useful references to medieval and ancient sources.
- Jan Lukasiewicz, 1951. Aristotle's Syllogistic, from the Standpoint of Modern Formal Logic. Clarendon Press, Oxford.
- John Stuart Mill, 1904. A System of Logic. London, 8th edition.
- Parry and Hacker, 1991. Aristotelian Logic. State University of New York Press, Albany.
- Terence Parsons, 1999. '[http://plato.stanford.edu/entries/square/ Traditional Square of Opposition]'. Article at the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Arthur Prior, 1976. The Doctrine of Propositions & Terms. London.
- Lynn E. Rose, 1968. Aristotle's Syllogistic. Clarence C. Thomas, Springfield.
- Robin Smith, 2004. '[http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-logic Aristotle's Logic]'. Article at the Stanford Encyclopedia of Philosophy.
- Sommers, F., 1982. The Logic of Natural Language. Oxford. An overview and analysis of the history of term logic, and a critique of the logic of Frege.

外部链接

- [http://www.utm.edu/research/iep/a/aristotl.htm Article on Aristotle] at the Internet Encyclopedia of Philosophy, containing a treatment of how Aristotle's successors treated his works.
- Raul Corazzon. [http://www.formalontology.it/sommersf.htm Fred Sommers and the New syllogistic]. Category:逻辑

亚里士多德

亚里士多德（希腊語：Αριστοτέλης 约前384年—前322年）是古希腊著名的哲学家、科学家和教育家。他是柏拉图的学生，亚历山大大帝的老师。他总结了泰勒斯以来古希腊哲学发展的结果，首次将哲学和其他科学区别开来，开创了逻辑学、伦理学、政治学和生物学等学科的独立研究。他的学术思想对西方文化、科学的发展产生了巨大的影响。亚里士多德把科学分为：（1）理论的科学(数学、自然科学和后来被称为形而上学的第一哲学)；（2）实践的科学(伦理学、政治学、经济学、战略学和修饰学)；（3）创造的科学，即诗学。

简介

当我们谈到古希腊哲学时，有三个连贯的人物我们不得不提到：苏格拉底、柏拉图和亚里士多德。他们三人一起创立了今天的西方哲学思想。尽管亚里士多德是柏拉图的学生，他的观点与柏拉图有很多不同之处。柏拉图是一名理想主义者和理性主义者，柏拉图相信我们的物质世界其实是一个不完美的世界，在它的背后有一个完美的“理念的世界”。而亚里士多德则认为，我们对世界的认识是从我们的感官而来的。因此，其实亚里士多德的哲学开创了之后的科学方法。亚里士多德的著作到今天依然存在，它们大多是教科书式的文献，很多甚至是亚里士多德学生的笔记。在中世纪的早期，由于新柏拉图主义的盛行，亚里士多德的著作没有被翻译。但到了12世纪，亚里士多德主义开始兴起，他的著作也被翻译成了各种欧洲文字，形成了中世纪后期的经院哲学。这种哲学后来成为了早期近代哲学家例如伽利略和笛卡尔所批驳的对象。

生平

亚里士多德公元前３８４年出生于色雷斯的斯塔基拉，父亲是马其顿王的御医。公元前366年亚里士多德被送到雅典的柏拉图学园学习，此后20年间亚里士多德一直住在学园，直至老师柏拉图去世。柏拉图去世后，由于学园的新首脑比较同情柏拉图哲学中的数学倾向，令亚里士多德无法忍受，便离开雅典。但是从亚里士多德的著作中可以看到，虽然亚里士多德不同意波西普斯等学园新首脑的观点，但依然与他们保持良好的关系。离开学园后，亚里士多德先是接受了先前的学友赫米阿斯的邀请访问小亚细亚。赫米阿斯当时是小亚细亚沿岸的密细亚的统治者。亚里士多德在那里还娶了赫米阿斯的侄女为妻。但是在公元前344年，赫米阿斯在一次暴动中被谋杀，亚里士多德不得不离开小亚细亚，和家人一起到了米提利尼。3年后，亚里士多德又被马其顿的国王腓力浦二世召唤会故乡，成为当时年仅13岁的亚历山大大帝的老师。根据古希腊著名传记作家普鲁塔克的记载，亚里士多德对这位未来的世界领袖灌输了道德、政治以及哲学的教育。我们也有理由相信，亚里士多德也运用了自己的影响力，对亚历山大大帝的思想形成起了重要的作用。正是亚里士多德的在影响下，亚历山大大帝始终对科学事业十分关心，对知识十分尊重。但是，亚里士多德和亚历山大大帝的政治观点或许并不是完全相同的。前者的政治观是建筑在即将衰亡的希腊城邦的基础上的，而亚历山大大帝后来建立的中央集权帝国对希腊人来说无异是野蛮人的发明。公元前335年腓力浦去世，亚里士多德又回到雅典，并在那里建立了自己的学校。学园的名字（Lyceum）以阿波罗神殿附近的杀狼者（吕刻俄斯）来命名。在此期间，亚里士多德边讲课，边撰写了多部哲学著作。亚里士多德讲课时有一个习惯，即边讲课，边漫步于走廊和花园，正是因为如此，学园的哲学被称为“逍遥的哲学”或者“漫步的哲学”。亚里士多德的著作在这一期间也有很多，主要是关于自然和物理方面的自然科学和哲学，而使用的语言也要比柏拉图的《对话录》晦涩许多。他的作品很多都是以讲课的笔记为基础，有些甚至是他学生的课堂笔记。因此有人将亚里士多德看作是西方第一个教科书的作者。亚历山大死后，雅典人开始奋起反对马其顿的统治。由于和亚历山大的关系，亚里士多德不得不因为被指控不敬神而逃亡加而西斯避难。他的学园则交给了狄奥弗拉斯图掌管。一年之后，公元前322年，亚里士多德去世，去世的原因是一种多年积累的疾病所造成的。关于他被毒死，或者由于无法解释潮汐现象而跳海自杀的传言是完全没有史实根据的。

