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中间逻辑

中间逻辑

中间逻辑是在直觉逻辑和经典逻辑之间的中介，这是在它们包含在直觉逻辑中不可证明的定理，而不导致完整的经典逻辑的意义上的。这种逻辑也叫做超直觉或次经典逻辑。有一些不同的中间逻辑，通常是向直觉逻辑增加一个或多个公理而获得的。这种公理的例子有:
- 弱排中律: ¬¬ P ∨ ¬ P。
- (P → Q) ∨ (Q → P)，给出哥德尔-Dummett 逻辑，也叫做 LC。
- (¬ P → (Q ∨ R)) → (( ¬ P → Q) ∨ ( ¬ P → R))。这个列表是不完整的。研究中间逻辑的工具类似于直觉逻辑所使用的，比如Kripke语义。

引用

- Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959. Category:数理逻辑

逻辑

逻辑，在它纯粹的形式上，是接受一组假定并达成一个结论的推理。更加明确的说，逻辑是对说明性的推理系统的研究，它是为引导人类(同样也可能是其他有智能的生命/机器/系统)应当的如何进行推理而提出的系统。逻辑指出哪些推论形式是有效的哪些不是。在传统上，逻辑是作为哲学的分支来研究，但它也可以被当作数学和计算机科学的分支。人类实际上如何推理通常在其他学科下研究，这包括认知心理学。

詞源

逻辑：英文logic的音译。导源于希腊语logos，有“思想”、“思维”、“理性”、“言语”等含义。1902年严复译《穆勒名学》，将logic意译为“名学”，音译为「逻辑」；日語則譯為「論理學」。

分支

- 经典逻辑
- 传统逻辑(项逻辑)
- 布尔逻辑
- 命题逻辑
- 谓词逻辑(一阶逻辑)
- 数理逻辑(符号逻辑)
- 二阶逻辑
- 相继式演算
- 可计算性逻辑
- 多值逻辑
- 三值逻辑
- 模糊逻辑
- 概率逻辑
- 直觉逻辑(构造性逻辑)
- 中间逻辑
- 非单调逻辑
- 缺省逻辑
- 自动认识逻辑
- 亚结构逻辑(次结构逻辑)
- 线性逻辑
- 相干逻辑
- 模态逻辑
- 真势模态逻辑
- 认识逻辑
- 道义逻辑
- 时态逻辑
- 可证明性逻辑
- 可解释性逻辑
- 哲学逻辑
- 次协调逻辑(弗协调逻辑)
- 雙面真理逻辑
- 相干逻辑
- 自由逻辑
- 辩证法
- 非形式逻辑
- 逻辑推理
- 演绎推理(三段论)
- 直言推理
- 假言推理
- 选言推理
- 归纳推理
- 溯因推理(设因推理)
- 逻辑史
- 工具论(古希腊)亚里士多德
- 正理经(古印度)足目·乔答摩
- 墨经(古中国)墨子
- 概念文字(德国)弗雷格(1848-1925)
- 哥德尔不完备定理(奥地利)哥德尔(1906-1978)
- 逻辑学应用
- 数学基础
- 量子逻辑
- 分析哲学
- 计算机逻辑
- 法律逻辑学 Category:邏輯 ja:論理学 ko:논리학 ms:Logik simple:Logic th:ตรรกศาสตร์

直觉逻辑

直觉逻辑或构造性逻辑，是在数学直觉主义和其他形式的数学结构主义中使用的逻辑。粗略的说，"直觉主义"把数学和逻辑保持为"构造性"的精神活动。就是说，它们不是解析性活动，在其中披露和应用存在的深入性质。转而，逻辑和数学是应用内部一致的方法，去认识更加复杂的精神构造(实际上是一种游戏)。在更严格的意义上，直觉逻辑可以作为非常具体和形式化的一种数理逻辑来研究。尽管对这样的一种形式化的演算是否实际上捕获了直觉主义的哲学特征是有争议的，在实用的观点上它是非常有用的工具。下面给出这个术语的两重概念。

作为逻辑推理典范的直觉逻辑

在直觉逻辑中，证明中的在认识论上不清晰的步骤是禁止。在经典逻辑中，公式 A 断言 A 是真。在直觉逻辑中这个公式只在可被"证明"的情况下才被当作是真。作为这种区别的例子，考虑经典逻辑所接受的排中律，直觉逻辑不接受这条定律，因为在允许这种公式的语言中，有可能从 P ∨ ¬P 得出结论，而不需要知道这个析取中哪个是真的。在效果上，在直觉逻辑中，P ∨ ¬P 说明至少 P 或 ¬P 中的一个可以被证明，这比说它们的析取是真要强壮。背后的想法是精神构造的有效性依赖于它与它的上下文(知觉)的一致。出于这种看法，认识论上的不透明性，在效果上是欺骗。直觉逻辑在它的逻辑演算中用正当性替代了真实性。逻辑演算跨越生成导出命题的变换保持正当性，而不是真实性。直觉逻辑给予多个哲学派别哲学上的支持，其中最著名的是 Michael Dummett 的反现实主义。