哲学观

虽然亚里士多德是柏拉图的学生，但他却是第一个公开批评柏拉图的人。他特别反对的是柏拉图哲学中有关数学的部分。有人认为虽然亚里士多德熟知当时的数学，他却从来没有理解柏拉图的数学。除此之外，亚里士多德对柏拉图的相论也有批评。虽然他同意一个事物的“形式”是恒古不变的，但他认为这个“形式”本身并不存在，而是人们在感受到实物后形成的概念。因此他认为，“形式”其实就是事物本身的特征。他指出，我们所拥有的任何一种想法、观念都是透过我们的感官进入我们的意识。但是亚里士多德并不否认人有理性，正是有了理性，人才能将不同的感官印象区分开来。但是他同时指出，在人的感官经验到任何东西之前，理性是完全真空的。亚里士多德认为自然界有因果关系的存在。他认为自然界有四种不同的原因，古希腊人的“原因”观念不同于近代以来的“因果性”观念，“原因”与“为什么”相对应，并不与“结果”相对应。即“目的因”、“质料因”、“动力因”和“形式因”。亚里士多德在逻辑学方面则提出了所谓的三段论。他的这个理论在后来的两千年内，在西方一直是唯一被承认的论证形式。伦理学方面，亚里士多德强调的是所谓“黄金比例”。这或许和希腊自然派哲学家的“和谐”概念类似。他认为，人不应该偏向哪一个极端，惟有平衡，人才能过快乐和谐的生活。亚里士多德认为人是天生的政治动物，人不生存在社会中便不是真正的人。他还提出三种良好的政治制度：君主制、贵族政治和民主政治（他称之为“Polity”）。

科学观

亚里士多德在古希腊科学史上标志着一个转折点，因为他是最后提出一个整个世界体系的人，而且是第一个从事广泛经验考察的人。在天文学方面，亚里士多德创立了运行的天体是物质实体的学说。在物理学方面，亚里士多德认为各物体只有在一个不断作用着的推动者直接接触下，才能够保持运动。根据亚里士多德的说法，“真空”是不能存在的，因为空间必须装满物质。这样才能通过直接接触来传递物理作用。后世的物理学家牛顿指出了亚里士多德这一论断的谬误，指出了“力不是保持物体运动的直接原因。力只能改变物体的运动状态。”可以说，在牛顿经典力学体系的大厦没有造起来之前，整个西方世界都被亚里士多德的物理学统治着。

艺术观

在戏剧方面，亚里士多德的《诗学》是第一部探讨古希腊悲剧艺术的总结性著作。他在书中提出了著名的“摹仿说”，认为悲剧“描写的是严肃的事件，是对有一定长度的动作的摹仿；目的在于引起怜悯和恐惧，并导致这些情感的净化；主人公往往出乎意料的遭到不幸，从而成悲剧，因而悲剧的冲突成了人和命运的冲突”。这是艺术史上第一次对戏剧的本质做出探讨，更开创了亚里士多德的诗学传统。他的观点后来被古罗马的贺拉斯在《诗艺》中加以发挥，从而间接影响了整个西方艺术史。

外部链接

- [http://wikiquote.org/wiki/Aristotle 维基语录]
- [http://www.gutenberg.net/cgi-bin/search/t9.cgi?author=aristotle Gutenberg texts for Aristotle]
- [http://Aristotle.thefreelibrary.com/ A brief biography and e-texts presented one chapter at a time] Category:古希腊哲学家 Category:古希腊作家 Category:古希腊教育家 Category:前384年出生 Category:前322年逝世 ja:アリストテレス ko:아리스토텔레스 ms:Aristotle simple:Aristotle th:อริสโตเติล

谓词逻辑

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." (

\exists x

) 或 "对于任何 x，..." (

\forall x

)，这里的 x 是论域(domain of discourse)的成员。一阶(递归)公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理，可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的"..."叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以，表达"是黄色"或"喜欢椰菜"分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑，它不允许量化性质。性质是一个物体的特性；所以一个红色物体被表述为有红色的特性。性质可以被当作物体只凭自身的一种构成(form)，它可以拥有其他性质。性质被认为有别于拥有它的物体。所以一阶逻辑不能表达下列陈述，"对于所有的性质 P，..." 或"存在着性质 P，..."。但是，一阶逻辑足够强大了，它可以形式化全部的集合论和几乎所有的数学。把量化限制于个体(individual)使它难于用于拓扑学目的，但它是在数学底层经典的逻辑理论。它是比句子逻辑强比二阶逻辑弱的理论。

一阶逻辑的定义

谓词演算构成如下
- 生成规则(就是形成合式公式的递归定义)。
- 变换规则(就是推导定理的推理规则)。
- 公理或公理模式的(可能的可数的无限)集合。有两种类型的公理: 逻辑公理，它是对于谓词演算有效的，和非逻辑公理，它是在特殊情况下为真的，就是说，在它所在的理论的标准解释中是真的。例如，非逻辑的皮亚诺公理在算术的符号主义标准解释下是真的，但是对于谓词演算它们不是有效的。在公理的集合是无限的的时候，需要能判定给定的合式公式是否是一个公理的一个算法。进一步的，应当有可以判定一个推理规则的应用是否正确的算法。

词汇表

"词汇表"构成如下 # 大写字母 P, Q, R,... 是谓词变量。 # 小写字母 a, b, c,... 是(个别的)常量。 # 小写字母 x, y, z,... 是(个别的)变量。 # 小写字母 f, g, h,... 是函数变量。 # 表示逻辑算子的符号: ¬ (逻辑非)，

\wedge

(逻辑与)，

\vee

(逻辑或)，→ (逻辑条件) 和 ↔ (逻辑双条件)。 # 表示量词的符号:

\forall

(全称量词)，

\exists

(存在量词)。 # 左右圆括号。一些符号可以被简略为原语(primitive)并被采纳为简写；比如 (P ↔ Q) 是 (P → Q)

\wedge

( Q → P) 的简写。算子和量词的最小数目是三个(如果我们定义了算子或非或者与非则是两个)；例如，¬，

\wedge

和

\forall

就足够了。项是一个常量、变量或 n≥0 个参数的函数符号。

生成规则

合式公式(wff)的集合按如下规则递归的定义: # 简单和复杂的谓词如果 P 是 n 元(n ≥ 0)谓词，则

Pa_1,...,a_n

是合式的。如果 n ≤ 1，则 P 是原子。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II: 如果 φ 和 ψ 是 wff，则

(\phi \wedge \psi)

，

(\phi \vee \psi)

，(φ → ψ)和(φ ↔ ψ) 是 wff。 # 归纳条款 III: 如果 φ 是包含变量 x 的一个自由实例的 wff，则

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

是 wff。(此后在

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

中x 的任何实例都被称为约束的 — 而不是自由的。) # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。

变换(推理)规则

肯定前件充当推理的唯一规则。如果没有公理模式，则还需要一个一致代换规则。

演算

谓词演算是命题演算的扩展。如果命题演算被定义为十一个公理和一个推理规则(肯定前件)，不计算针对逻辑等价算子的额外定律在内，则谓词演算可以被定义为在其上添加四个补充的公理和一个补充的推理规则。

公理扩展

下列四个公理是谓词演算的特征:
- PRED-1:

\forall x Z(x) \rightarrow Z(y)

- PRED-2:

Z(y) \rightarrow \exists x Z(x)

- PRED-3:

\forall x (W \rightarrow Z(x)) \rightarrow (W \rightarrow \forall x Z(x))

- PRED-4:

\forall x (Z(x) \rightarrow W) \rightarrow (\exists x Z(x) \rightarrow W)

它们实际上是公理模式，因为其中的谓词字母 W 和 Z 可以被任何谓词字母所替代，而不改变这些公式的有效性。

推理规则

叫做全称普遍化的推理规则是谓词演算的特征。它可以陈述为 :

\mathit \vdash Z(x), \mathit \vdash \forall x Z(x)

这里的 Z(x) 假定表示谓词演算的一个已证明的定理，而 ∀xZ(x) 是它针对于变量 x 的闭包。谓词字母 Z 可以被任何谓词字母所替代。注意：全称普遍化类似于模态逻辑的必然性规则，它是 :

\mathit \vdash P, \mathit \vdash  \Box P

一阶逻辑的元逻辑定理

在公告板中列出了一些重要的元逻辑定理。 # 不像命题演算，一阶逻辑是不可判定性的。对于任意的公式 P，可以证实没有判定过程，判定 P 是否有效，(参见停机问题)。(结论独立的来自于邱奇和图灵。) # 有效性的判定问题是半可判定的。按哥德尔不完备定理所展示的，对于任何有效的公式 P, P 是可证明的。 # 单体谓词逻辑(就是说，谓词只有一个参数的谓词逻辑)是可判定的。