作为形式逻辑演算的直觉逻辑

从实用的观点，也有使用直觉逻辑的强烈动机。实际上，如果你找寻像逻辑编程的自动推理，那么你明显的不只是对存在性的陈述感兴趣。计算机程序被假定用来计算答案，而不是去陈述一个答案。所以，在应用中你通常找寻一个给定的存在性断言的证据。此外，你可能关心能证明 ∃x : P(x)，但是对于它顾及的任何具体 b 却不能证明 P(b) 的证明系统。为了以数学上精确的方式形式化直觉逻辑，需要模型论(语义)和适当的证明论。直觉逻辑的公式的语法类似于命题逻辑或一阶逻辑。明显的区别是这些经典逻辑的很多重言式(tautology)在直觉逻辑中不再是可证明的。例子不只包括排中律 P ∨ ¬P，还有 Peirce 定律 ((P → Q) → P) → P。经典重言式在直觉逻辑中无效的更加熟悉的例子与所谓的双重否定除去有关。在经典逻辑中，P → ¬¬P 和 ¬¬P → P 二者都是定理。在直觉逻辑中，只有第一个是定理: 双重否定可以介入，但不能除去。在直觉逻辑中否定的解释不同于它在经典逻辑中的对应物。在经典逻辑中，¬P 断言 P 是假；在直觉逻辑中，¬P 断言 P 的证明是不可能的。上面在这两个蕴涵之间的不对称现在变得很显著。如果 P 是可证明的，则证明没有 P 的证明当然是不可能的；第一个蕴涵成立。但是第二个蕴涵失败了: 因为没有对 P 的证明是不可能的证明，我们不能从这种缺乏得出结论有 P 的证明。对很多经典的有效重言式不是直觉逻辑的定理的观察导致弱化经典逻辑的证明理论的想法。比如 Gentzen 获得了相继式演算 LK的一个弱化版本，他称之为LJ。这就得到了适合的证明理论。直觉逻辑的语义比经典的确定性的情况更加复杂。Heyting代数或等价的Kripke语义给出了它的语义。

Heyting 代数语义

在经典逻辑中，我们经常讨论一个公式可能接受的真值。这种值通常被选择为布尔代数的成员。在布尔代数中的交和并算子等同于 ∧ 和 ∨ 逻辑连结词，所以形如 A ∧ B 的公式是在布尔代数中 A 的值和 B 的值的交。所以我们就有了一个有用的定理，一个公式是经典逻辑的有效的句子/断定，当且仅当它的值对于任何求值都是 1---就是说，对它的变量的任何指派都是真。对于直觉逻辑对应的法则也是真的，但是不再对每个公式指派(assign)来自布尔代数的值，而是使用来自Heyting代数的值，布尔代数是它的特殊情况。公式在直觉逻辑中是有效的，当且仅当它对于在任何 Heyting 代数上的任何求值总是得到值 1。可以证实为了识别有效的公式，考虑其元素是实平面 R² 的开集(open set)的一个单一的 Heyting 代数就足够了。在这种代数中，∧ 和 ∨ 算子对应于集合的交和并，并且指派给公式 A→B 的值同于指派给公式 ¬(A ∧ ¬B)的值。指派给 ¬F 的值是 F^C°，这是 F 的值的补集的内部。表示 1(真)的值是全集 R²。通过这些指派，直觉上有效的公式正好就是被指派为值 1 的公式。例如，公式 ¬(A ∧ ¬A) 是有效的，因为不管为公式 A 选择什么集合 X 作为值，¬(A ∧ ¬A) 的值总是被证实为 1: : Value(¬(A ∧ ¬A)) = : (Value(A ∧ ¬A))^C° = : (Value(A) ∩ Value(¬A))^C° = : (X ∩ (Value(A))^C°)^C° = : (X ∩ X^C°)^C° 一个拓扑学定理告诉我们 X^C° 是 X^C 的子集，所以交集为空，因此: : ø^C° = (R²)° = R² 所以这个公式的求值是真，这个公式确实是有效的。但是排中律 A∨¬A，可以被证实是 无效的，通过设定 A 的值是。那么 ¬A 的值是的内部，它就是，而公式的值是和的并，这不是全部平面。上面描述的无限 Heyting 代数对所有直觉上有效的公式给出了真求值，而不管为公式中的变量指派了什么值。反过来说，对于每个无效的公式，都有来对变量的来自这个代数的一个值指派生成这个公式的一个假求值。可以证实没有有限的 Heyting 代数有这个性质。