参见

- 哥德尔不完备定理
- 推理规则列表
- 数理逻辑

引用

- David Hilbert and Wilhelm Ackermann (1928). Grundzüge der theoretischen Logik (Principles of Theoretical Logic). Springer-Verlag, ISBN 0-8218-2024-9.
- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/ Article on classical logic] by Stewart Shapiro at the Stanford Encyclopedia of Philosophy, which covers the definition, model theory and soundness and completeness results for first-order logic characterised in a natural deduction style.
- [http://www.ltn.lv/~podnieks/ Introduction to mathematical logic] by Karl Podnieks.
- [http://us.metamath.org/index.html Metamath]: a project to construct mathematics using an axiomatic system based on propositional calculus, predicate calculus, and set theory category:数理逻辑 category:離散數學

伯特兰·罗素

伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872年 5月18日－1970年 2月2日）是二十世纪最有影响力的哲学家、数学家和逻辑学家之一，同时也是活跃的政治活动家，并致力于哲学的大众化、普及化。无数人将罗素视为这个时代的先知，而与此同时罗素的许多政治立场却又是十分有争议性的。他出生于1872年，當時大英帝国正值巅峰，逝于1970年，此时英国经历過两次世界大战，其帝國已經沒落。 1950年，罗素获得诺贝尔文学奖，以表彰其“多样且重要的作品，持续不断的追求人道主义理想和思想自由”。

生平

罗素出生于英国威尔士（Ravenscroft）的一个贵族家庭，祖父约翰·罗素勋爵（Lord John Russell）在1840年代曾两次出任英国首相，父亲安伯雷子爵（Viscount Amberley）在当时是一名极端开放的无神论者，甚至允许自己的妻子与孩子的家庭教师发生关系。罗素的母亲也出生贵族，她在罗素2岁时便去世了，2年后，罗素的父亲也去世。罗素是这个辉格党家庭的第二个儿子，他的教父是哲学家约翰·斯图亚特·弥尔。在双亲去世后，罗素和他的哥哥富兰克·罗素（未来的罗素勋爵二世）就由祖父母抚养长大。与当时其他上流社会的子女一样，罗素由家庭教师专门教授。罗素在17岁时认识了美国人阿莉丝·皮尔索尔·史密斯（Alys Pearsall Smith），很快便爱上了这位姑娘，两人在1894年结婚。这段婚姻在1911年宣告结束，主要是因为罗素的不专情：他和包括奥特林·莫瑞尔（Ottoline Morrell）夫人在内的多人都曾有过亲密的接触。 1890年罗素进入剑桥大学三一学院学习哲学、逻辑学和数学，1908年成为学院的研究员并获选为英国皇家学会成员。1920年罗素访问俄国和中国，并在北京讲学一年。1921年，罗素与前妻离婚后与荳拉·勃拉克（Dora Black）结婚，他们育有2个孩子。这期间罗素已经因为参与反战活动而被校方开除，他通过出版各种有关物理、伦理和教育方面的书籍谋生。1927年夫妇俩人共同建立了一所教育实验学校皮肯·希尔学校(Beacon Hill School)。 1931年罗素的哥哥去世，罗素继承爵位，成为罗素勋爵三世。但是他很少在公开场合这么称呼自己，或被别人这样称呼。罗素和荳拉·勃拉克业很快因他与一个美国记者的一段婚外情而告终。1936年罗素再与一名牛津大学学生派屈西亚·斯彭斯（Patricia Spence）结婚，他们最初是在1930年认识的。两人也生有1个儿子康拉德（Conrad）。1939年罗素搬到美国，到加利福尼亚大学洛杉矶分校讲学，并很快被任命为纽约城市大学教授。但是当这个消息一曝光，地方法院就取消了他的教授资格，认为他在“道德上”无法胜任教授一职。他在1944年回到英国，并重新执教于三一学院。 1952年罗素再度离婚，和一名美国的英语教授结婚。1960年代罗素出版了自己的三卷自传，并曾参与了肯尼迪遇刺事件的调查。1970年去世，骨灰被撒在威尔士的群山之中。他的爵位由其与多拉的儿子约翰·康拉德·罗素继承，为罗素勋爵四世。罗素勋爵四世于1987年去世，爵位由罗素的小儿子康拉德·罗素继承，为罗素勋爵五世，这位罗素勋爵五世是位受尊敬的历史学家以及英国上议院成员。罗素勋爵五世于2004年10月去世，爵位由1968年出生的他的儿子，也就是罗素的孙子，尼古拉斯·罗素继承，为罗素勋爵六世。

哲学思想与贡献

罗素最早对数学产生兴趣，然后才逐渐转向哲学方面，因此他在数学方面也有很多重要的建树。在数理逻辑方面，罗素提出了罗素悖论。罗素在1900年便认识到，数学是逻辑学的一部分。1910年，他和他的老师阿尔弗雷德·诺斯·怀特海一起发表了三卷本的《数学原理》，在其中对这一概念做了初步的系统整理。哲学上罗素最大的贡献是和G·E·摩尔一起创立了分析哲学，此外他还在认识论、形而上学、伦理学、政治哲学和哲学史方面做出过贡献。在剑桥大学时罗素信奉唯心主义和新黑格尔主义，但是在1898年在摩尔的影响下罗素放弃了唯心主义，转而研究现实主义，并很快成为“新现实主义”的倡导者。罗素此后始终强调现代逻辑学和科学的重要性，批判唯心论。罗素的分析哲学由此诞生：通过将哲学问题转化为逻辑符号，哲学家们就能够更容易地推导出结果，而不会被不够严谨的语言所误导。罗素认为哲学和其他自然科学的不同只是在于其研究的方向（哲学研究更广泛的内容），但他们的研究方法应该是相同的。哲学和数学一样，通过应用逻辑学的方法就可以获得确定的答案，而哲学家的工作就是发现一种能够解释世界本质的一种理想的逻辑语言。在伦理学和道德方面，罗素持的是开放态度，认为过多的道德束缚是人类不幸的根源，道德不应限制人类本能的快乐，因此提倡试婚、离婚从简和节育等，认为未婚男女在双方都愿意的情况下发生性关系并非是不道德的行为，这种观点使他在美国遭到激烈抗议，最终还导致他失去了纽约城市大学的教授职务。在教育方面罗素认为学生的言行举止不应受到约束与限制，在这一思想的影响下他和他的第二任妻子于1927年一起创立了一所试验学校。

和平运动

罗素是一名和平主义者，他曾反对英国参与第一次世界大战，并因此被罚款并丧失了三一学院的教职。1918年他还因反战活动而判刑6个月。在第二次世界大战之前，他曾支持过绥靖政策，但是后来又支持与纳粹德国作战，因为他意识到希特勒必须被消灭，否则将给人类文明带来灾难。罗素始终认为，任何战争都是罪恶的，但是在一些特殊的情况下，战争是在很多种罪恶中较轻的一种。 1948年 11月20日，在对威斯敏斯特学校学生的一篇演说中，罗素惊人地指出，美国应该先发制人，用核武器彻底摧毁苏联，因为这样的后果要比苏联研制出核武器后爆发核战争好得多。但是之后罗素改变了看法，认为核武器裁军是最好的解决办法，并从此致力于核裁军运动。1954年氢弹爆破成功，罗素进一步意识到核武器将可能给人类带来的灾难。1954年4月，罗素发表了著名的《罗素—爱因斯坦宣言》，“号召世界各政府体会并公开宣布它们的目的不能发展成世界大战，而我们号召它们，因此在解决它们之间的任何争执应该用和平手段”。除了爱因斯坦在临终前签字外，汤川秀树和萊納斯·鮑林等多位科学家都在宣言上签字。1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年 5月成立了一个民间法庭（后來称为“罗素法庭”），揭露美国的战争罪行。在肯尼迪遇刺事件发生后，罗素是最早几个对官方的事件版本提出异议的人之一，并罗列出了案件的16个疑点。在宗教上罗素相信上帝不存在，但是无法证明；政治上罗素的立场接近于民主社会主义：他支持政府为穷人提供基本的生活保障，但是反对共产政权的极权统治。

著作

- 《哲学问题》
- 《西方哲学史》，1954年
- 《幸福之路》1930
- 《我的哲学发展》1959
- 《婚姻与道德》1929（因书获得诺贝尔奖）
- 《教育與社會秩序》1932
- 《權威與個人》
- 《科學的未來》
- 《我們對外在世界的認識》
- 《權力:一種新的社會分析》
- 《數學原論》
- 《中國問題》
- 《宗教與科學》
- 《工業文明的前景》
- 《自由之路》
- 《文明之路》
- 《我為什麼不是基督徙》
- 《人類為什麼戰鬥》

外部連結

- [http://www.chineseliterature.com.cn/zongjiao/index1/010.htm 哲学宗教--作者总览--罗素] 罗素 Category:分析哲學 R R R ja:バートランド・ラッセル ko:버트런드 러셀 th:เบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์

谓词

数学上，n 元关系（或简称关系）是对诸如“=”和“<”的二元关系的推广。它是数据库中关系模型的基本概念。形式上，集合 X₁, ..., X_n 上的关系是一个 (n + 1) 元组 R=(X₁, ..., X_n, G(R))，这里 G(R) 是 X₁ × ... × X_n （这些集合的笛卡尔积）的子集。G(R) 称为 R 的关系图，它与二元关系的情形类似。通常 R 通过其关系图来确定。关系一般根据笛卡尔积中集合的个数（也就是表达式的项的个数）进行分类：
- 一元关系：R(x)
- 二元关系：R(x, y) 或 x R y
- 三元关系：R(x, y, z)
- 四元关系：R(x, y, z, w) 汉语中，除了一元关系，其他关系也可称作多元关系。

n 元谓词

n 元谓词就是含有 n 个变量的真值函数。由于上述的 n 元关系定义了 (x₁, ..., x_n) 属于 R 时唯一的 n 元谓词（反之亦然），关系和谓词通常使用相同的符号。所以下列两种写法一般认为是等价的： :