Kripke 语义

主文章 Kripke语义建立在他关于模态逻辑的语义的工作之上，Saul Kripke 为直觉逻辑建立了另一套语义，叫做 Kripke 语义或关系语义。
参见

- 直觉主义
- 直觉类型理论
- 经典逻辑
- 中间逻辑
- 线性逻辑
- 构造性证明
- Curry-Howard对应
- 可计算性逻辑
- 博弈语义
外部链接

- [http://plato.stanford.edu/entries/logic-intuitionistic/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry] Category:逻辑 Category:计算机逻辑 Category:人工智能

经典逻辑

经典逻辑标识已经被最深入的研究和最广泛的使用的一类形式逻辑。它们被特征化为一些性质；非经典逻辑缺乏一个或多个这种特性，它们是: #排中律; #无矛盾律; #蕴涵的单调性和蕴涵的等幂性; #合取的交换性; #De Morgan 对偶性: 所有逻辑算子都对偶于另一个。

经典逻辑的例子

- 亚里士多德的工具论介入了他的三段论理论，它是带有严格形式的断定(judgement)的逻辑: 断言采用四种形式，所有 Ps 都是 Q，有些 Ps 是 Q，没有 Ps 是 Q，有些 Ps 不是 Q。这些断定是两对对偶的算子，并且每个算子都是另一个的否定，亚里士多德用他的对立四边形总结了它们之间的联系。亚里士多德明确的公式化表达了排中律和无矛盾律，尽管这些定律不能在三段论框架内作为断定来表达。
- George Boole 的代数的重新逻辑形式化为布尔逻辑;
- Gottlob Frege 的概念文字。
- Clarence Irving Lewis 的真势模态逻辑的系统 S1-S5。

非经典逻辑

- 直觉逻辑拒绝排中律和 De Morgan 律；
- 次协调逻辑(比如双面真理逻辑和相干逻辑)拒绝无矛盾律；
- 相干逻辑、线性逻辑和非单调逻辑拒绝蕴涵的单调性；
- 线性逻辑拒绝蕴涵的等幂性；
- 可计算性逻辑是可计算性的语义构造的形式理论，相对于是真值的形式理论的经典逻辑；它整和并扩展了经典、线性和直觉逻辑;
- 模态逻辑向经典逻辑扩展了非真值泛函("模态")算子。

引用

- Dov Gabbay, (1994). 'Classical vs non-classical logic'. In D.M. Gabbay, C.J. Hogger, and J.A. Robinson, (Eds), Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, volume 2, chapter 2.6. Oxford University Press. Category:逻辑

直觉逻辑

作为逻辑推理典范的直觉逻辑

作为形式逻辑演算的直觉逻辑

Heyting 代数语义

Kripke 语义

定理

定理是經過受邏輯限制的證明為真的敘述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。相信為真但未被證明的數學敘述為猜想，當它經過證明後便是定理。它是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

各種數學敘述（按重要性來排列）

#引理（又稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如如Schur's lemma。 #系理－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的系理。 #命題 #定理 #數學原理

結構

定理一般都有一個設定——一大堆條件。然後它有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

逆定理

若存在某敘述為A→B，其逆敘述就是B→A。逆敘述成立的情況是A←→B，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。
- 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
- 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
- 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。
- Category:數學推理 ja:定理

直觉逻辑

作为逻辑推理典范的直觉逻辑

作为形式逻辑演算的直觉逻辑

Heyting 代数语义

Kripke 语义

Pol Greisch

De Pol Greisch, gebuer 1930 zu Walfer, ass e lëtzebuergeschen Acteur an Auteur. Auteur Zënter 1953 spillt de Pol Greisch, dacks zesumme mat senger Fra, der Juliette François a franséisch-, däitsch- oder lëtzebuergeschsproochege Theaterstécker. Nieft de Stécker schreift hie Prosa a Gedichter.

Theaterstécker

- Äddi Charel (1966)
- Besuch (1969)
- Ënnerwee (1978)
- Grouss Vakanz (1980)
- Viru mam Jabel (1982)
- Margréitchen (1986)
- E Bucki (1986)
- De laangen Tour (1988)
- E Stéck Streisel (1992)
- Kellerzerwiss (1992)
- E Platten (1995)
- Léiwe Kleeschen (1997)
- Aarme Louder (1998)
- Eng Heemelmaus (1999)
- Wanter (2000)
- Kiischtebléien (2002. Uropféierong: 27. 2. 2003)

De Schauspiller

Filmer

- Déi zwéi vum Bierg (1985) vum Menn Bodson, Gast Rollinger a Marc Olinger
- Schacko Klak (1990) vum Paul Kieffer a Fränk Hoffmann
- Mumm Sweet Mumm (1989) vum Paul Scheuer, Georges Fautsch an Maisy Hausemer

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