(x_1,x_2,\dotsb)\in R

R(x_1,x_2,\dotsb)

Category:集合论

推理

推理是使用理智從某些前提(premises)產生結論的行動。有兩種主要的方式可以達成推理的結論：其一為演繹推理，给出正確的前提，就必然推出結論(结论不能为假)。演繹推理無法使知識擴增，因為結論自包含於前提之內。邏輯學中有名的三段論(syllogism)就是典型的例子：
- 人皆有一死
- 蘇格拉底是人
- 是故，蘇格拉底會死另一方面，在歸納推理當中，當前提為真時，可推出某種機率性的结论。歸納推理可以擴展知識，因为结论比前提包含更多的信息。大衛·休姆(David Hume)曾舉出一個歸納推理的範例：
- 太陽每天從東邊升起
- 是故，太陽明天將從東邊升起第三類推理是溯因推理(abductive reasoning)，或者说推論到最佳解釋。這種推理方法的結構較為複雜而且可能包括演繹與归纳兩種論證。溯因推理的主要特徵是给出一组或多或少有争议的假定，要么证伪其它可能的解释，要么展示出赞成的結論的可能性，来尝试赞成多个结论中的一个。以上三種推理是屬於哲學、邏輯、心理學和人工智能等學門所感興趣的領域。

參見

- 案例论据
- 證據
- 可废止推理
- 逻辑推理
- 邏輯
- 推論
- 直言三段论
- 逆推法 Category:逻辑 Category:认知科学

对立四边形

对立四边形是来自亚里士多德逻辑或项逻辑的术语，它明确说明了各种句子类型之间的逻辑关系。对于主词 S 和谓词 P，提供了如下规则: # 全称陈述至少有一个必须是假。 # 矛盾的陈述有对立的真值。 # 全称陈述蕴涵它们的下级特称陈述。 # 特称陈述至少有一个必须是真。只有前两个规则是亚里士多德陈述的(在他的著作解释篇中)，而另两个可以从中推导出来。

存在性引入问题

对立四边形在现代在很大程度上落伍了，并且实际上与现代谓词演算不兼容。这是因为在现代逻辑中，"所有的 S 都是 P" 在实际上不蕴涵任何 S 的存在性。所以，亚里士多德的到"有些 S 是 P"的连线(这蕴含着 S 的存在性)在现代逻辑中不成立。如何恰当的解释亚里士多德逻辑与此有关的问题叫做存在性引入问题，已经收到了各种提议的解决方案，同时它也被当作三段论的一个缺陷。

外部連結

- [http://plato.stanford.edu/entries/square/ Stanford Encyclopedia of Philosophy article]
- [http://uk.geocities.com/frege@btinternet.com/cantor/Eximport.htm History of the Problem of Existential Import] Category:逻辑

形而上学

形而上學是哲学术语。歐洲語言中的“形而上学”來自希臘語，如英語的“metaphysics”。這一词原是古希腊罗德岛的哲学教师安德罗尼柯给亚里士多德的一部著作起的名称，意思是“物理学之後”。形而上學也叫“第一哲学”，如笛卡儿的《第一哲学沉思录》（Meditations on First Philosophy）也稱為《形而上学沉思录》。亞里士多德把人类的知识分为三部分，用大树作比喻：第一部分，最基础的部分，也就是树根，是形而上学，它是一切知识的奠基；第二部分是物理学，好比樹幹；第三部分是其他自然科学，以树枝来比喻。中文译名“形而上学”取自《易經》中“形而上者谓之道，形而下者谓之器”一语。形而上學的問題通常都是充滿爭議而沒有確定的結論的。這一部份是因為經驗事實所累積的資料，做為人類知識的最大宗，通常無法解決形上學爭議；另一部份是因為形上學家們所使用的詞語時常混淆不清，他們的爭論因而是一筆各持已見但卻沒有交集的爛帳。二十世紀的邏輯實證論者們反對某些形上學議題。他們認為某些形上學問題本身是沒有意義的。通俗的讲，形而上学有两种意思。一是指用孤立、静止、片面、表面的观点去看待事物。二是指研究单凭直觉（超经验）来判断事物的哲学。在西方形而上學共有三個傳統分支: #本體論——研究存在的問題。 #神學——研究神或眾神及關於神的問題。 #普遍科學——研究第一原則，當中引發其他的詢問。例如：非矛盾定律。在特定的範疇下，一個客體不能同時存在又不存在。形而上學的常見問題
- 物理物體是否只是它自己的一組特性？還是一種物質擁有其一組特性？
- 特性是什麼？
- 物體能否從虛無到存在又從存在到虛無？（身分與改變的問題）

外部連結

- [http://www.chineseliterature.com.cn/zongjiao/ylsdd-xesx/index.htm 哲学宗教--亚里士多德--形而上学]
- [http://www.chineseliterature.com.cn/zongjiao/dikar-dyzxcs/index.htm 哲学宗教--笛卡尔--第一哲学沉思集--反驳和答辩]
- category:哲学 ja:形而上学 ko:형이상학

经院哲学

经院哲学通常指12-14世纪由西欧天主教学院发展起来的哲学思想。13世纪，托马斯·阿奎那利用亚里士多德的学说解释宗教教义，建立了烦琐和庞大的经院哲学。经院哲学的特点是：以古希腊的亚里士多德和中世纪的圣奥古斯丁等古代哲学权威以及辩证方法为基督教服务。在文艺复兴时遭到了人文主义的强烈挑战。 category:宗教哲学 category:神學 ja:スコラ学 ko:스콜라 철학

谓词逻辑

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." (

\exists x

) 或 "对于任何 x，..." (

\forall x

一阶逻辑的定义

词汇表

\wedge

(逻辑与)，

\vee

(逻辑或)，→ (逻辑条件) 和 ↔ (逻辑双条件)。 # 表示量词的符号:

\forall

(全称量词)，

\exists

(存在量词)。 # 左右圆括号。一些符号可以被简略为原语(primitive)并被采纳为简写；比如 (P ↔ Q) 是 (P → Q)

\wedge

( Q → P) 的简写。算子和量词的最小数目是三个(如果我们定义了算子或非或者与非则是两个)；例如，¬，

\wedge

和

\forall

就足够了。项是一个常量、变量或 n≥0 个参数的函数符号。

生成规则

合式公式(wff)的集合按如下规则递归的定义: # 简单和复杂的谓词如果 P 是 n 元(n ≥ 0)谓词，则

Pa_1,...,a_n

是合式的。如果 n ≤ 1，则 P 是原子。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II: 如果 φ 和 ψ 是 wff，则

(\phi \wedge \psi)

，

(\phi \vee \psi)

，(φ → ψ)和(φ ↔ ψ) 是 wff。 # 归纳条款 III: 如果 φ 是包含变量 x 的一个自由实例的 wff，则

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

是 wff。(此后在

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

中x 的任何实例都被称为约束的 — 而不是自由的。) # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。

变换(推理)规则

肯定前件充当推理的唯一规则。如果没有公理模式，则还需要一个一致代换规则。

演算

公理扩展

下列四个公理是谓词演算的特征:
- PRED-1:

\forall x Z(x) \rightarrow Z(y)

- PRED-2:

Z(y) \rightarrow \exists x Z(x)

- PRED-3:

\forall x (W \rightarrow Z(x)) \rightarrow (W \rightarrow \forall x Z(x))

- PRED-4:

\forall x (Z(x) \rightarrow W) \rightarrow (\exists x Z(x) \rightarrow W)

它们实际上是公理模式，因为其中的谓词字母 W 和 Z 可以被任何谓词字母所替代，而不改变这些公式的有效性。

推理规则

叫做全称普遍化的推理规则是谓词演算的特征。它可以陈述为 :

\mathit \vdash Z(x), \mathit \vdash \forall x Z(x)

\mathit \vdash P, \mathit \vdash  \Box P

一阶逻辑的元逻辑定理

参见

- 哥德尔不完备定理
- 推理规则列表
- 数理逻辑

引用

关系 (数学)

n 元谓词

(x_1,x_2,\dotsb)\in R

R(x_1,x_2,\dotsb)

Category:集合论

谓词逻辑

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式，比如"存在着 x，..." (

\exists x

) 或 "对于任何 x，..." (

\forall x

一阶逻辑的定义

词汇表

\wedge

(逻辑与)，

\vee

(逻辑或)，→ (逻辑条件) 和 ↔ (逻辑双条件)。 # 表示量词的符号:

\forall

(全称量词)，

\exists

(存在量词)。 # 左右圆括号。一些符号可以被简略为原语(primitive)并被采纳为简写；比如 (P ↔ Q) 是 (P → Q)

\wedge

( Q → P) 的简写。算子和量词的最小数目是三个(如果我们定义了算子或非或者与非则是两个)；例如，¬，

\wedge

和

\forall

就足够了。项是一个常量、变量或 n≥0 个参数的函数符号。

生成规则

合式公式(wff)的集合按如下规则递归的定义: # 简单和复杂的谓词如果 P 是 n 元(n ≥ 0)谓词，则

Pa_1,...,a_n

是合式的。如果 n ≤ 1，则 P 是原子。 # 归纳条款 I: 如果 φ 是 wff，则 ¬ φ 是 wff。 # 归纳条款 II: 如果 φ 和 ψ 是 wff，则

(\phi \wedge \psi)

，

(\phi \vee \psi)

，(φ → ψ)和(φ ↔ ψ) 是 wff。 # 归纳条款 III: 如果 φ 是包含变量 x 的一个自由实例的 wff，则

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

是 wff。(此后在

\forall x \, \varphi

和

\exists x \, \varphi

中x 的任何实例都被称为约束的 — 而不是自由的。) # 闭包条款: 其他东西都不是 wff。

变换(推理)规则

肯定前件充当推理的唯一规则。如果没有公理模式，则还需要一个一致代换规则。

演算

公理扩展

下列四个公理是谓词演算的特征:
- PRED-1:

\forall x Z(x) \rightarrow Z(y)

- PRED-2:

Z(y) \rightarrow \exists x Z(x)

- PRED-3:

\forall x (W \rightarrow Z(x)) \rightarrow (W \rightarrow \forall x Z(x))

- PRED-4:

\forall x (Z(x) \rightarrow W) \rightarrow (\exists x Z(x) \rightarrow W)

它们实际上是公理模式，因为其中的谓词字母 W 和 Z 可以被任何谓词字母所替代，而不改变这些公式的有效性。

推理规则

叫做全称普遍化的推理规则是谓词演算的特征。它可以陈述为 :

\mathit \vdash Z(x), \mathit \vdash \forall x Z(x)

\mathit \vdash P, \mathit \vdash  \Box P

一阶逻辑的元逻辑定理

参见

- 哥德尔不完备定理
- 推理规则列表
- 数理逻辑

引用

函数

参看函数 (消歧义)。 在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

概述

简而言之，函数是将唯一的输出值赋予每一输入的“法则”。这一“法则”可以用函数表达式、数学关系，或者一个将输入值与输出值对应列出的简单表格来表示。函数最重要的性质是其决定性，即同一输入总是对应同一输出（注意，反之未必成立）。从这种视角，可以将函数看作“机器”或者“黑盒”，它将有效的输入值变换为唯一的输出值。通常将输入值称作函数的参数，将输出值称作函数的值。
- 最常见的函数的参数和函数值都是数，其对应关系用函数式表示，函数值可以通过直接将参数值代入函数式得到。如下例， :

f(x)=x^

，x 的平方即是函数值。
- 也可以将函数很简单的推广到与多个参量相关的情况。例如： :

g(x,y) = xy

有两个参量x和y，以乘积xy为值。与前面不同，这一“法则”与两个输入相关。其实，可以将这两个输入看作一个有序对(x, y），记g为以这个有序对(x, y）作参数的函数，这个函数的值是xy。
- 科学研究中经常出现未知或不能给出表达式的函数。例如地球上不同时刻温度的分布，这一函数以地点和时间为参量，以某一地点、某一时刻的温度作为输出。
- 函数的概念并不局限于数的计算，甚至也不局限于计算。函数的数学概念更为宽泛，而且不仅仅包括数之间的映射关系。函数将“定义域”（输入集）与“对映域”（可能输出集）联系起来，使得定义域的每一个元素都唯一对应对映域中的一个元素。函数，如下文所述，被抽象定义为确定的数学关系。由于函数定义的一般性，函数概念对于几乎所有的数学分支都是很基本的。

历史

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。
- 1718年，约翰·贝努里（:en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”1748年，约翰·贝努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何一种方式构成的解析表达式”。例如f(x) = sin(x) + x³。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”
- 19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。
- 通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
- 到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来规范数学。他们试图将每一类数学对象定义为一个集合。狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。狄利克雷的定义将函数视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

正式定义

从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f（记作 f : X → Y）是X与Y的关系，满足如下条件： #f 是完全的：对X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y （x 与y 是f 相关的）。即，对每一个输入值，Y 中都有至少一个与之对应的输出值。 #f 是多对一 的：若x f y 且x f z ，则y = z 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x)。比上面定义更简明的表述如下：从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集。X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应，且有序对(x, y)属于f 。 X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为部分函数。函数都是部分函数，但部分函数不都是函数。除非特别指明，本百科全书中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。考虑如下例子：

Лапароскопия

Лапароскопи́я (от — пах, чрево и — смотрю), диагностический осмотр брюшной полости и её органов через прокол брюшной стенки оптическим прибором — лапароскопом. Впервые произведена в 1901 русским акушером-гинекологом Д. О. Оттом. Лапароскоп состоит из троакара (стилета с футляром), осветительной и оптической систем, приспособлений для взятия кусочка ткани или органа, фото- и киносъёмки и рентгеноконтрастного исследования жёлчных путей. Лапароскопия выполняется под местной анестезией с соблюдением правил асептики. Выбор места прокола для лапароскопии зависит от области или органа, подлежащих осмотру. Из одного прокола можно осмотреть органы брюшной полости и брюшину в пределах досягаемости по длине оптической системы. Категория:Хирургия

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Plot summary

Jamal Walker (played by Lawrence) is an employee in Medieval World, an amusement park. He falls into the moat, and when he comes round he finds himself in Medieval England. Tagline: He's About To Get Medieval On You.

Cast

- Martin Lawrence &mdash

La Salle Academy

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Killdozer (movie)
Killdozer was a made for TV horror movie filmed in 1974, based on a script by science fiction writer Theodore Sturgeon. It narrated the events surrounding an asteroid that animated a bulldozer with a taste for death.

External links

- [http://www.eofftv.com/cupboard/?page_id=5 EOFFTV review] - a full length review of the film
- [http://killdozer.us The Official Killdozer Website!]
-
- [http://home.nycap.r